chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-3-220-245cheb-680Research ArticleСтатьиArticleО решениях обратных задач дифракции звуковых волнAbout solutions of inverse problems sound waves diffractionДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skii’Nikolai’ Nikolaevich

кандидат физико-математических наук, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет, доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула)

candidate of physical and mathematical sciences, department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate professor of the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University (Tula)

Nikolai.Dobrovolsky@gmail.comЛаринНиколай ВладимировичLarinNikolai’ Vladimirovich

кандидат физико-математических наук, кафедра прикладной математики и информатики

candidate of physical and mathematical sciences, department of applied mathematics and computer science

Larin220577@gmail.comСкобельцынСергей АлексеевичSkobel’tsynSergey Alekseevich

кандидат физико-математических наук, кафедра прикладной математики и информатики

candidate of physical and mathematical sciences, department of applied mathematics and computer science

skbl@rambler.ruТолоконниковЛев АлексеевичTolokonnikovLev Alekseevich

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики

doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science

TolokonnikovLA@mail.ruТульский государственный университет (г. Тула)РоссияTula State University (Tula)Russian Federation201901022020203220245Copyright © Добровольский Н.Н., Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А., 20202020Добровольский Н.Н., Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А.Dobrovol’skii’ N.N., Larin N.V., Skobel’tsyn S.A., Tolokonnikov L.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/680

Представлен обзор работ по решению обратных задач рассеяния звуковых волн упругими телами. Теоретические основы решения обратных задач дифракции звука базируются на фундаментальных исследованиях проблемы обратных задач для уравнений в частных производных, выполненных отечественными учеными. В самой общей классификации обратные задачи акустики делятся на обратные задачи излучения (ОЗИ) и обратные задачи рассеяния (ОЗР). При решении задач первого класса по характеристикам звукового поля определяют некоторые параметры излучателя. При решении задач второго класса измерения параметров рассеянного звукового поля используют для идентификации свойств рассеивающего объекта. Большая часть приложений акустических методов основана на решении обратных задач дифракции, когда по параметрам излучаемого или отраженного звукового поля судят о параметрах объекта или среды. Анализ звуковых полей составляет основу методов в гидро- и аэроакустике; исследований в биологии и медицине; неразрушающего контроля и диагностики объектов; ультразвуковой дефектоскопии; обследовании и испытании материалов, конструкций и сооружений. Решения всех обратных задач основаны на решении прямых задач дифракции. В работе представлены наиболее значимые результаты в решении прямых задач рассеяния звуковых волн упругими объектами. Выделены работы, посвященные проблемам обратных задач рассеяния звука неоднородными упругими телами. Это направление составляет предмет интересов в исследованиях авторов.

A review of works on solving the inverse problems of scattering of sound waves by elastic bodies is presented. The theoretical foundations for solving inverse problems of sound diffraction are based on fundamental studies of the problem of inverse problems for partial differential equations performed by Russian scientists. In the most general classification, inverse acoustic problems are divided into inverse radiation problems (IRP) and inverse scattering problems (ISP). When solving problems of the first class, the parameters of the sound field determine some parameters of the source. When solving the problems of the second class, the parameters of the scattered sound field are used to identify the properties of the scattering object. Most applications of acoustic methods are based on solving inverse diffraction problems when the parameters of an object or medium are judged by the parameters of the emitted or reflected sound field. Analysis of sound fields forms the basis of methods in hydro- and aeroacoustics; researches in biology and medicine; non-destructive testing and diagnostics of objects; ultrasonic flaw detection; inspection and testing of materials, structures and structures. The solutions of all inverse problems are based on the solution of direct diffraction problems. The paper presents the most significant results in solving direct problems of scattering of sound waves by elastic objects. The works devoted to the problems of inverse problems of sound scattering by inhomogeneous elastic bodies are singled out. This direction is the subject of interest in the research of the authors.

