chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-3-246-260cheb-681Research ArticleСтатьиArticlen-короны в разбиениях тора на множества ограниченного остаткаn-crowns in toric tilings into bounded remander setsЖуковаАлла АдольфовнаZhukovaAlla Adolfovna

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информационных технологий, Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Владимирский филиал (г. Владимир).

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor at the Department of Information Technologies, Russian Academy of National Economy and Public Administration under the President of Russian Federation, Vladimir branch (Vladimir)

georg967@mail.ruШутовАнтон ВладимировичShutovAnton Vladimirovich

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры вычислительной техники и систем управления, Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых (ВлГУ) (г. Владимир).

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Computer Engineering and Control Systems, Vladimir State University named after Alexander and Nicholay Stoletovs (VlSU) (Vladimir)

a1981@mail.ru201901022020203246260Copyright © Жукова А.А., Шутов А.В., 20202020Жукова А.А., Шутов А.В.Zhukova A.A., Shutov A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/681

Теория геометрических подстановок Арно-Ито позволяет строить последовательности обобщенных перекладывающихся разбиений d-мерного тора. Эти разбиения состоят из параллелепипедов d + 1 типа, а действие некоторого сдвига тора на разбиении сводится к перекладыванию d+1 центрального параллелепипеда. Более того, множество вершин всех параллелепипедов разбиения представляет собой фрагмент орбиты нуля относительно этого сдвига тора. Рассматриваемые разбиения активно используются в различных задачах теории чисел, комбинаторики и теории динамических систем. В настоящей работе изучается локальная структура разбиений тора, получаемых на основе геометрических подстановок. n-короной параллелепипеда называется множество всех параллелепипедов, отстоящих от данного на расстояние не более n в естественной метрике разбиения. Задача состоит в описании всех возможных типов n-корон. Каждому параллелепипеду разбиения естественным образом присваивается номер – его номер в орбите соответствующего центрального параллелепипеда относительно сдвига тора. Доказано, что множество всех номеров распадается на конечное число полуинтервалов, определяющих возможные типы n-корон. Более того, доказано, что границы соответствующих полуинтервалов определяются номерами параллелепипедов, входящих в n-корону набора из d + 1 центрального параллелепипеда. Показано, что этот результат можно рассматривать как некоторое многомерное обобщение знаменитой теоремы о трех длинах. Ранее аналогичное описание было получено для 1-корон разбиений тора получаемых при помощи одной конкретной геометрической подстановки: подстановки Рози. Кроме того, аналогичные результаты ранее были получены для ряда квазипериодических разбиений плоскости. В заключении сформулирован ряд направлений для дальнейшего исследования.

The Arnoux-Ito theory of geometric substitutions allows to construct sequences of generalized exchanged tilings of the d-dimensional torus. These tilings consist of parallelepipeds of d + 1 type, and the action of a certain toric shift on the tiling reduces to exchanging of the d + 1 central parallelepipeds. Moreover, the set of vertices of all parallelepipeds of the tiling is a fragment of the orbit of zero point under considered toric shift. The considered tilings are actively used in various problems of number theory, combinatorics, and the theory of dynamical systems. In this paper, we study the local structure of toric tilings obtained using geometric substitutions. The n-corona of the parallelepiped is a set of all parallelepipeds located at a distance of not greater than n from a given parallelepiped in the natural metric of the tiling. The problem is to describe all possible types of n-coronas. With each parallelepiped in the tiling we can naturally assigned a number — its number in the orbit of the corresponding central parallelepiped with respect to the toric shift. It is proved that the set of all parallelepipeds numbers splits into a finite number of half-intervals defining possible types of n-coronas. Moreover, it is proved that the boundaries of the corresponding half-open intervals are determined by the numbers of the parallelepipeds in the n-corona of the set of d + 1 central parallelepiped. It is shown that this result can be considered as some multi-dimensional generalization of the famous three lengths theorem. Earlier, a similar description was obtained for 1-coronas of the toric tilings obtained using one specific geometric substitution: the Rauzy substitution. In addition, similar results were previously obtained for some quasiperiodic plane tilings. In conclusion, some directions for further research are formulated.

