Кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник
Candidate of physical and mathematical Sciences, Junior researcher of the Department of mathematicsand computer methods of analysis, faculty of mechanics and mathematics, Lomonosov Moscow state University (Moscow).
Доктор физико-математических наук, профессор
Doctor of physical and mathematical Sciences, Professor, head of the Department of mathematical and computer methods of analysis, president of the mechanics and mathematics faculty of the M. V. Lomonosov Moscow State University
В статье продолжены исследования по теории кратных тригонометрических сумм, в основе которой лежит метод И. М. Виноградова. Здесь мы находим для $$n=r=2$$ оценки снизу показателей сходимости особого ряда и особого интеграла асимптотической формулы при $P\to\infty$для числа решений следующей системы диофантовых уравнений$$\sum_{j=1}^{2k}(-1)^jx_{1,j}^{t_1}\dots x_{r,j}^{t_r}=0,\quad 0\leq t_1,\dots, t_r\leq n,$$где $$n\geq 2,r\geq 1, k$$ - натуральные числа, причём каждая переменная $$x_{i,j}$$ может принимать все целые значения от 1 до $$P\geq 1.$$
In the paper we continue studies on the theory of multivariate trigonometric sums, in the base of which lies of the I. M. Vinogradov's method. Here we obtain for $$n=r=2$$ lower estimates of the convergence exponent of the singular series and the singular integral of the asymptotic formulas for $$P\to\infty$$ for the number of solutions of the following system of Diophantine equations$$\sum_{j=1}^{2k}(-1)^jx_{1,j}^{t_1}\dots x_{r,j}^{t_r}=0,\quad 0\leq t_1,\dots, t_r\leq n,$$where $$n\geq 2,r\geq 1, k$$ are natural numbers, moreover an each variable $$x_{i,j}$$ can takeall integer values from 1 to $$P\geq 1.$$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.