дифракция звуковых волнпрямая задача дифракцииобратная за- дача рассеяниярассеяние звука упругими теламиsound waves diffractiondirect diffraction probleminverse scattering problemsound scattering by elastic bodiesИсследование выполнено за счет гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проект 19- 41-710005)ReferencesТихонов А. Н. Теорема единственности для уравнения теплопроводности // Мат. сборник. 1935. Т. 42. № 2. С. 199–216.Tikhonov A. N. 1935, “Teorema edinstvennosti dlia uravneniia teploprovodnosti”, Math. sbornik, vol. 42. no. 2. pp. 199–216, [in Russian].Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 195–198.Tikhonov A. N. 1943, “Ob ustoichivosti obratnykh zadach”, Reports USSR Acad. Sci., vol. 39. no. 5. pp. 195–198, [in Russian].Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. № 1. С. 49–52.Tikhonov A. N. 1963, “O reguliarizatcii nekorrektno postavlennykh zadach”, Reports USSR Acad. Sci., no. 1. pp. 49–52, [in Russian].Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. 1963. № 3. С. 501–504.Tikhonov A. N. 1963, “O reshenii nekorrektno postavlennykh zadach i metode reguliarizatcii”, Reports USSR Acad. Sci., no. 3. pp. 501–504, [in Russian].Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 256 c.Tikhonov A. N. & Arsenin V.Ya. 1986, “Metody resheniia nekorrektnykh zadach”, Nauka, Мoscow, 256 p., [in Russian].Тихонов А., Леонов А., Ягола А. Нелинейные некорректные задачи. Москва: Наука, 1995. 398 c.Tikhonov A., Leonov A. & YAgola A. 1995, “Nelineinye nekorrektnye zadachi”, Nauka, Мoscow, 398 p., [in Russian].Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.Lavrentev M. M., Romanov V. G. & Shishatskii S.P. 1980, “Nekorrektnye zadachi matematicheskoi fiziki i analiza”, Nauka, Мoscow, 288 p., [in Russian].Романов В. Г., Кабанихин С. И., Пухначева Т. П. К теории обратных задач электродинамики // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266. № 5. С. 1070–1073.Romanov V. G., Kabanikhin S. I. & Pukhnacheva T.P. 1982, “K teorii obratnykh zadach elektrodinamiki”, Reports USSR Acad. Sci., vol. 266. no. 5. pp. 1070–1073, [in Russian].Романов В. Г. Теоремы единственности в обратных задачах для некоторых уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321. № 2. С. 254–257.Romanov V. G. 1991, “Teoremy edinstvennosti v obratnykh zadachakh dlia nekotorykh uravnenii vtorogo poriadka”, Reports USSR Acad. Sci., vol. 321. no. 2. pp. 254–257, [in Russian].Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научн. мир. 2005. 296 с.Romanov V. G. 2005, “Ustoichivost v obratnykh zadachakh”, Nauchnyi Mir, Мoscow, 296 p., [in Russian].Романов В. Г. О задаче определения структуры слоистой среды и формы импульсного источника // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48. № 4. С. 867–881.Romanov V. G. 2007, “O zadache opredeleniia struktury sloistoi sredy i formy impulsnogo istochnika”, Siberian Mathematical J., vol. 48. no. 4. pp. 867–881, [in Russian].Романов В. Г. Обратная задача для уравнений упругости при неизвестной форме импульсного источника // Доклады Академии наук. 2007. Т. 417. № 6. С. 746-752.Romanov V. G. 2007, “Obratnaia zadacha dlia uravnenii uprugosti pri neizvestnoi forme impulsnogo istochnika”, RAS reports, Т. 417. № 6. pp. 746-752, [in Russian].Кабанихин С. И. Методы решения обратных динамических задач для гиперболических уравнений / Условно-коректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука (Сиб.отд.). 1992. C. 109–123.Kabanikhin S. I. 1992, “Metody resheniia obratnykh dinamicheskikh zadach dlia giperbolicheskikh uravnenii”, Uslovno-korektnye zadachi matematicheskoi fiziki i analiza. Nauka, Novosibirsk„ 1992. C. 109–123, [in Russian].Кабанихин С. И., Карчевский А.Л. Оптимизационный алгоритм решения задачи Коши для эллиптического уравнения // Докл. РАН. 1998. Т. 359. № 4. С. 445–447.Kabanikhin S. I. & Karchevskii A. L. 1998, “Optimizatcionnyi algoritm resheniia zadachi Koshi dlia ellipticheskogo uravneniia”, RAS reports, vol. 359. no. 4. pp. 445–447, [in Russian].Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с.Kabanikhin S. I. 2009, “Obratnye i nekorrektnye zadachi”, Sibir. nauch. izd., Novosibirsk, 457 p., [in Russian].Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1982. 88 с.Lavrentev M. M., Reznitckaia K. G. & YAkhno. V. G. 1982, Odnomernye obratnye zadachi matematicheskoi fiziki. Nauka, Novosibirsk„ 88 p., [in Russian].Яхно В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1990. 303 с.YAkhno. V. G. 1990, “Obratnye zadachi dlia differentcialnykh uravnenii uprugosti”, Nauka, Novosibirsk, 303 p., [in Russian].Karchevsky A. L., Yakhno V. G. One-dimensional inverse problems for systems of elasticity with a source of explosive type // J. of Inverse and Ill-Posed Problems, VSP. Netherlands. 1999. V. 7. № 4. P. 347–364.Karchevsky A. L. & YAkhno. V. G. 1999, “One-dimensional inverse problems for systems of elasticity with a source of explosive type”, J. of Inverse and Ill-Posed Problems, VSP. Netherlands. 1999, vol. 7. no. 4. pp. 347–364, [in Russian].Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб.отд.), 1978. 118 с.Anikonov Yu. E. 1978, “Nekotorye metody issledovaniia mnogomernykh obratnykh zadach dlia differentcialnykh uravnenii”, Nauka, Novosibirsk, 118 p., [in Russian].Anikonov Yu.E., Bubnov B. A., Erokhin G. N. Inverse and Ill-Posed Sources Problems, VSP, Utrecht. Netherland, 1997. 239 p..Anikonov Yu.E., Bubnov B. A. & Erokhin G. N. 2001, “Inverse and Ill-Posed Sources Problems”, VSP, Utrecht. Netherland, 239 p.Anikonov Yu.E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. VSP, Utrecht. Netherland, 2001. 270 p..Anikonov Yu.E. 2001, “Inverse problems for kinetic and other evolution equations”, VSP, Utrecht. Netherland, 270 p.Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. - М.: Физматлит, 2007. 224 с.Vatuljan A. O. 2007, “Obratnye zadachi v mehanike deformiruemogo tverdogo tela”, Fizmatlit, Мoscow, 224 p., [in Russian].Самарский А. А, Вабишевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Издательство ЛКИ, 2009. 