геометрические подстановкитеория Арно-Итообобщенное перекла- дывающееся разбиение торалокальная структураn-коронаgeometric substitutionsArnoux-Ito theorygeneralized exchanged toric tilinglocal structuren-coronaReferencesArnoux, P. & Ito, S. 2001, “Pisot substitutions and Rauzy fractals“, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin., vol. 8, issue 2, pp. 181–207.Arnoux P., Ito S. Pisot substitutions and Rauzy fractals // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2001. V. 8, Issue 2. P. 181–207.Floreik, K. 1951, “Une remarque sur la repartition des nombres m $$ xi $$ mod 1“, Coll. Math. Wroclaw., vol. 2, pp. 323–324.Floreik K. Une remarque sur la repartition des nombres m $$ \xi\ $$ mod 1 // Coll. Math. Wroclaw. 1951. V. 2. P. 323-324.Lagarias, J. C. & Pleasants, P. A. B. 2003, “Repetitive Delone sets and quasicrystals“, Ergod. Th. Dyn. Sys., vol. 23. pp. 831–867. doi: https://doi.org/10.1017/S0143385702001566.Lagarias J. C., Pleasants P. A.B. Repetitive Delone sets and quasicrystals // Ergod. Th. Dyn. Sys. 2003. V. 23. P. 831–867.Pytheas Fogg, N. 2001, “Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics“, Springer. doi: 10.1007/b13861.Pytheas Fogg N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics // Springer. 2001.Rauzy, G. 1982, “Nombres alge′briques et substitutions“, Bull. Soc. Math. France, vol. 110, pp. 147–178. doi: https://doi.org/10.24033/bsmf.1957.Rauzy G. Nombres alge′briques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. 1982. V. 110. P. 147–178.Ravenstein, T. V. 1988, “The three gap theorem (Steinhaus conjecture)“, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, vol. 45, pp. 360–370.Ravenstein T. V. The three gap theorem (Steinhaus conjecture) // J. Austral. Math. Soc. Ser. A 1988 V. 45. P. 360–370.Schattschneider, D. & Dolbilin, N. 1998, “One corona is enough for the Euclidean plane“, Quasicrystals and discrete geometry (Toronto. ON. 1995), Fields Inst. Monogr. 10, Amer. Math. Soc. Providence. RI, pp. 207–246.Schattschneider D., Dolbilin N. One corona is enough for the Euclidean plane // Quasicrystals and discrete geometry (Toronto. ON. 1995), Fields Inst. Monogr. 10, Amer. Math. Soc. Providence. RI. 1998. P. 207–246.Shutov, A. V. & Maleev, A. V. 2008, “Quasiperiodic planetilings based on stepped surfaces“, Acta Crystallographica. Section A: Foundations of Crystallography, vol. 64, no. 3, pp. 376–382. doi: 10.1107/S0108767308005059.Shutov A. V., Maleev A. V. Quasiperiodic planetilings based on stepped surfaces // Acta Crystallographica. Section A: Foundations of Crystallography. 2008. V. 64, Issue 3. P. 376–382.Shutov, A. V., Maleev, A. V. & Zhuravlev, V. G. 2010, “Complex quasiperiodic self-similar tilings: Their parameterization, boundaries, complexity, growth and symmetry“, Acta Crystallographica. Section A: Foundations of Crystallography, vol. 66, no. 3, pp. 427–437. doi: 10.1107/S0108767310006616.Shutov A. V., Maleev A. V., Zhuravlev V. G. Complex quasiperiodic self-similar tilings: Their parameterization, boundaries, complexity, growth and symmetry // Acta Crystallographica. Section A: Foundations of Crystallography. 