chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-4-32-45cheb-685Research ArticleСтатьиArticleОб одной аддитивной задаче Хуа-Ло-КенаAbout one additive problem Hua Loo Keng’sАллаковИсмаилAllakovIsmail

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical Sciences, Professor

iallakov@mail.ruСафаровАбдувахитSafarovAbduvohit

аспирант

graduate student

asafarov1977@mail.ruТермезский государственный университетУзбекистанTermez state University, faculty of physics and mathematicsUzbekistanТермезский государственный университетУзбекистанTermez state UniversityUzbekistan2019030220202043245Copyright © Аллаков И., Сафаров А., 20202020Аллаков И., Сафаров А.Allakov I., Safarov A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/685

Пусть X достаточно большое вещественное число и $k \geq2$ натуральное число, M множества натуральных чисел не превосходящие X, которые непредставимы в виде суммы простого и фиксированной степени простого числа, $E_k(X)=\card M$.

В настоящей работе доказана теорема

Теорема. Для достаточно больших X справедлива оценка $$E_k (X)\ll X^{\gamma},$$где $$ \gamma<\left\{\begin{array}{lll}1-(17612,983k^2 (\ln k+6,5452))^{-1}, & \text{при} & 2\leq k\leq 205,\\[1mm]1-(68k^3 (2\ln k+\ln\ln k+2,8))^{-1}, & \text{при} & k>205,\\[1mm]1-(137k^3 \ln k)^{-1}, & \text{при} & k>e^{628}.\end{array}\right.$$

В частности из этой теоремы следует, что оценка и $$\gamma<1-(137k^3 \ln k)^{-1},$$ полученная В. А. Плаксиным для достаточно больших k,остается справедливой при $\ln k>628$.

Let X be enough big real number and $k\geq2$ be a natural number, M be a set of natural numbers n not exceeding X, which cannot be written as a sum of prime and fixed degree a prime, $E_k (X)=card M.$ In present paper is proved theorem.

Theorem. For it is enough greater $X-$equitable estimation $ E_k (X)\ll X^{\gamma},$ where$$ \gamma<\left\{\begin{array}{lll}1-(17612,983k^2 (\ln k+6,5452))^{-1}, & \text{при} & 2\leq k\leq 205,\\[1mm]1-(68k^3 (2\ln k+\ln\ln k+2,8))^{-1}, & \text{при} & k>205,\\[1mm]1-(137k^3 \ln k)^{-1}, & \text{при} & k>e^{628}.\end{array}\right.$$}

In particular from this theorems follows that estimation $$\gamma<1-(137k^3 \ln k)^{-1},$$ got by V. A. Plaksin for it is enough greater k, remains to be equitable under $\ln k>628$.

