доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики
Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Department of Applied Mathematics and Computer Science
аспирант, кафедра прикладной математики и информатики
Graduate student, Department of applied mathematics and computer science
Пусть $$0<p\le \infty,$$ $$\mathcal{C}(n;p;r)=\sup_{T}\frac{\|T^{(r)}\|_{L^{\infty}[0,2\pi)}}{\|T\|_{L^{p}[0,2\pi)}}$$ и $$\mathcal{L}(p;r)=\sup_{F}\frac{\|F^{(r)}\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}}{\|F\|_{L^{p}(\mathbb{R})}}$$ - точные константы Никольского-Бернштейна для r-х производных тригонометрических полиномов степени n и целых функций экспоненциального типа 1 соответственно. Недавно Е.Левин и Д.Любинский доказали, что для констант Никольского $$\mathcal{C}(n;p;0)=n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ М.Ганзбург и С.Тихонов обобщили этот результат на случай констант Никольского-Бернштейна: $$\mathcal{C}(n;p;r)=n^{r+1/p}\mathcal{L}(p;r)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ Также они показали существование в этой задаче экстремальных полинома $$\tilde{T}_{n,r}$$ и функции $$\tilde{F}_{r}$$ соответственно. Ранее мы дали более точные границы в результате типа Левина-Любинского, доказав, что для всех p и n $$n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)\le \mathcal{C}(n;p;0)\le (n+\lceil 1/p\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p;0).$$ Здесь мы устанавливаем близкие факты для случая констант Никольского-Бернштейна, из которых также вытекает асимптотическое равенство Ганзбурга-Тихонова. Результаты формулируется в терминах экстремальных функций $$\tilde{T}_{n,r},$$ $$\tilde{F}_{r}$$ и коэффициентов Тейлора ядра типа Джексона-Фейера $$(\frac{\sin \pi x}{\pi x})^{2s}$$. Мы неявно используем полиномы типа Левитана, возникающие при применении равенства Пуассона. Мы формулируем одну гипотезу о знаках коэффициентов Тейлора экстремальных функций.
Let $$0<p\le \infty,$$ $$\mathcal{C}(n;p;r)=\sup_{T}\frac{\|T^{(r)}\|_{L^{\infty}[0,2\pi)}}{\|T\|_{L^{p}[0,2\pi)}}$$ and $$\mathcal{L}(p;r)=\sup_{F}\frac{\|F^{(r)}\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}}{\|F\|_{L^{p}(\mathbb{R})}}$$ be the sharp Nikolskii-Bernstein constants for r-th derivatives of trigonometric polynomials of degree n and entire functions of exponential type 1 respectively. Recently E.Levin and D.Lubinsky have proved that for the Nikolskii constants $$\mathcal{C}(n;p;0)=n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ M.Ganzburg and S.Tikhonov generalized this result to the case of Nikolskii-Bernstein constants: $$\mathcal{C}(n;p;r)=n^{r+1/p}\mathcal{L}(p;r)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ They also showed the existence of the extremal polynomial $$\tilde{T}_{n,r}$$ and the function $$\tilde{F}_{r}$$ in this problem, respectively. Earlier, we gave more precise boundaries in the Levin-Lubinsky-type result, proving that for all p and n $$n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)\le \mathcal{C}(n;p;0)\le (n+\lceil 1/p\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p;0).$$ Here we establish close facts for the case of Nikolskii-Bernstein constants, which also imply the asymptotic Ganzburg-Tikhonov equality. The results are stated in terms of extremal functions $$\tilde{T}_{n,r},$$ $$\tilde{F}_{r}$$ and the Taylor coefficients of a kernel of type Jackson-Fejer $$(\frac{\sin \pi x}{\pi x})^{2s}$$. We implicitly use Levitan-type polynomials arising from the Poisson summation formula. We formulate one hypothesis about the signs of the Taylor coefficients of the extremal functions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.