chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-3-193-219cheb-679Research ArticleСтатьиArticleО трёхмерных сетках Смоляка IAbout three-dimensional nets of Smolyak IДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skyNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула)

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate professor of the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University (Tula).

nikolai.dobrovolsky@gmail.comГорбачевДмитрий ВикторовичGorbachevDmitry Viktorovich

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики

Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Department of Applied Mathematics and Computer Science

dvgmail@mail.ruИвановВалерий ИвановичIvanovValerii Ivanovich

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики

Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Head of the Department of Applied Mathematics and Computer Science

ivaleryi@mail.ruТульский государственный университет (г. Тула)РоссияTula State University (Tula)Russian Federation201901022020203193219Copyright © Добровольский Н.Н., Горбачев Д.В., Иванов В.И., 20202020Добровольский Н.Н., Горбачев Д.В., Иванов В.И.Dobrovol’sky N.N., Gorbachev D.V., Ivanov V.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/679

Это первая статья из серии посвящённой сеткам Смоляка. Работа относится к аналитической теории чисел и в ней рассматриваются вопросы приложения теории чисел к задачам приближенного анализа. Рассмотрено понятие гиперболического параметра сеток с весами и аналог теоремы Бахвалова для гиперболического параметра сеток с весами и гиперболической дзета-функции сеток. В данной работе получены следующие результаты:1. доказана усиленная обобщённая теорема Бахвалова–Коробова для гиперболической дзета-функции трёхмерных сеток;2. подсчитано число узлов сетки Смоляка с учетом их кратности; число узлов c учетом их весов.3. подсчитано число узлов сетки Смоляка без учета их кратности;4. подсчитано число узлов сетки Смоляка c учетом их весов;5. найдена форма квадратурной формулы с сеткой Смоляка без кратных узлов и найдены явные формулы для весов этой квадратурной формулы. Показано, что количество узлов такой квадратурной формулы в 7 раз меньше, чем в случае формулы с кратными узлами.

The work refers to the analytical theory of numbers and it deals with the application of number theory to problems of approximate analysis. The concept of the hyperbolic parameter of grids with weights and the analogue of Bakhvalov’s theorem for the hyperbolic parameter of grids with weights and the hyperbolic Zeta function of grids are considered. In this paper the following results are obtained:1. a strengthened generalized Bakhvalov–Korobov theorem for the hyperbolic Zeta function of three-dimensional grids is proved;2. the number of nodes of the resin grid is calculated taking into account their multiplicity; the number of nodes taking into account their weights.3. the number of nodes of the resin grid is calculated without taking into account their multiplicity;4. the number of nodes of the resin grid is calculated taking into account their weights;5. the form of a quadrature formula with a resin grid without multiple nodes is found and explicit formulas for the weights of this quadrature formula are found. It is shown that the number of nodes of such a quadrature formula is 7 times less than in the case of a formula with multiple nodes.