ReferencesАллаков И. О представлении чисел суммой двух простых чисел из арифметической прогрессии // Известия ВУЗов. "Математика". Казань, 2000. № 8(459). С. 3–15.Allakov I. 2000, "On the representation of numbers by the sum of two primes from an arithmetic progression", Izvestiya VUZov. "MatematikaKazan’, vol. 8(459), pp. 3–15.Аллаков И. Сонлар назариясининг баъзи бир аддитив масалаларини аналитик усулларбилан ечиш: Монография. Т.: "Таълим2012. 200 c.Allakov I. 2012, "Some of the following are some analytic problems of the theory with analytical methods", Monografija. T.: "Ta’lim200 c.Аллаков И. Об одной бинарной аддитивной задаче с простыми числами из арифметической прогрессии // Докл. АН РУз. 1991. № 7. С. 9.Allakov I. 1991, "On a binary additive problem with primes from an arithmetic progression", Dokl. AN RUz., vol. 7„ pp. 9.Аллаков И. О числах, представимых в виде суммы простого и фиксированной степени простого числа // Алгебра и её приложения: Тезисы докладов международной конф. 5–9 августа 2002. Красноярск, 2002. С. 3–4.Allakov I. 2002, "On numbers representable as the sum of a prime and a fixed power of a prime", Algebra i yeyo prilozheniya: Tezisy dokladov mezhdunar. konf. 5-9 avgusta 2002. Krasnoyarsk, pp. 3–4.Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об одной тернарной задаче с простыми числами // Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения: Тез. докл. V междунар. конф. 19–20 мая 2003. Тула, 2003. С. 18–19.Arkhipov G. I., Chubarikov V. N. 2003, "On a ternary problem with prime numbers", Algebra i teoriya chisel: Sovremennyye problemy i prilozheniya: Tez. dokl. V mezhdunar. konf. 19–20 maya 2003, Tula, pp. 18–19.Виноградов А.И. О бинарной проблеме Харди-Литтлвуда // Acta arithm. Варшава, 1985. V. 46. P. 33–56.Vinogradov A. I. 1985, "On the Hardy-Littlewood binary problem", Acta arithm, Varshava, vol. 46, pp. 33–56.Жукова А.А. Проблема Харди-Литлвуда // Изв. Вузов. Математика. 2000. 2(453). C. 41–49.Zhukova A. A. 2000, "The Hardy-Littlewood Problem", Izv. Vuzov, Matematika, vol. 2(453), pp. 41–49.Плаксин В.А. Исключительное множество суммы простого и фиксированной степени простого числа. Петрозаводск, 1984. 33 с. Деп. в ВИНИТИ, 23.10.84. № 7010-84.Plaksin V. A. 1984, "The exceptional set of the sum of a prime and a fixed power of a prime", Petrozavodsk, 33 pp. Dep. v VINITI, 23.10.84. vol. 7010-84.Плаксин В.А. Об одном вопросе Хуа- Ло -Кена // Мат. заметки. 1990. № 3(47). C. 78–90.Plaksin V. A. 1990, "On one question of Hua-Lo-Ken", Mat. zametki, vol. 3(47), pp. 78–90.Чубариков В.Н. Многомерные проблемы теории простых чисел // Чебышевский сборник, том 12. Вып. 4(2011). С. 176–256.Chubarikov V. N. 2011, "Multidimensional problems of the theory of prime numbers" Chebyshevskiy sbornik, vol. 12, iss. 4, pp. 176–256.Davenport. H. Multiplicative Number Theory, Third edition, Graduate Texts in Math. 71, 2000. New York: Sringer-Verlag. 178 p.Davenport. H. 2000, "Multiplicative Number Theory", Third edition, Graduate Texts in Math. 71,New York: Sringer-Verlag, 178 p.Jorg Brudern. Representations of natural numbers as the sum of a prime and a k-th power. //Tsukuba Journal of Mathematics. Vol. 32, No. 2 (December 2008), pp. 349–360.Jorg Brudern. 2008, "Representations of natural numbers as the sum of a prime and a k-th power", Tsukuba Journal of Mathematics, vol. 32, no. 2, pp. 349–360.Montgomery H.L., Vaughan R.C. The exceptional set in Goldbach’ s problem // Acta arithm. 1975. V. 27. P. 353–370.Montgomery H.L., 1975, Vaughan R.C. "The exceptional set in Goldbach’ s problem", Acta arithm., vol. 27, pp. 353–370.Montgomery H.L. and Vaughan R.C. Multiplicative number theory. I. Classical theory. Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York. 2006. 552 p.Montgomery H.L. and Vaughan R.C. 2006, "Multiplicative number theory. I. Classical theory", Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York, 552 p.Vaughan R.C. The Hardi-Littlewood method. // Cambridge University Press, Nev York. 1997. 233 p.Vaughan R.C. 1997, "The Hardi-Littlewood method", Cambridge University Press, Nev York, 233 p.Vinogradov A.I. The metod of trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Мoskov: Nauka, 1980. 144 p.Vinogradov A.I. 1980, "The metod of trigonometrical Sums in the Theory of Numbers", Мoskov: Nauka, 144 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.