480 с.Samarskii A.A, Vabishevich P. N. 2009, “Chislennye metody resheniia obratnykh zadach matematicheskoi fiziki”, Izd. LKI, Мoscow, 480 p., [in Russian].Colton D., Kress R. Integral Equation Methods in Scattering Theory. New York: Wiley-Interscience, 1983. 320 p..Colton D. & Kress R. 1983, “Integral Equation Methods in Scattering Theory”, New York: Wiley-Interscience, 320 p.Colton D. The inverse scattering problem for time-harmonic acoustic waves. SIAM Review. 1984. V.26. P. 323-350.Colton D. 1984, “The inverse scattering problem for time-harmonic acoustic waves”, SIAM Review, vol.26. pp. 323-350.Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М. Мир. 1987. 311 с.Colton D. & Kress R. 1987, “Metody integralnykh uravnenii v teorii rasseianiia”, Mir, Moccow, 311 p., [in Russian].Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, 2nd edition. New York: Springer 1998. 336 p..Colton D. & Kress R. 1998, “Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, 2nd edition”, New York: Springer 1998. 336 p.Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. Berlin: Springer, 2013. 430 p..Colton D. & Kress R. 2013, “Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory”, Berlin: Springer, 430 p.Горюнов А. Л., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989. 152 с.Goriunov A. L. & Saskovetc A. V. 1989, “Obratnye zadachi rasseianiia v akustike”, MSU, Moscow, 152 p., [in Russian].Burov V. A., Prudnikova I.P., Sirotkina N. S. Inverse problem of ultrasonic scattering by boundary inhomogeneity in isotropic solids // Акуст. журн. 1992. Т. 38. № 6. С. 1013–1018.Burov V. A., Prudnikova I.P. & Sirotkina N. S. 1992, “Inverse problem of ultrasonic scattering by boundary inhomogeneity in isotropic solids”, Acoust. Pysics, vol. 38. no. 6. pp. 1013–1018.Burov V. A., Rumiantseva O. D. Solution of two-dimensional acoustical inverse scattering problem based on functional-analytical methods // Акуст. журн. 1992. Т. 38. № 3. С. 413–420.Burov V. A. & Rumiantseva O. D. 1992, “Solution of two-dimensional acoustical inverse scattering problem based on functional-analytical methods”, Akust. Zhurnal, vol. 38. no. 3. pp. 413–420, [in Russian].Буров B.А., Попов А. Ю., Сергеев С. Н., Шуруп А. С. Акустическая томография океана при использовании нестандартного представления рефракционных неоднородностей // Акуст. журн. 2005. Т. 51. № 5. С. 602–613.Burov V. A., Popov A. Iu., Sergeev S. N. & Shurup A. S. 2005, “Akusticheskaia tomografiia okeana pri ispolzovanii nestandartnogo predstavleniia refraktcionnykh neodnorodnostei”, Akust. Zhurnal, vol. 51. no. 5. pp. 602–613, [in Russian].Алексеенко Н. В., Буров В. А., Румянцева О. Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма Новикова-Хенкина // Акуст. журн. 2005.Т. 51. № 4. С. 437–446.Alekseenko N. V., Burov V. A. & Rumiantceva O. D. 2005, “Reshenie trekhmernoi obratnoi zadachi akusticheskogo rasseianiia na osnove algoritma Novikova-KHenkina”, Akust. Zhurnal, vol. 51. no. 4. pp. 437–446, [in Russian].Алексеенко Н. В., Буров В. А., Румянцева О. Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния. Модифицированный алгоритм Новикова // Акуст. журн. 2008. Т. 54. № 3. С. 469–482.Alekseenko N. V., Burov V. A. & Rumiantceva O. D. 2008, “Reshenie trekhmernoi obratnoi zadachi akusticheskogo rasseianiia. Modifitcirovannyi algoritm Novikova”, Akust. Zhurnal, vol. 54. no. 3. pp. 469–482, [in Russian].Буров В. А., Касаткина Е. Е., Марьин А. О., Румянцева О. Д. Оценки максимального правдоподобия в корреляционной акустической термотомографии // Акуст. журн. 2007. Т. 53. № 4. С. 580–596.Burov V. A., Kasatkina E. E., Marin A. O. & Rumiantceva O. D. 2007, “Ocenki maksimalnogo pravdopodobiia v korreliatcionnoi akusticheskoi termotomografii”, Akust. Zhurnal, vol. 53. no. 4. pp. 580–596, [in Russian].Буров В. А., Шмелев А. А. Численное и физическое моделирование процесса томографии на основе акустических нелинейных эффектов третьего порядка // Акуст. журн. 2009. Т. 55. № 4-5. С. 466–480.Burov V. A. & Shmelev A. A. 2009, “Chislennoe i fizicheskoe modelirovanie protcessa tomografii na osnove akusticheskikh nelineinykh effektov tretego poriadka”, Akust. Zhurnal, vol. 55. № 4-5. pp. 466–480, [in Russian].Буров В. А., Вечерин С. Н., Морозов С. А., Румянцева О. Д. Моделирование точного решения обратной задачи акустического рассеяния функциональными методами // Акуст. журн. 2010. Т. 56. № 4. С. 516–536.Burov V. A., Vecherin S.N., Morozov S.A. & Rumiantceva O. D. 2010, “Modelirovanie tochnogo resheniia obratnoi zadachi akusticheskogo rasseianiia funktcionalnymi metodami”, Akust. Zhurnal, vol. 56. no. 4. pp. 516–536, [in Russian].Буров В. А., Румянцева О. Д. Единственность и устойчивость решения обратной задачи акустического рассеяния // Акуст. журн. 2003. Т. 49. № 5. С. 590–603.Burov V. A. & Rumiantceva O. D. 2003, “Edinstvennost i ustoichivost resheniia obratnoi zadachi akusticheskogo rasseianiia”, Akust. Zhurnal, vol. 49. no. 5. pp. 590–603, [in Russian].Буров В. А., Румянцева О. Д. Обратные волновые задачи акустической томографии: Обратные задачи излучения в акустике Ч. 1. М.: УРСС, 2018. 384 с.Burov V. A. & Rumiantceva O. D. 2018, “Obratnye volnovye zadachi akusticheskoi tomografii: Obratnye zadachi izlucheniia v akustike P. 1”, URSS, Moscow, 384 p., [in Russian].Буров В. А., Румянцева О. Д. Обратные волновые задачи акустической томографии: Обратные задачи акустического рассеяния Ч. 2. М.: УРСС, 2019. 760 с.Burov V. A. & Rumiantceva O. D. 2020, “Obratnye volnovye zadachi akusticheskoi tomografii: Obratnye zadachi akusticheskogo rasseianiia P. 2”, URSS, Moscow, 760 p., [in Russian].Ворович И. И., Сумбатян М. А. Восстановление образа дефекта по рассеянному полю в акустическом приближении // Изв. АН СССР: МТТ. 1990. № 6. С. 79–84. 1.Vorovich I. I. & Sumbatian M. A. 1990, “Vosstanovlenie obraza defekta po rasseiannomu poliu v akusticheskom priblizhenii”, Izv. USSR Academy of Sciences: MSB, no. 6. pp. 79–84. 1, [in Russian].Vorovich I. I., Boyev N. V., Sumbatyan M. A. Reconstruction of the obstacle shape in acoustic medium under ultrasonic scanning // Inverse Problems in Engineering. 