доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical Sciences
Основная трудность, с которой приходится иметь дело при исследовании арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций с иррациональными параметрами, состоит в том, что общий наименьший знаменатель нескольких первых коэффициентов соответствующих степенных рядов растет слишком быстро с увеличением числа этих коэффициентов. Последнее обстоятельство делает невозможным использование известного в теории трансцендентных чисел метода Зигеля для проведения упомянутого исследования. Применение названного метода предполагает использование принципа Дирихле для построения функциональной линейной приближающей формы. Это построение является первым этапом длинного и сложного рассуждения, приводящего в конечном итоге к получению требуемого арифметического результата. Попытка применить принцип Дирихле в случае функций с иррациональными параметрами наталкивается на непреодолимые трудности из-за упомянутого выше слишком быстрого роста общего наименьшего знаменателя коэффициентов соответствующих рядов Тейлора. Вследствие этого в случае функций с иррациональными параметрами обычно применяют эффективное построение линейной приближающей формы (или совокупности таких форм при использовании совместных приближений). Коэффициенты построенной формы являются многочленами с алгебраическими коэффициентами. Для общего наименьшего знаменателя этих коэффициентов требуется затем получить приемлемую оценку сверху его абсолютной величины. Известные оценки такого рода нуждаются в некоторых случаях в уточнении. Это уточнение осуществляется с применением теории делимости в квадратичных полях; дополнительно используются сведения о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. В настоящей работе рассматривается один из вариантов эффективного построения совместных приближений для гипергеометрической функции общего вида и ее производных. Общий наименьший знаменатель коэффициентов многочленов, входящих в эти приближения, оценивается затем с помощью уточненного варианта соответствующей леммы. Все это позволяет получить новый результат об арифметической природе значений указанной функции в малой по абсолютной величине ненулевой точке мнимого квадратичного поля.
The main difficulty one has to deal with while investigating arithmetic nature of the values of the generalized hypergeometric functions with irrational parameters consists in the fact that the least common denominator of several first coefficients of the corresponding power series increases too fast with the growth of their number. The last circumstance makes it impossible to apply known in the theory of transcendental numbers Siegel’s method for carrying out the above mentioned investigation. The application of this method implies usage of pigeon-hole principle for the construction of a functional linear approximating form. This construction is the first step in a long and complicated reasoning that leads ultimately to the required arithmetic result. The attempts to apply pigeon-hole principle in case of functions with irrational parameters encounters insurmountable obstacles because of the aforementioned fast growth of the least common denominator of the coefficients of the corresponding Taylor series. Owing to this difficulty one usually applies effective construction of the linear approximating form (or a system of such forms in case of simultaneous approximations) for the functions with irrational parameters. The effectively constructed form contains polynomials with algebraic coefficients and it is necessary for further reasoning to obtain a satisfactory upper estimate of the modulus of the least common denominator of these coefficients. The known estimates of this type should be in some cases improved. This improvement is carried out by means of the theory of divisibility in quadratic fields. Some facts concerning the distribution of the prime numbers in arithmetic progression are also made use of. In the present paper we consider one of the versions of effective construction of the simultaneous approximations for the hypergeometric function of the general type and its derivatives. The least common denominator of the coefficients of the polynomials included in these approximations is estimated subsequently by means of the improved variant of the corresponding lemma. All this makes it possible to obtain a new result concerning the arithmetic values of the aforesaid function at a nonzero point of small modulus from some imaginary quadratic field.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.