доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей алгебры и теории чисел
doctor of physical and mathematical Sciences, Professor, head of the Department of higher algebra and number theory
доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей алгебры и теории чисел
doctor of physical and mathematical Sciences, associate Professor, Professor of higher algebra and number theory
кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры высшей математики и механики № 1
candidate of physical and mathematical Sciences, senior lecturer of the Department of higher mathematics and mechanics No. 1
В статье изучаются p--расширения полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики, где p-характеристика поля вычетов рассматриваемого поля. Известно, что любое вполне разветвленное расширение Галуа степени p-с немаксимальным скачком ветвления может быть задано уравнением Артина-Шрайера; при этом ограничение сверху на скачок ветвления соответствует ограничению снизу на нормирование правой части уравнения. Задача построения расширений с заданной группой Галуа произвольного конечного порядка не решена. В работах Инабы рассматривались p-расширения полей характеристики p, заданные матричным уравнением $$X^{(p)}=AX$$, которое мы здесь называем уравнением Инабы. В этом уравнении $$X^{(p)}$$ обозначает матрицу, полученную возведением каждого элемента квадратной матрицы X в степень p, а - некоторая унипотентная матрица A над данным полем. Такое уравнение задает последовательность расширений полей, каждое из которых задано уравнением Артина-Шрайера. Было доказано, что любое уравнение Инабы задает расширение Галуа, и обратно, любое конечное p-расширение Галуа задается уравнением такого вида. В настоящей работе для полей смешанной характеристики доказано, что расширение, задаваемое уравнением Инабы, является расширением Галуа, если нормирования элементов матрицы удовлетворяют некоторым оценкам снизу, т.е. если скачки промежуточных расширений степени p достаточно малы. Данная конструкция может применяться при решении задачи погружения расширений полей. Уравнение Инабы задает последовательность расширений полей, полученную последовательным присоединением элементов диагоналей матрицы. Это означает, что, если расширение L/K задано уравнением Инабы, и матрица A выбрана так, что на диагоналях с большими номерами записаны нули, то можно получать расширения, содержащие L/K, заменяя нули другими элементами. В работе доказано, что любое нециклическое расширение степени $$p^2$$ с достаточно маленькими скачками можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфнной группе унипотентных матриц $$3\times 3$$ над полем из p элементов. В конце статьи сформулирован ряд открытых вопросов, при исследовании которых, возможно, окажется полезной данная конструкция.
This article is devoted to p-extensions of complete discrete valuation fields of mixed characteristic where p is the characteristic of the residue field. It is known that any totally ramified Galois extension with a non-maximal ramification jump can be determined by an Artin-Schreier equation, and the upper bound for the ramification jump corresponds to the lower bound of the valuation in the right-hand side of the equation. The problem of construction of extensions with arbitrary Galois groups is not solved. Inaba considered p-extensions of fields of characteristic p-corresponding to a matrix equation $$X^{(p)}=AX$$ herein referred to as Inaba equation. Here $$X^{(p)}$$ is the result of raising each element of a square matrix X to power p, and A is a unipotent matrix over a given field. Such an equation determines a sequence of Artin-Schreier extensions. It was proved that any Inaba equation determines a Galois extension, and vice versa any finite Galois p-extension can be determined by an equation of this sort. In this article for mixed characteristic fields we prove that an extension given by an Inaba extension is a Galois extension provided that the valuations of the elements of the matrix A satisfy certain lower bounds, i.e., the ramification jumps of intermediate extensions of degree p are sufficiently small. This construction can be used in studying the field embedding problem in Galois theory. It is proved that any non-cyclic Galois extension of degree $$p^2$$ with sufficiently small ramification jumps can be embedded into an extension with the Galois group isomorphic to the group of unipotent $$3\times 3$$ matrices over $$\mathbb F_p$$. The final part of the article contains a number of open questions that can be possibly approached by means of this construction.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.