2001. V. 9. № 4. P. 315–337.Vorovich I. I., Boyev N. V. & Sumbatyan M. A. 2001, “Reconstruction of the obstacle shape in acoustic medium under ultrasonic scanning”, Inverse Problems in Engineering. 2001, vol. 9. no. 4. pp. 315–337, [in Russian].Goryunov A. A., Rychagov M. N. Reconstruction of a refraction inhomogeneity by the method of averages // Soviet Journal of Nondestructive Testing. 1989. Т. 24. № 12. С. 805–809Goryunov A. A. & Rychagov M. N. 1989, “Reconstruction of a refraction inhomogeneity by the method of averages”, Soviet Journal of Nondestructive Testing. 1989, vol. 24. no. 12. pp. 805–809, [in Russian].Goryunov A. A. Matrix Green’s function formalism in acoustic intrascopy problems // Russian Journal of Nondestructive Testing. 1992. Т. 27. № 6. С. 381–386.Goryunov A. A. 1992, “Matrix Green’s function formalism in acoustic intrascopy problems”, Russian Journal of Nondestructive Testing. 1992, vol. 27. no. 6. pp. 381–386, [in Russian].Rinkevich A. V., Smorodinskij Y. G., Volkova N. N., Zagrebin B. N. Group velocity of ultrasonics in transverse-isotrope media // Defectscopy (rus). 1994. № 2. С. 58–63.Rinkevich A. V., Smorodinskij Y. G., Volkova N. N. & Zagrebin B. N. 1994, “Group velocity of ultrasonics in transverse-isotrope media”, Defectscopy (rus). 1994, no. 2. pp. 58–63, [in Russian].Rinkevich A. B., Smorodinskii Ya.G., Burkhanov A. M., Krivonosova A. S., Keller B. Analysis of ultrasonic fields and flaw detection in aluminum single crystals based on laser detection technique // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2000. Т. 36. № 11. С. 831–838.Rinkevich A. B., Smorodinskii Ya.G., Burkhanov A. M., Krivonosova A. S. & Keller B. 2000, “Analysis of ultrasonic fields and flaw detection in aluminum single crystals based on laser detection technique”, Russian Journal of Nondestructive Testing. 2000, vol. 36. no. 11. pp. 831–838, [in Russian].Perov D. V., Rinkevich A. B., Smorodinskii Ya.G., Keler B. Using wavelets for analyzing ultrasonic fields detected by a laser interferometer. Flaw detection and localization in an aluminum single-crystal // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2001. Т. 37. № 12. С. 889–899.Perov D. V., Rinkevich A. B., Smorodinskii Ya.G. & Keler B. 2001, “Using wavelets for analyzing ultrasonic fields detected by a laser interferometer. Flaw detection and localization in an aluminum single-crystal”, Russian Journal of Nondestructive Testing. 2001, vol. 37. no. 12. pp. 889–899, [in Russian].Mogilner L. Y., Smorodinskii Y. G. Ultrasonic Flaw Detection: Adjustment and Calibration of Equipment Using Samples with Cylindrical Drilling // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2018. T. 54. № 9 С. 630–637.Mogilner L. Y. & Smorodinskii Y. G. 2018, “Ultrasonic Flaw Detection: Adjustment and Calibration of Equipment Using Samples with Cylindrical Drilling”, Russian Journal of Nondestructive Testing. 2018, T. 54. no. 9 pp. 630–637, [in Russian].David H. Y. Yen Interaction of a Plane Acoustic Wave with an Elastic Spherical Shell // J. Acoust. Soc. Amer. 1970. V. 47. № 5. P. 1325–1333.David H. Y. 1970, “Yen Interaction of a Plane Acoustic Wave with an Elastic Spherical Shell”, J. Acoust. Soc. Amer. 1970, vol. 47. no. 5. pp. 1325–1333.Davis C. M., Dragonette L. R., Flax L. Acoustic scattering from silicone rubber cylinders and spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1978. V. 63. № 6. P. 268–275.Davis C. M., Dragonette L. R. & Flax L. 1978, “Acoustic scattering from silicone rubber cylinders and spheres”, J. Acoust. Soc. Amer. 1978, vol. 63. no. 6. pp. 268–275.Faran J. J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. № 4. P. 405–418.Faran J. J. 1951, “Sound scattering by solid cylinders and spheres”, J. Acoust. Soc. Amer. 1951, vol. 23. no. 4. pp. 405–418.Flax L., Dragonette L. R., ¨Uberall H. Применение теории упругих резонансов при изучении рассеяния звука // Акуст. журн. 2004. Т. 49. № 1. С. 87–92.Flax L., Dragonette L. R. & ¨Uberall H. 2004, “Primenenie teorii uprugikh rezonansov pri izuchenii rasseianiia zvuka”, Akust. Zhurnal, vol. 49. no. 1. pp. 87–92, [in Russian].Лямшев Л. М. Дифракция звука на бесконечной тонкой цилиндрической оболочке // Акуст. журн. 1958. Т. 4. Вып. 2. С. 161–167.Liamshev L. M. 1958, “Difraktciia zvuka na beskonechnoi tonkoi tcilindricheskoi obolochke”, Akust. Zhurnal, vol. 4. no. 2. pp. 161–167, [in Russian].Лямшев Л. М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акуст. журн. 1959. Т. 5. Вып. 1. С. 58–63.Liamshev L. M. 1959, “Rasseianie zvuka uprugimi tcilindrami”, Akust. Zhurnal, vol. 5. no. 1. pp. 58–63, [in Russian].Шендеров Е.Л. Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку // Акуст. журн. 1963. Т. 9. Вып. 2. С. 222–230.SHenderov E. L. 1963, “Prohozhdenie zvukovoi volny cherez upruguiu tcilindricheskuiu obolochku”, Akust. Zhurnal, vol. 9. no. 2. pp. 222–230, [in Russian].Lee F. A. Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder // Acustica. 1963. V. 13. № 3. P. 26–31.Lee F. A. 1963, “Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder”, Acustica. 1963, vol. 13. no. 3. pp. 26–31.Hickling R. Echoes from Spherical Shells in Air. // J. Acoust. Soc. Amer. 1967. V. 42. № 2. P. 388–390.Hickling R. 1967, “Echoes from Spherical Shells in Air.”, J. Acoust. Soc. Amer. 1967, vol. 42. no. 2. pp. 388–390.Гнатовский И. И. Рассеяние плоской звуковой волны на тонкой упругой сферической оболочке // Прикладная акустика и вибрационная техника. Киев, 1968. С. 23–28.Gnatovskii I. I. 1968, “Rasseianie ploskoi zvukovoi volny na tonkoi uprugoi sfericheskoi obolochke”, Applied acoustics and vibration technology, Kiev, pp. 23–28, [in Russian].Метсавээр Я. А. О рассеянии волн упругими сферическими оболочками в акустической среде // Известия Академии наук Эстонской ССР. 1970. Т. 19., № 4. С. 415–422.Metsaveer Ya. A. 1970, “O rasseianii voln uprugimi sfericheskimi obolochkami v akusticheskoi srede”, Izv. Acad. Nauk Estonian SSR, vol. 19, no. 4. pp. 415–422, [in Russian].Бабкин В. П., Фадеева Л. М. Модельные эксперименты по аттестации шаровых мишеней // Труды Акуст. Института. 