сетки Смолякаквадратурные формулы с сетками Смолякаинтерпо- ляционные формулы с сетками Смолякаgrid Smolyakquadrature formulas with grids of Smolyakinterpolation formula with grids of SmolyakИсследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710005_р_аAcknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710005_r_aReferencesБахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 3–18.Bakhvalov, N.S. 1959, “On approximate computation of multiple integrals” , Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 3–18.Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. 193 с.Vronskaya, G.T. & Dobrovol’skii, N. N. 2012, Otklonenie ploskikh setok [Standard deviation of a flat mesh], Izdatel’stvo TGPU im. L.N.Tolstogo, Tula, Russia.Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. 284 с.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N. 2012, Mnogomernye teoretiko-chislovye setki i reshyotki i algoritmy poiska optimal’nykh koehffitsientov [Multidimensional number-theoretic grids and lattices and algorithms for finding optimal coefficients], Izdatel’stvo Tul’skogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. L.N. Tolstogo, Tula, Russia. 284 p.Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13, вып. 4(44). С. 4–107.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N. 2012, “The hyperbolic Zeta function of grids and lattices, and calculation of optimal coefficients” , Chebyshevskij sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4–107.Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" . Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90–98.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N., Ogorodnichuk, N. K., Rebrov, E. D. & Rebrova, I. YU. 2012, “Some questions of the number-theoretic method in the approximate analysis” , Trudy X mezhdunarodnoj konferentsii “Аlgebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya” Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of the X international conference "Algebra and number theory: modern problems and applications"scientific notes of Orel state University], no. 6, part 2, pp. 90-98.Добровольская Л. П., М. Н. Добровольский, Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 4, ч. 2. С. 47–52.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N., & Rebrova, I. YU. 2013, “Some questions of the number-theoretic method in the approximate analysis” , Izvestie Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika, vol.13, no. 4(2), pp. 47-52.Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник 2008 Т. 9, вып. 1(25). С. 185–223.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, N. M. & Simonov, А.S. 2008, “On the error of approximate integration over modified grids” , Chebyshevskij sbornik, vol. 9, no. 1(25), pp. 185–223.Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 82–90.Dobrovol’skii, M. N. 2003, “Estimates of sums over a hyperbolic cross” , Izvestie Tul’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika, vol.9, no. 1, pp. 82-90.Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6090–84.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “The hyperbolic Zeta function of lattices” , Dep. v VINITI, no. 6090–84.Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6089–84.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “Evaluation of generalized variance parallelepipedal grids” , Dep. v VINITI, no. 6089–84.Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах $$E^alpha_s(c)$$ и $$H^alpha_s(c)$$ / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091–84.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “On quadrature formulas in classes $$E^\alpha_s(c)$$ и $$H^\alpha_s(c)$$” , Dep. v VINITI, no. 6091–84Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Яфаева Р. Р. О сетках С. А. Смоляка // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Тула: ТулГу, 2002. С. 18–20.Dobrovol’skii, N. M., Esayan, А.R. & Yafaeva, R. R. 2002, “On grids of Smolyak S. A.” , Sovremennye problemy matematiki, mekhaniki, informatiki: Tezisy dokladov Vserossijskoj nauchnoj konferentsii, Tula, Russia, pp. 18–20.Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4, вып. 3. Тула, 1998. C. 56–67.Dobrovol’skii, N. M. & Manokhin, E.V. 1998, “Banach spaces of periodic functions” , Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 4, no. 3, pp. 56–67.Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7, вып. 1. Тула, 2001. С. 82–86.Dobrovol’skii, N. M., Manokhin, E.V., Rebrova, I. YU. & Roshhenya, А. L., 2001, "On the continuity of the Zeta function of a grid with weights" , Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 7, no. 1., pp. 82–86.Добровольский Н. Н. О числе целых точек в гиперболическом кресте при значениях параметра 1 <= t < 21 // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 91–95.Dobrovol’skii, N. N. 2003, “On the number of integer points in a hyperbolic cross at the values of 1<= t < 21” , Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 9, no. 1, pp. 91–95.Добровольский Н. Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 110–152.Dobrovol’skii, N. N. 2007, “Deviation of two-dimensional Smolyak grids” , Chebyshevskij sbornik, vol. 8, no. 1(21), pp. 110–152.Добровольский Н. Н. О тригонометрическом полиноме сетки Смоляка // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 36–36.Dobrovol’skii, N. N. 2007, “A trigonometric polynomial on a grid of Smolyak”, Materialy mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii “Sovremennye problemy matematiki, mekhaniki, informatiki” [Proceedings of the international scientific conference “Modern problems of mathematics, mechanics, computer science”], Tula, Russia, pp. 34–36.