доктор физико-математических наук профессор кафедры математических и компьютерных методов анализа
doctor of physical and mathematical sciences, professor of mathematical and computer methods of analysis department
доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры теоретической информатики и дискретной математики
doctor of pedagogical sciences, candidate of physical and mathematical science, professor of the department of theoretical computer science and discrete mathematics
Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле $$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$$ и сумматорных функций $$\Phi(x)=\sum_{n\leq x} a_n$$ их коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана $$\zeta(s),$$ определенная для любого комплексного числа $$s=\sigma+it$$ с действительной частью $$\Re s=\sigma> 1$$ как $$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.$$ Квадрат дзета-функции $$\zeta^{2}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \qquad \Re s >1, $$ связан с функцией делителей $$\tau(n)=\sum_{d|n}1,$$ дающей число натуральных делителей натурального числа n. Сумматорной функцией ряда Дирихле $$\zeta^2(s)$$ является функция $$D(x)=\sum_{n\leq x}\tau(n),$$ вопросы асимптотической оценки которой известны как проблема делителей Дирихле. В общем случае, $$ \zeta^{k}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \qquad\Re s>1, $$ где функция $$\tau_k(n)=\sum_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$$ дает число представлений натурального числа n в виде произведения k натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $$\zeta^k(s)$$ является функция $$D_k(x)=\sum_{n\leq x}\tau_k(n).$$ Ее изучение - это многомерная проблема делителей Дирихле. Логарифмическая производная $$\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ дзета-функции представима в виде $$ \frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},\quad\Re s >1. $$ Здесь $$\Lambda(n)$$ - функция Мангольдта, которая определяется как $$\Lambda(n)=\log p,$$ если $$n=p^{k}$$ для простого p и натурального k, и как $$\Lambda(n)=0,$$ иначе. Таким образом, функция Чебышева $$\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$$ является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}, $$ соответствующего логарифмической производной $$\displaystyle\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с асимптотическим законом распределения простых чисел. В частности, хорошо известно представление функции $$\psi(x)$$ по нулям дзета-функции: $$\psi(x)=x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O\left(\frac{x\ln^{2}x}{T}\right), $$ где x=n+0,5, $$n \in\mathbb{N},$$ $$2\leq T \leq x,$$ и $$\rho=\beta+i\gamma$$ - нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $$\zeta(s),$$ лежащие в критической полосе 0 < Res < 1. Аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, можно получить и для арифметических функций, родственных функции Чебышева, например, для функции $$\psi_{1}(x)=\sum_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n).$$ Именно, в настоящей статье получено представление функции $$\psi_1(x)$$ по нулям дзета-функции Римана следующего вида: $$\psi_1(x)=\frac{x^2}{2}-\left(\frac{\zeta^{'}(0)}{\zeta(0)}\right)x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho+1}}{\rho(\rho+1)}+O\left(\frac{x^{2}}{T^2}\ln^2 x\right)+O\left(\sqrt{x}\ln^2x\right),$$ где x>2, $$T \geq 2,$$ и $$\rho=\beta+i\gamma$$ - нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $$\zeta(s),$$ лежащие в критической полосе 0 < Res < 1.
Many problems of Number Theory are connected with investigation of Dirichlet series $$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$$ and the adding functions $$\Phi(x)=\sum_{n\leq x} a_n$$ of their coefficients. The most famous Dirichlet series is the Riemann zeta function $$\zeta(s),$$ defined for any $$s=\sigma+it$$ with $$\Re s=\sigma> 1$$ as $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.$$ The square of zeta function $$\zeta^{2}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \,\, \Re s > 1,$$ is connected with the divisor function $$\tau (n)=\sum_ { d | n } 1,$$ giving the number of a positive integer divisors of positive integer number n. The adding function of the Dirichlet series $$\zeta^2(s)$$ is the function $$D (x)=\sum_ { n\leq x}\tau(n)$$; the questions of the asymptotic behavior of this function are known as Dirichlet divisor problem. Generally, $$ \zeta^{k}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \,\, \Re s > 1, $$ where function $$\tau_k (n)=\sum_{n=n_1\cdot...\cdot n_k} 1$$ gives the number of representations of a positive integer number n as a product of k positive integer factors. The adding function of the Dirichlet series $$ \zeta^k (s)$$ is the function $$D_k (x)=\sum_ { n\leq x}\tau_k(n)$$; its research is known as the multidimensional Dirichlet divisor problem. The logarithmic derivative $$\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ of zeta function can be represented as $$\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},$$ $$\Re s >1.$$ Here $$\Lambda(n)$$ is the Mangoldt function, defined as $$\Lambda(n)=\log p,$$ if $$n=p^{k}$$ for a prime number p and a positive integer number k, and as $$\Lambda(n)=0,$$ otherwise. So, the Chebyshev function $$\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$$ is the adding function of the coefficients of the Dirichlet series $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},$$ corresponding to logarithmic derivative $$\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ of zeta function. It is well-known in analytic Number Theory and is closely connected with many important number-theoretical problems, for example, with asymptotic law of distribution of prime numbers. In particular, the following representation of $$\psi(x)$$ is very useful in many applications: $$\psi(x)=x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O\left(\frac{x\ln^{2}x}{T}\right), $$ where x=n+0,5, $$n \in\mathbb{N},$$ $$2\leq T \leq x,$$ and $$\rho=\beta+i\gamma$$ are non-trivial zeros of zeta function, i.e., the zeros of $$\zeta(s),$$ belonging to the critical strip 0 < Res < 1. We obtain similar representations over non-trivial zeros of zeta function for an arithmetic function, relative to the Chebyshev function: $$\psi_{1}(x)=\sum_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n).$$ In fact, we prove the following theorem: $$\psi_1(x)=\frac{x^2}{2}-\left(\frac{\zeta^{'}(0)}{\zeta(0)}\right)x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho+1}}{\rho(\rho+1)}+O\left(\frac{x^{2}}{T^2}\ln^2 x\right)+O\left(\sqrt{x}\ln^2x\right), $$ where x > 2, $$T \geq 2,$$ and $$\rho=\beta+i\gamma$$ are non-trivial zeros of zeta function, i.e., the zeros of $$\zeta(s),$$ belonging to the critical strip 0 < Res < 1.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.