1971. Вып. 17. С. 80–98.Babkin V.P. & Fadeeva L. M. 1971, “Modelnye eksperimenty po attestatcii sharovykh mishenei”, Proceedings of Acoust. Institute, no. 17. pp. 80–98, [in Russian].Метсавээр Я. А., О применении теории оболочек в задачах рассеяния акустических волн от сферических оболочек в жидкой среде // Известия Академии наук Эстонской ССР. 1971. Т. 15. № 3. С. 321–328.Metsaveer Ya. A. 1971, “O primenenii teorii obolochek v zadachakh rasseianiia akusticheskikh voln ot sfericheskikh obolochek v zhidkoi srede”, Izv. Acad. Nauk Estonian SSR, vol. 15. no. 3. pp. 321–328, [in Russian].Векслер Н. Д. Дифракция плоской звуковой волны на полой упругой сфере // Акуст. журн. 1975. Т. 21. Вып. 5. С. 321–335.Veksler N. D. 1975, “Difraktciia ploskoi zvukovoi volny na poloi uprugoi sfere”, Akust. Zhurnal, vol. 21. no. 5. pp. 321–335, [in Russian].Плахов Д. Д., Саволайнен Г. Я. Дифракция сферической звуковой волны на упругой сферической оболочке // Акуст. журн. 1975. Т. 21. Вып. 5. С. 789–796.Plahov D. D. & Savolainen G. Ia. 1975, “Difraktciia sfericheskoi zvukovoi volny na uprugoi sfericheskoi obolochke”, Akust. Zhurnal, vol. 21. no. 5. pp. 789–796, [in Russian].Vogt R. H., Neubauer W. G. Relationship between acoustic reflection and vibrational modes of elastic spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1976. V. 60. № 1. Р. 15–22.Vogt R. H. & Neubauer W. G. 1976, “Relationship between acoustic reflection and vibrational modes of elastic spheres”, J. Acoust. Soc. Amer. 1976, vol. 60. no. 1. Р. 15–22.Кулько В. Ф., Михнова М. С. Резонансные явления, возникающие при падении акустических волн на шар // Отбор и передача информации (Киев). 1979. № 58. С. 128–132.Kulko V. F. & Mikhnova M. S. 1979, “Rezonansnye iavleniia, voznikaiushchie pri padenii akusticheskikh voln na shar”, Otbor i peredacha informatcii (Kiev). 1979, no. 58. pp. 128–132, [in Russian].George J., Nagl A., ¨Uberall H. Isolation of the resonant component in acoustic scattering from fluid-loaded elastic spherical shells // J. Acoust. Soc. Amer. 1979. V. 65. № 2. Р. 368–373.George J., Nagl A. & ¨Uberall H. 1979, “Isolation of the resonant component in acoustic scattering from fluid-loaded elastic spherical shells”, J. Acoust. Soc. Amer. 1979, vol. 65. no. 2. Р. 368–373.Векслер Н. Д., Корсунский В. М., Рыбак С. А. Рассеяния плоской наклонно падающей волны круговой цилиндрической оболочкой // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 1. С. 12–16.Veksler N. D., Korsunskii V. M. & Rybak S. A. 1990, “Rasseianiia ploskoi naclonno padaiushchei volny krugovoi tcilindricheskoi obolochkoi”, Akust. Zhurnal, vol. 36. no. 1. pp. 12–16, [in Russian].Дыхта В. В., Кунец Я. И., Поддубняк А. П. Осесимметричное рассеяние звуковых импульсов упругой сферической оболочкой с отверстием // Механика твердого тела. 1990. № 4. С. 141–148.Dykhta V. V., Kunetc Ia. I. & Poddubniak A.P. 1990, “Osesimmetrichnoe rasseianie zvukovykh impulsov uprugoi sfericheskoi obolochkoi s otverstiem”, Solid mechanics, no. 4. pp. 141–148, [in Russian].Клещев А. А. Дифракция звука от точечного источника на упругой цилиндрической оболочке // Акуст. журн. 2004. Т. 50. № 1. С.86–89.Cleshchev A. A. 2004, “Difraktciia zvuka ot tochechnogo istochnika na uprugoi tcilindricheskoi obolochke”, Akust. Zhurnal, vol. 50. no. 1. pp. 86–89, [in Russian].Ковалев В. А. Асимптотический подход в задачах рассеяния акустических волн упругими оболочками // Вестник Самарского гос. ун-та. 2006. № 9. С. 42–54.Kovalev V. A. 2006, “Asimptoticheskii podhod v zadachakh rasseianiia akusticheskikh voln uprugimi obolochkami”, Bulletin Samara state. Univ., no. 9. pp. 42–54, [in Russian].Марневская Л. А. К дифракции звуковой волны на шаре с неконцентрическим шаровым включением // Акуст. журн. 1972. Т. 18. Вып. 1. С. 571–578.Marnevskaia L. A. 1972, “K difraktcii zvukovoi volny na share s nekoncentricheskim sharovym vcliucheniem”, Akust. Zhurnal, vol. 18. no. 1. pp. 571–578, [in Russian].Безруков А. В., Приходько В. Ю., Тютекин В. В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 6. С. 762–766.Bezrukov A. V., Prihodko V. Iu. & Tiutekin V. V. 1986, “Rasseianie zvukovykh voln uprugimi radialno-sloistymi tcilindricheskimi telami”, Akust. Zhurnal, vol. 32. no. 6. pp. 762–766, [in Russian].Коваленко Г. П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акуст. журн. 1987. Т. 33. Вып. 6. С. 1060–1063.Kovalenko G.P. 1987, “K zadache o difraktcii akusticheskoi volny na neodnorodnom tverdom tele”, Akust. Zhurnal, vol. 33. no. 6. pp. 1060–1063, [in Russian].Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 1. С. 134–138.Skobel’tsyn S. A. & Tolokonnikov L. A. 1995, “Rasseianie zvukovykh voln transversalnoizotropnym neodnorodnym tcilindricheskim sloem”, Akust. Zhurnal, vol. 41. no. 1. pp. 134–138, [in Russian].Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4–5. С. 11–14.Tolokonnikov L. A. 1998, “Difraktciia zvukovykh voln na neodnorodnom anizotropnom polom tcilindre”, Oboronnaia tekhnika, no. 4–5. pp. 11–14, [in Russian].Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсальноизотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4–5. С. 9–11.Tolokonnikov L. A. 1998, “Difraktciia tcilindricheskikh voln na neodnorodnoi transversalnoizotropnoi tcilindricheskoi obolochke”, Oboronnaia tekhnika, no. 4–5. pp. 9–11, [in Russian].Толоконников Л. А. Резонансное рассеяние звука трансверсально-изотропной цилиндрической оболочкой // Изв. ТулГУ. Сер. Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006. Вып. 3. С. 106–114.Tolokonnikov L. A. 2006, “Rezonansnoe rasseianie zvuka transversalno-izotropnoi tcilindricheskoi obolochkoi”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Geodyn. Physics. Maths. Thermodyn. Geoecology, no. 3. pp. 106–114, [in Russian].Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 62–70.Romanov A. G. & Tolokonnikov L. A. 2009, “Rasseianie ploskoi zvukovoi volny neodnorodnym uprugim polym tcilindrom v viazkoi zhidkosti”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 1. pp. 62–70, [in Russian].Толоконников Л. А., Романов А. Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151–160.Tolokonnikov L. A. & Romanov A. G. 2008, “Difraktciia tcilindricheskikh zvukovykh voln na neodnorodnom polom tcilindre v viazkoi zhidkosti”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2. pp. 151–160, [in Russian].Ларин Н. В., Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474–483.Larin N. V. & Tolokonnikov L. A. 2009, “Difraktciia ploskoi zvukovoi volny na neodnorodnom uprugom tcilindricheskom sloe, granichashchem s neviazkimi teploprovodnymi zhidkostiami”, J. Appl Math. Mech., vol. 73. no. 3. pp. 474–483, [in Russian].Толоконников Л. А., Садомов А. А. О дифракции звука на неоднородной трансверсальноизотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 5. С. 208–216.Tolokonnikov L. A. & Sadomov A. A. 2006, “O difraktcii zvuka na neodnorodnoi transversalnoizotropnoi tcilindricheskoi obolochke v sloe zhidkosti”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Maths. Mech. Computer science, vol. 12. no. 5. pp. 208–216, [in Russian].Толоконников Л. А., Романов А. Г. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1-2. С. 3-10.Tolokonnikov L. A. & Romanov A. G. 2009, “Difraktciia zvukovykh voln na neodnorodnom uprugom polom tcilindre v sloe zhidkosti s zhestkimi granitcami”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 1-2. pp. 3-10, [in Russian].Толоконников Л. А., Романов А. Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 161–176.Tolokonnikov L. A. & Romanov A. G. 2008, “Rasprostranenie zvuka v volnovode v prisutstvii neodnorodnoi tcilindricheskoi obolochki proizvolnoi tolshchiny”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2. pp. 161–176, [in Russian].Толоконников Л. А. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 154–163.Tolokonnikov L. A. 2009, “Difraktciia zvuka na transversalno-izotropnoi tcilindricheskoi obolochke proizvolnoi tolshchiny v volnovode s akusticheski miagkimi granitcami”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3. pp. 154–163, [in Russian].Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850–857.Romanov A. G. & Tolokonnikov L. A. 2011, “Rasseianie zvukovykh voln tcilindrom s neodnorodnym uprugim pokrytiem”, J. Appl Math. Mech., vol. 75. no. 5. pp. 850–857, [in Russian].Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265–274.Tolokonnikov L. A. 2013, “Rasseianie naclonno padaiushchei ploskoi zvukovoi volny uprugim tcilindrom s neodnorodnym pokrytiem”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2. Part 2. pp. 265–274, [in Russian].Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202–208.Tolokonnikov L. A. 2013, “Difraktciia tcilindricheskikh zvukovykh voln na tcilindre s neodnorodnym uprugim pokrytiem”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3. pp. 202–208, [in Russian].Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный плоский слой // Акуст. журн. 1990. Т. 36. № 4. С. 740–744.Skobel’tsyn S. A. & Tolokonnikov L. A. 1990, “Prohozhdenie zvukovykh voln cherez transversalno-izotropnyi neodnorodnyi ploskii sloi”, Akust. Zhurnal, vol. 36. no. 4. pp. 740–744, [in Russian].Толоконников Л. А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 5. С. 179–184.Tolokonnikov L. A. 1999, “Otrazhenie i prelomlenie ploskoi zvukovoi volny anizotropnym neodnorodnym sloem”, J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 40. no. 5. pp. 179–184, [in Russian].Толоконников Л. А. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями // ПММ. 1998. Т. 62. № 6. С. 1029–1035.Tolokonnikov L. A. 1998, “Prohozhdenie zvuka cherez neodnorodnyi anizotropnyi sloi, granichashchii s viazkimi zhidkostiami”, J. Appl Math. Mech., vol. 62. no. 6. pp. 1029–1035, [in Russian].Ларин Н. В., Толоконников Л. А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // ПММ. 2006. Т. 70. № 4. С. 650–659.Larin N. V. & Tolokonnikov L. A. 2006, “Prohozhdenie ploskoi zvukovoi volny cherez neodnorodnyi termouprugii sloi”, J. Appl Math. Mech., vol. 70. no. 4. pp. 650–659, [in Russian].Harari I., Hughes T. J.R. Finite element method for the Helmholtz equation in an exterior domain: model problems // Comp. Methods Appl. Mech. Eng. 1991. V. 87. P. 59–96.Harari I. & Hughes T. J.R. 1991, “Finite element method for the Helmholtz equation in an exterior domain: model problems”, Comp. Methods Appl. Mech. Eng. 1991, vol. 87. pp. 59–96.Gan H., Levin P. L., Ludwig R. Finite element formulation of acoustic scattering phenomena with absorbing boundary condition in the frequency domain // J. Acoust. Soc. Am. 1993. V. 94. № 3. Pt. 1. P. 1651–1662.Gan H., Levin P. L. & Ludwig R. 1993, “Finite element formulation of acoustic scattering phenomena with absorbing boundary condition in the frequency domain”, J. Acoust. Soc. Am. 1993, vol. 94. no. 3. Pt. 1. pp. 1651–1662.Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer Publishing Company, Inc., 2013. 226 p.Ihlenburg F. 2013, Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer Publishing Company, Inc., 226 p.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.Gallager R. 1984, “Metod konechnykh elementov. Osnovy”, Mir, Мoscow, 428 p., [in Russian].Полежаев В. И., Простомолотов А. И., Федосеев А. И. Метод конечных элементов в механике вязкой жидкости // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1987. Т. 21. С. 3–92.Polezhaev V. I., Prostomolotov A. I. & Fedoseev A. I. 1987, “Metod konechnykh elementov v mehanike viazkoi zhidkosti”, Results of science and technology. VINITI. Ser. Mechanics of fluid and gas, vol. 21. pp. 3–92, [in Russian].Скобельцын С.А. Подход к решению задач о рассеянии упругих волн с использованием МКЭ // Тез. докл. междунар. научн. конф. “Современные проблемы математики, механики, информатики” Тула: ТулГУ, 2004. С. 135–136.Skobel’tsyn S. A. 2004, “Podhod k resheniiu zadach o rasseianii uprugikh voln s ispolzovaniem MKE”, Thes. doc. Int. sci. conf. Modern problems of mathematics, mechanics, computer science”, Tula: TulSU, 2004. pp. 135–136, [in Russian].Иванов В. И., Скобельцын С. А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Изв. ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. Тула: ТулГУ, 2008. С. 132–145.Ivanov V. I. & Skobel’tsyn S. A. 2008, “Modelirovanie reshenii zadach akustiki s ispolzovaniem MKE”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2. Tula: TulSU, pp. 132–145, [in Russian].McLaughlin J., Yoon J.