Добровольский Н. Н. О гиперболическом параметре сетки // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 6–18.Dobrovol’skii, N. N., 2013, "О гиперболическом параметре сетки" , Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 2. P. 1. P. 6–18.Добровольский Н. Н. Гиперболический параметр сеток с весами и его применение: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ имени М. В. Ломоносова, 2014.Dobrovol’skii, N. N., 2014, Hyperbolic parameter of meshes with weights and its application, Ph.D. Thesis, Moscow State University, Moscow, Russia.Киселёва О. В. О задаче Коробова для модифицированных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007. Т. 8, вып. 4(24). С. 50–104.Kiseleva O. V., 2007, "On the Korobov problem for modified resin grids" , Chebyshevskij sbornik, vol. 8, no. 4(24), pp. 50–104.Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062–1065.Korobov, N. M., 1957, “Approximate evaluation of multiple integrals by using methods of the theory of numbers”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 115, no. 6, pp. 1062–1065.Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19–25.Korobov, N. M., 1959, “The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19–25.Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 6. С. 1207–1210.Korobov, N. M., 1959, “On approximate computation of multiple integrals”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 124, no. 6, pp. 1207–1210.Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009–1012.Korobov, N. M., 1960, “Properties and calculation of optimal coefficients”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009–1012.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.Korobov, N. M., 1963, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 2. С. 83–90.Korobov, N.M. 1994, “Quadrature formulas with combined grids”, Matematicheskie zametki, vol. 55, no. 2, pp. 83–90.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе (второе издание). М.: МЦНМО, 2004.Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.Реброва И. Ю., Чубариков В. Н., Добровольский Н. Н., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О классических теоретико-числовых сетках // Чебышевcкий сборник. 2018. Т. 19, вып. 4, С. 118–176.I. Yu. Rebrova, V. N. Chubarikov, N. N. Dobrovol’skii, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, 2018, "On classical number-theoretic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 118–176.Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР. 1963. Т. 148, № 5, С. 1042–1045.Smolyak, S. А., 1963, “Quadrature and interpolation formulas on tensor products of some classes of functions”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 148, no. 5, pp. 1042–1045.Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.Sobol’, I. M., 1969, Mnogomernye kvadraturnye formuly i funktsii Khaara [Multidimensional quadrature formulas and Haar functions], Nauka, Moscow, USSR.Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231. № 4. С. 818–821.Frolov, K. K., 1976, “Upper bounds on the error of quadrature formulas on classes of functions”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 231, no.4, pp. 818–821.Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1979.Frolov, K. K., 1979, Quadrature formulas on classes of functions, Ph.D. Thesis, Vychislitel’nyj tsentr Аkademii Nauk SSSR, Moscow, USSR.Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел / М.: Изд-во "МИР" 1974.Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.Dobrovolskaya, L. P., Dobrovolsky, M. N., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovolsky, N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. V. 211. 2014. P. 23–62. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_2Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N., 2014, “On Hyperbolic Zeta Function of Lattices”, Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, vol. 211, pp. 23–62. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_2Faure H. Discrepance de suites associees a un systeme denumeration (en dimention s) // Acta Arith. 41. 1982. P. 337–351.Faure, H., 1982, “Discrepance de suites associees a un systeme denumeration (en dimentions)”, Acta Arith, vol. 41, pp. 337–351.Halton J. H. On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluating multidimensional integrals. // Numerische Math. 27. № 2 (1960), 84–90, Bd 2 № 2.Halton, J. H., 1960, “On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluating multidimensional integrals”, Numerische Math, vol. 27, no. 2, pp. 84–90.Hammersley J. M. Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems // Proc. N 4. Acad. Sci. 1960.Hammersley, J. M., 1960, “Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems”, Ann. New York Acad. Sci., vol. 86, 844–874.Weyl H. ¨Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313–352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984).Hammersley, J. M., 1960, “Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems”, Ann. New York Acad. Sci., vol. 86, 844–874.Weyl H., 1916, “On the uniform distribution of Numbers mod. one”, Math. Ann., vol. 77, pp. 313–352.Weyl H., 1916, “On the uniform distribution of Numbers mod. one”, Math. Ann., vol. 77, pp. 313–352.Weyl H., 1916, “On the uniform distribution of Numbers mod. one”, Math. Ann., vol. 77, pp. 313–352.Weyl H., 1916, “On the uniform distribution of Numbers mod. one”, Math. Ann., vol. 77, pp. 313–352.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.