кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики преподавания математических дисциплин
candidate of physical and mathematical Sciences, associate Professor of the Department of mathematics and methods of teaching mathematical disciplines
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики преподавания математических дисциплин
candidate of physical and mathematical Sciences, associate Professor of the Department of mathematics and methods of teaching mathematical disciplines
доктор физико-математических наук, доцент, профессор, заведующий кафедрой математики и методики преподавания математических дисциплин
doctor of physical and mathematical Sciences, associate Professor, Professor, head of the Department of mathematics and methods of teaching mathematical disciplines
Данная работа посвящена проблеме устойчивости малого периодического решения нормальной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании устойчивости периодического решения автономной системы естественно анализировать локальную динамику пересечений возмущенных траекторий с ортогональными сечениями соответствующего цикла. Путем введения специальной системы координат, в которой одна из осей направлена по касательной к траектории периодического решения, задача об орбитальной устойчивости периодического решения сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову нулевого решения вспомогательной системы с периодической по t правой частью. Для вспомогательной системы, размерность которой на единицу меньше размерности исходной системы, в линейном приближении вопрос об устойчивости нулевого решения сводится к оценке мультипликаторов матрицы монодромии. Таким образом, по теореме Андронова — Витта реализуется классический подход к исследованию орбитальной устойчивости периодического решения. При этом имеет место некритический случай орбитальной устойчивости. Такой подход традиционно используется и в условиях бифуркации типа Хопфа для систем с параметром. В данной работе для автономной системы с параметром получены условия бифуркации малого решения, период которого близок к периоду решений соответствующей линейной однородной системы. Сформулировано определение свойства орбитальной устойчивости по параметру, согласно которому возмущенные правые полутраектории сколь угодно близки к исследуемому циклу не только за счет малости возмущений начальных значений, но и за счет малости параметра. При этом использована идея ослабления требований определения устойчивости ляпуновского типа, предложенная М.М. Хапаевым. Свойство орбитальной устойчивости по параметру может иметь место и при наличии орбитальной неустойчивости исследуемого цикла в классическом смысле. Для исследования орбитальной устойчивости малого периодического решения по параметру использовано нелинейное приближение упомянутой выше вспомогательной системы возмущенных движений.
This work is devoted to the problem of stability of a small periodic solution of a normal Autonomous system of ordinary differential equations. It is natural to analyze the local dynamics of intersections of perturbed trajectories with orthogonal sections of the corresponding cycle when studying the stability of the periodic solution of an Autonomous system. The problem of orbital stability of the periodic solution is reduced to the problem of Lyapunov stability of the zero solution of an auxiliary system with a periodic t right-hand side by introducing a special coordinate system in which one of the axes is directed tangentially to the trajectory of the periodic solution. For an auxiliary system whose dimension is one less than the dimension of the original system, in a linear approximation, the question of the stability of the zero solution is reduced to an estimate of the multipliers of the monodromy matrix. Thus, according to the Andronov — Witt theorem, the classical approach to the study of the orbital stability of the periodic solution is realized. There is a non-critical case of orbital stability. This approach is traditionally used in Hopf-type bifurcation for systems with a parameter. In this paper, for an autonomous system with a parameter, the bifurcation conditions of a small solution whose period is close to the solution period of the corresponding linear homogeneous system are obtained. The determination of the orbital stability property by the parameter is formulated. According to this condition, the perturbed right half-vectors are arbitrarily close to the studied cycle not only due to the smallness of the initial values perturbations, but also due to the smallness of the parameter. In this case, the idea of weakening the requirements for determining the stability of the Lyapunov type, proposed by M. M. Khapaev, is used. The property of orbital stability with respect to the parameter can also take place in the presence of orbital instability of the studied cycle in the classical sense. A nonlinear approximation of the above-mentioned auxiliary system of perturbed motions is used to study the orbital stability of a small periodic solution with respect to the parameter.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.