-R. Unique identifiability of elastic parameters from time-dependent interior displacement measurement // Inverse Problems. 2004. V 20. P. 25–45.McLaughlin J. & Yoon J.-R. 2004, “Unique identifiability of elastic parameters from timedependent interior displacement measurement”, Inverse Problems. 2004, V 20. pp. 25–45, [in Russian].Jadamba B., Khan A. A., Raciti F. On the inverse problem of identifying Lamе coefficients in linear elasticity // J. Computers and Mathematics with Applications. 2008. V. 56. P. 431–443.Jadamba B., Khan A. A. & Raciti F. 2008, “On the inverse problem of identifying Lamе coefficients in linear elasticity”, J. Computers and Mathematics with Applications. 2008, vol. 56. pp. 431–443.Бочарова О. В., Ватульян А. О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня // Акуст. журн. 2009. Т. 55. № 3. С. 275–282.Bocharova O. V. & Vatuljan A. O. 2009, “O rekonstruktcii plotnosti i modulia Younga dlia neodnorodnogo sterzhnia”, Akust. Zhurnal, 2009. Т. 55. no. 3. pp. 275–282, [in Russian].Ватульян А. О. К теории обратных коэффициентных задач в линейной механике деформируемого тела // ПММ. 2010. Т. 74. № 6. С. 911–918.Vatuljan A. O. 2010, “K teorii obratnykh koeffitcientnykh zadach v lineinoi mehanike deformiruemogo tela”, J. Appl Math. Mech., vol. 74. no. 6. pp. 911–918, [in Russian].Nedin R., Nesterov S., Vatuljan A. On an inverse problem for inhomogeneous thermoelastic rod // Int. J. Solids. Struct. 2014. V. 51. № 3–4. P. 767–773.Nedin R., Nesterov S. & Vatuljan A. 2014, “On an inverse problem for inhomogeneous thermoelastic rod”, Int. J. Solids. Struct. 2014, vol. 51. no. 3–4. pp. 767–773.Ватульян А. О., Сатуновский П. С. Об определении упругих модулей при анализе колебаний неоднородного слоя // Доклады РАН. 2007. Т. 414. № 1. С. 36–38.Vatuljan A. O. & Satunovskii P. S. 2007, “Ob opredelenii uprugikh modulei pri analize kolebanii neodnorodnogo sloia”, RAS reports, vol. 414. no. 1. pp. 36–38, [in Russian].Ватульян А. О., Явруян О. В., Богачев И. В. Идентификация упругих характеристик неоднородного по толщине слоя // Акуст. журн. 2011. Т. 57. № 6. С. 723–730.Vatuljan A. O., Iavruian O. V. & Bogachev I. V. 2011, “Identifikatciia uprugikh harakteristik neodnorodnogo po tolshchine sloia”, Akust. Zhurnal, vol. 57. no. 6. pp. 723–730, [in Russian].Ватульян А. О., Явруян О. В., Богачев И. В. Идентификация неоднородных свойств ортотропного упругого слоя // Акуст. журн. 2013. Т. 59. № 6. С. 752–758.Vatuljan A. O., Iavruian O. V. & Bogachev I. V. 2013, “Identifikatciia neodnorodnykh svoistv ortotropnogo uprugogo sloia”, Akust. Zhurnal, vol. 59. no. 6. pp. 752–758, [in Russian].Vatuljan A. O., Bogachev I. V., Yavruyan O. V. Reconstruction of inhomogeneous properties of orthotropic viscoelastic layer // Int. J. Solids. Struct. 2014. V. 51. № 11–12. P. 2238–2243.Vatuljan A. O., Bogachev I. V. & Yavruyan O. V. 2014, “Reconstruction of inhomogeneous properties of orthotropic viscoelastic layer”, Int. J. Solids. Struct. 2014, vol. 51. no. 11–12. pp. 2238–2243.Толоконников Л. А., Юдачев В. В., О прохождении плоской звуковой волны через плоский упругий слой с неоднородным покрытием / Матер. междунар. научн. конф. “Совр. пробл. математики, механики, информатики”. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 477–480.Tolokonnikov L. A. & Yudachev V. V. 2013, “O prohozhdenii ploskoi zvukovoi volny cherez ploskii uprugii sloi s neodnorodnym pokrytiem”, Math. Int. sci. conf. “Modern problems of mathematics, mechanics, computer science”, Tula: Izd. TulSU, pp. 477–480, [in Russian].Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // ПММ, 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519–526.Tolokonnikov L. A. 2014, “Rasseianie ploskoi zvukovoi volny uprugim sharom s neodnorodnym pokrytiem”, J. Appl Math. Mech., vol. 78. no. 4. pp. 519–526, [in Russian].Скобельцын С. А. Определение параметров неоднородности анизотропного упругого слоя по прохождению звука // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. С. 246–257.Skobel’tsyn S. A. 2016, “Opredelenie parametrov neodnorodnosti anizotropnogo uprugogo sloia po prohozhdeniiu zvuka”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 7. P. 2. pp. 246–257, [in Russian].Скобельцын С. А. Определение положения границы разделения двухслойной упругой пластины по отражению звука // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 122–130.Skobel’tsyn S. A. 2014, “Opredelenie polozheniia granitcy razdeleniia dvukhsloinoi uprugoi plastiny po otrazheniiu zvuka”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3. pp. 122–130, [in Russian].Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Определение параметров неоднородности анизотропного покрытия упругого полупространства по отражению звука // Тез. докл. 8-й Всероссийской научной конф. с международным участием “Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред”. М.: ИПРИМ РАН, 2018. С. 58.Skobel’tsyn S. A. & Tolokonnikov L. A. 2018, “Opredelenie parametrov neodnorodnosti anizotropnogo pokrytiia uprugogo poluprostranstva po otrazheniiu zvuka”, Thes. doc. 8-th All-Russian sci. conf. “Mehanika kompozitcionny‘kh materialov i konstruktcii‘, slozhny‘kh i geterogenny‘kh sred”, IPRIM RAS, Moscow, pp. 58, [in Russian].Скобельцын С. А. Идентификация плотности материала упругого цилиндра по рассеянному акустическому полю // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 158–169.Skobel’tsyn S. A. 2015, “Identifikatciia plotnosti materiala uprugogo tcilindra po rasseiannomu akusticheskomu poliu”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 4. pp. 158–169, [in Russian].Скобельцын С. А., Пешков Н.Ю. Определение положения эллиптической полости в упругом цилиндре по отражению звука // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 1. С. 109–121.Skobel’tsyn S. A. & Peshkov N.Yu. 2018, “Opredelenie polozheniia ellipticheskoi polosti v uprugom tcilindre po otrazheniiu zvuka”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 1. pp. 109–121, [in Russian].