2010. V. 66, Issue 3. P. 427–437.Siegel, A. & Thuswaldner, J. M. 2009, “Topological properties of Rauzy fractals“, Mem. Soc. Math. Fr. N.S., vol. 118, pp. 1–144. doi: 10.24033/msmf.430.Siegel A., Thuswaldner J. M. Topological properties of Rauzy fractals // Mem. Soc. Math. Fr. N.S. 2009. V. 118. P. 1–144.Slater, N. 1967, “Gaps and steps for the sequence n $$ theta $$ mod 1“, Proc. Camb. Phil. Soc., vol. 63, pp. 1115–1123. doi: https://doi.org/10.1017/S0305004100042195.Slater N., Gaps and steps for the sequence n $$ \theta $$ mod 1 // Proc. Camb. Phil. Soc. 1967. V. 63. P. 1115–1123.S´os, V. T. 1958, “On the distribution mod 1 of the sequence n $$ alpha $$“, Ann. Univ. Sci. Budapest E¨otv¨os Sect. Math., vol. 1, pp. 127–134.S´os V. T. S. On the distribution mod 1 of the sequence n $$ \alpha $$ // Ann. Univ. Sci. Budapest E¨otv¨os Sect. Math. 1958. V. 1. P. 127–134.´Swierczkowski, S. 1958, “On successive settings of an arc on the circumference of a circle“, Fund. Math., vol. 46, pp. 187–189.´Swierczkowski S. On successive settings of an arc on the circumference of a circle // Fund. Math. 1958. V. 46. P. 187–189.Zhuravlev, V. G. 2007, “On additivity property of the complexity function related to rauzy tiling“, Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory, pp. 240–254.Zhuravlev V. G. On additivity property of the complexity function related to rauzy tiling // Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory. 2007. P. 240–254.Zhukova, A. A. & Shutov, A. V. 2019, “Rauzy substitution and local structure of torus tilings“, Chebyshevskii Sbornik, vol. 20, no. 4.Жукова А. А., Шутов А. В. Подстановка Рози и локальная структура разбиений тора // Чебышевский сборник 2019. Т. 20, вып. 4.Zhuravlev, V. G. 2016, “Two-dimensional approximations by the method of dividing toric tilings“, Journal of Mathematical Sciences, vol. 217, issue 1, pp. 54–64. doi: 10.1007/s10958-016-2955-2.Журавлев В. Г. Двумерные приближения методом делящихся торических разбиений // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2015. Т. 440. С. 81–98.Zhuravlev, V. G. 2015, “Dividing toric tilings and bounded remainder sets“, Journal of Mathematical Sciences, vol. 217, issue 1, pp. 65–80. doi: 10.1007/s10958-016-2956-1.Журавлев В. Г. Делящиеся разбиения тора и множества ограниченного остатка // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2015. Т. 440. С. 99–122.Zhuravlev, V. G. 2016, “Differentiation of induced toric tilings and multi-dimensional approximations of algebraic numbers“, Journal of Mathematical Sciences, vol. 222, issue 5, pp. 544–584. doi: 10.1007/s10958-017-3321-8.Журавлев В. Г. Дифференцирование индуцированных разбиений тора и многомерные приближения алгебраических чисел // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2016. Т. 445. С. 33–92.Zhuravlev, V. G. 2017, “Induced bounded remainder sets“, St. Petersburg Math. J., vol. 28, pp. 671–688. doi: https://doi.org/10.1090/spmj/1466.Журавлев В. Г. Индуцированные множества ограниченного остатка // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, № 5. С. 171–194.Zhuravlev, V. G. 2013, “Moduli of toric tilings into bounded remainder sets and balanced words“, St. Petersburg Math. J., vol. 24, pp. 601–629. doi: https://doi.org/10.1090/S1061-0022-2013-01256-8.Журавлев В. Г. Модули торических разбиений на множества ограниченного остатка и сбалансированные слова // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 4. С. 97–136.Zhuravlev, V. G. 2007, “One-dimensional Fibonacci tilings“, Izvestiya: Mathematics, vol. 71, no. 2, pp. 281–323. doi: https://doi.org/10.4213/im621.Журавлев В. Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, № 2. С. 89–122.Zhuravlev, V. G. 2006, “Rauzy tilings and bounded remainder sets on the torus“, Journal of Mathematical Sciences, vol. 137, no. 2, pp. 4658–4672. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-006-0262-z.Журавлев В. Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка на торе // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2005. Т. 322. С. 83–106.Zhuravlev, V. G. & Maleev, A. V. 2007, “Layer-by-layer growth of quasi-periodic Rauzy tiling“, Crystallography Reports, vol. 52, no. 2. pp. 180–186. doi: 10.1134/S1063774507020022.Журавлев В. Г., Малеев А. В. Послойный рост квазипериодического разбиения Рози // Кристаллография. 2007. Т. 52, № 2. С. 204–210.Zhuravlev, V. G. & Maleev, A. V. 2007, “Complexity function and forcing in the 2D quasiperiodic Rauzy tiling“, Crystallography Reports, vol. 52, no. 4, pp. 582–588. doi: 10.1134/S1063774507040037.Журавлев В. Г., Малеев А. В. Функция сложности и форсинг в двумерном квазипериодическом разбиении Рози // Кристаллография. 2007. Т. 52, № 4. С. 610–616.Krasilshchikov, V. V. & Shutov, A. V. 2011, “One-dimensional quasiperiodic tilings and their applications“, VF RUK, Vladimir.Красильщиков В. В., Шутов А. В. Одномерные квазипериодические разбиения и их приложения // Владимир. ВФ РУК. 2011.Kuznetsova, D. V. & Shutov, A. V. 2015, “Exchanged toric tilings, Rauzy substitution, and bounded remainder sets“, Mathematical Notes, vol. 98, issue 5–6, pp. 932–948. doi: 10.1134/S0001434615110267.Кузнецова Д. В., Шутов А. В. Перекладывающиеся разбиения тора, подстановка Рози и множества ограниченного остатка // Матем. заметки. 2015. Т. 98, № 6. С. 878–897.Manuylov, N. N. 2005, “Self-similarity of some sequences of points on a circle“, Journal of Mathematical Sciences, vol. 129, issue 3, pp. 3860–3867. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-005-0322-9.Мануйлов Н. Н. Самоподобие некоторых последовательностей точек на окружности // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2003. Т. 302, № 19. С. 81–95.Manuylov, N. N. 2006, “Direct renormalizations on the one-dimensional torus“, Journal of Mathematical Sciences, vol. 133, issue 6, pp. 1686–1692. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-006-0080-3.Мануйлов Н.Н. Прямые перенормировки на одномерном торе // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 142–154.Shutov, A. V. 2012, “Shifting on the torus and the multidimensional Hecke-Kesten problem“, Scientific notes of Oryol State University, vol. 6, no. 2, pp. 249–253.Шутов А. В. Перекладывания на торе и многомерная проблема Гекке-Кестена // Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. Т. 6, № 2. С. 249–253.Shutov, A. V. 2018, “Substitutions and bounded remainder sets“, Chebyshevskii Sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 501–522. doi: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-501-522.Шутов А. В. Подстановки и множества ограниченного остатка // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, № 2. С. 501–522.Shutov, A. V. 2006, “Derivatives of circle rotations and similarity of orbits“, Journal of Mathematical Sciences, vol. 133, issue 6, pp. 1765–1771. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-006-0088-8.Шутов А. В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 272–284.Shutov, A. V. 2006, “Number systems and bounded remainder sets“, Chebyshevskii Sbornik, vol. 7, no. 3, pp. 110–128.Шутов А. В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2006. Т. 7, № 3. С. 110–128.Shutov, A.V. & Maleev, A. V. 2017, “Strong parameterization and coordination encirclements of graph of Penrose tiling vertices“, Crystallography Reports, vol. 62, no. 4, pp. 535–542. doi: 10.1134/S1063774517040216.Шутов А. В., Малеев А. В. Сильная параметризация и координационные окружения графа вершин разбиения Пенроуза // Кристаллография. 2017. Т. 62, № 4. С. 535–542.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.