кандидат физико-математических наук, доцент, Южный федеральный университет, ФГАНУ НИИ «Спецвузавтоматика» (г. Ростов-на-Дону).
candidate of physical and mathematical Sciences, associate Professor, Southern Federal University, Research Institute ”Specvuzavtomatika” (Rostov-on-Don).
В 1978 году Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему времени известно много криптосистем, основанных на теории помехоустойчивого кодирования. Одним из способов построения таких криптосистем является модификация криптосистемы Мак-Элиса с помощью замены кодов Гоппы на другие классы кодов. Однако, известно что криптографическая стойкость многих таких модификаций уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса. В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы, наряду с криптосистемамми на решётках, рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым. Поэтому актуальна задача поиска перспективных классов кодов, применимых в криптографии. Представляется, что для этого можно использовать некоммутативные групповые коды, т.е. левые идеалы в конечных некоммутативных групповых алгебрах.Для исследования некоммутативных групповых кодов полезной является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр. Однако конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы стоит задача конструктивного описания разложения Веддерберна. Это разложение позволяет легко получить все левые идеалы групповой алгебры, т.е. групповые коды. В работе рассматривается полупрямое произведение $$Q_{m,n} = (\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) \leftthreetimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$$ абелевых групп и конечная групповая алгебра $$\mathbb{F}_q Q_{m,n}$$ этой группы. Для этой алгебры при условиях $$n \mid q -1$$ и $$\text{НОД}(2mn, q) = 1$$ построено разложение Веддербёрна. В случае поля чётной характеристики, когда эта групповая алгебра не является полупростой, также получена сходная структурная теорема. Описаны все неразложимые центральные идемпотенты этой групповой алгебры. Полученные результаты используются для алгебраического описания всех групповых кодов над $$Q_{m,n}.$$
In 1978 R. McEliece developed the first assymetric cryptosystem based on the use of Goppa's error-correctring codes and no effective key attacks has been described yet. Now there are many code-based cryptosystems known. One way to build them is to modify the McEliece cryptosystem by replacing Goppa's codes with other codes. But many variants of this modification were proven to be less secure.In connection with the development of quantum computing code cryptosystems along with lattice-based cryptosystems are considered as an alternative to number-theoretical ones. Therefore, it is relevant to find promising classes of codes that are applicable in cryptography. It seems that for this non-commutative group codes, i.e. left ideals in finite non-commutative group algebras, could be used.The Wedderburn theorem is useful to study non-commutative group codes. It implies the existence of an isomorphism of a semisimple group algebra onto a direct sum of matrix algebras. However, the specific form of the summands and the isomorphism construction are not explicitly defined by this theorem. Hence for each semisimple group algebra there is a task to explicitly construct its Wedderburn decomposition. This decomposition allows us to easily describe all left ideals of group algebra, i.e. group codes.In this paper we consider one semidirect product $$Q_{m,n} = (\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) \leftthreetimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$$ of abelian groups and the group algebra $$\mathbb{F}_q Q_{m,n}$$. In the case when $$n \mid q -1$$ and $$\gcd(2mn, q) = 1,$$ the Wedderburn decomposition of this algebra is constructed. In the case when field is of characteristic $$2,$$ i.e. when this group algebra is not semisimple, a similar structure theorem is also obtained. Further in the paper, the primitive central idempotents of this group algebra are described. The obtained results are used to algebraically describe the group codes over $$Q_{m,n}.$$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.