Скобельцын С. А. Идентификация размера и положения полости в упругом шаре по отражению звуковой волны // Сб. трудов Междунар. научно-технической конф. “Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики” Воронеж: "Научно-исследовательские публикации". 2017. С. 1255-1262.Skobel’tsyn S. A. 2017, “Identifikatciia razmera i polozheniia polosti v uprugom share po otrazheniiu zvukovoi volny”, Proceedings Int. sci.-tech. conf. Actual problems of applied mathematics, computer science and mechanics”, “Nauchno-issledovatel‘skie publikatcii”, Voronezh, pp. 1255-1262, [in Russian].Skobelt’syn S. A., Peshkov N. Y. Finding, by means of a scattered sound, the geometric parameters of a finite elastic cylinder located near the half-space border // J. Phys.: Conf. Ser., 2019. V. 1203. 012023. pp. 1-10.Skobelt’syn S. A. & Peshkov N. Y. 2019, “Finding, by means of a scattered sound, the geometric parameters of a finite elastic cylinder located near the half-space border”, J. Phys.: Conf. Ser., vol. 1203. 012023. pp. 1-10.Скобельцын С. А. Идентификация параметров анизотропного покрытия упругого шара по отраженному звуку // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 144–156.Skobel’tsyn S.A. 2016, “Identifikatciia parametrov anizotropnogo pokrytiia uprugogo shara po otrazhennomu zvuku”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 11. P. 2. pp. 144–156, [in Russian].Скобельцын С.А. Определение направления оси упругой симметрии анизотропного шара по рассеянному звуковому полю // Сб. трудов II Всероссийской акустической конференции, совмещенной с XXX сессией Российского акустического общества. Н. Новгород: ИПФ РАН, 2017. С. 1699-1705.Skobel’tsyn S. A. 2017, “Opredelenie napravleniia osi uprugoi simmetrii anizotropnogo shara po rasseiannomu zvukovomu poliu”, Proceedings of the II All-Russian Acoustic Conference, IPF RAS, N. Novgorod, pp. 1699-1705, [in Russian].Ларин Н. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотражающими свойствами // Акуст. журн. 2015. Т. 61. № 5. С. 552–558.Larin N. V., Skobel’tsyn S. A. & Tolokonnikov L. A. 2015, “Opredelenie zakonov neodnorodnosti ploskogo uprugogo sloia s zadannymi zvukootrazhaiushchimi svoistvami”, Akust. Zhurnal, vol. 61. no. 5. pp. 552–558, [in Russian].Ларин Н. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами // ПММ. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480–488.Larin N. V., Skobel’tsyn S. A. & Tolokonnikov L. A. 2016, “Modelirovanie neodnorodnogo pokrytiia uprugoi plastiny s optimalnymi zvukootrazhaiushchimi svoistvami”, J. Appl Math. Mech., vol. 80. no. 4. pp. 480–488, [in Russian].Скобельцын С. А. Оценка свойств покрытия конечной упругой пластины с полостью, обеспечивающих заданные параметры отражения звука // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2017. № 7. С. 83–92.Skobel’tsyn S. A. 2017, “Ocenka svoistv pokrytiia konechnoi uprugoi plastiny s polostiu, obespechivaiushchikh zadannye parametry otrazheniia zvuka”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 7. pp. 83–92, [in Russian].Ларин Н. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54–62.Larin N. V., Skobel’tsyn S. A. & Tolokonnikov L. A. 2014, “Ob opredelenii lineinykh zakonov neodnorodnosti tcilindricheskogo uprugogo sloia, imeiushchego naimenshee otrazhenie v zadannom napravlenii pri rasseianii zvuka”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 4. pp. 54–62, [in Russian].Скобельцын С. А. Определение параметров неоднородности покрытия эллиптического цилиндра по рассеянию звука в присутствии упругого полупространства // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 290–302.Skobel’tsyn S. A. 2018, “Opredelenie parametrov neodnorodnosti pokrytiia ellipticheskogo tcilindra po rasseianiiu zvuka v prisutstvii uprugogo poluprostranstva”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 9. pp. 290–302.Толоконников Л. А., Ларин Н. В., Скобельцын С. А. Моделирование неоднородного покрытия упругого шара с требуемыми звукоотражающими свойствами // Математическое моделирование. 2017. Т. 29. № 11. С. 89-98.Tolokonnikov L. A., Larin N. V. & Skobel’tsyn S. A. 2017, “Modelirovanie neodnorodnogo pokrytiia uprugogo shara s trebuemymi zvukootrazhaiushchimi svoistvami”, Math modeling, vol. 29. no. 11. pp. 89-98, [in Russian].Скобельцын С. А. Минимизация рассеяния звука сфероидом вблизи идеальной поверхности выбором параметров внешнего слоя // Изв. ТулГУ. Технические науки, 2018. Вып. 9. С. 421–437.Skobel’tsyn S. A. 2018, “Minimizatciia rasseianiia zvuka sferoidom vblizi idealnoi poverkhnosti vyborom parametrov vneshnego sloia”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, 2018. no. 9. pp. 421–437, [in Russian].Бобровницкий Ю.И. Теория новых поглощающих и нерассеивающих покрытий повышенной эффективности // Акуст. журн. 2007. Т. 53. № 5. С. 613–624.Bobrovnitckii Yu. I. 2007, “Teoriia novykh pogloshchaiushchikh i nerasseivaiushchikh pokrytii povyshennoi effektivnosti”, Akust. Zhurnal, vol. 53. no. 5. pp. 613–624, [in Russian].Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акуст. журн. 2008. Т. 54. № 6. С. 879–889.Bobrovnitckii Yu. I. 2008, “Nerasseivaiushchee pokrytie dlia tcilindra”, Akust. Zhurnal, vol. 54. no. 6. pp. 879–889, [in Russian].Бобровницкий Ю.И., Морозов К. Д., Томилина Т. М. Периодическая поверхностная структура с экстремальными акустическими свойствами // Акуст. журн. 2010. Т. 56. № 2. С. 147–151.Bobrovnitckii Yu. I., Morozov K. D. & Tomilina T. M. 2010, “Periodicheskaia poverkhnostnaia struktura s ekstremalnymi akusticheskimi svoistvami”, Akust. Zhurnal, vol. 56. no. 2. pp. 147–151, [in Russian].Бобровницкий Ю.И. Научные основы акустического стелса // Доклады Академии наук. 2012. Т. 442. № 1. С. 41–44.Bobrovnitckii Yu. I. 2012, “Nauchnye osnovy akusticheskogo stelsa”, RAS reports, vol. 442. no. 1. pp. 41–44, [in Russian].Бобровницкий Ю.И., Томилина Т. М. Поглощение звука и метаматериалы (обзор) // Акуст. журн. 2018. Т. 64. № 5. С. 517–525.Bobrovnitckii Yu. I. & Tomilina T. M. 2018, “Pogloshchenie zvuka i metamaterialy (obzor)”, Akust. Zhurnal, vol. 64. no. 5. pp. 517–525, [in Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.