chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-3-44-73cheb-665Research ArticleСтатьиArticleОсновные понятия и теоремы геометрии чиселThe main notions and theoremes of the geometry of numbersМалышевАлександр ВасильевичMalyshevAleksandr Vasilyevich

доктор физико-математических наук, профессор (1928–1993)

doctor of physical and mathematical Sciences, professor (1928–1993)

2019290120202034473Copyright © Малышев А.В., 20202020Малышев А.В.Malyshev A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/665

Этот краткий обзор содержит описание важнейших понятий геометрии чисел и ее главные предложения. Сюда не включена геометрия квадратичных форм — интересный, но специальный раздел теории чисел (и геометрии), стоящий на стыке геометрии чисел и теории квадратичных форм.

This brief review contents the description of most important concept of geometry or numbers and its main application. It is not included the geometry of quadratic forms — interesting but the special part of a number theory (and a geometry of numbers) standing on joining point of the geometry of numbers and the quadratic forms theory.

арифметический минимумзвездное телолучевая функцияпокрытиерешеткаупаковкиarithmetical minimumstar bodyradial functioncoveringlatticepackingReferencesБарановский Е. П. Упаковки, покрытия, разбиения и некоторые другие расположения в пространствах постоянной кривизны// ИН. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967. М., 1969. C. 189–225.Baranovskii E. P., 1967, "Packings, coverings, partitions and some other dispositions in the spaces of fixed curvature IN. Algebra. Topology. Geometry. M. pp. 189–225.Венков Б. А. Об экстремальной проблеме Маркова для неопределенных тройничных форм// Изв. АН СССР. Серия матем. 1945. Т. 9. № 6. С. 429–494. То же// Избр. труды. Л. 1981. С. 201–263.Venkov B. A., 1945, "On Markov extremal problem for undeterminate ternary forms Izv. AN SSSR. Math., vol. 9, no 6. pp.429–494.Ветчинкин Н. М. Единственность классов положительных квадратичных форм, на которых достигаются значения постоянных Эрмита при 6 <= n <= 8// Труды МИАН. 1980. Т. 152. С. 34–86.Vetchinkin N. M., 1980, "Uniquness of the classes of positiv quadratic forms, on which it is achieved the values of the Ermit constances for 6 <= n <= 8 Trudy MIAN, vol. 152. pp. 34–86.Делоне Б. Н. Геометрия положительных квадратичных форм.1–2 // УМН. 1937. Вып. 3. С. 16–62; 1938. Вып. 4. С. 102–164.Delone B. N., 1937, 1938, "The geometry of the positive quadratic forms UMN, iss. 3, pp. 16–62; iss 4. pp. 102–164.Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.;Л., 1947. 422 с.Delone B. N., 1947, The Petersburg school of the numbers theory M–P, 422 p.Делоне Б. Н. О работе А. А. Маркова “О бинарных квадратичных формах положительного определителя”// УМН. 1948. Т. 3. Вып. 5(27). С. 3–5.Delone B. N., 1948, "On A/ A. Markov state «On the binar quadratic forms with the positive determinate» UMN, vol. 3, iss. 5(27). pp. 3–5.Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. М., 1961. 213 с.Cassels J. W. S., 1961, "Introduction to the Diophantine approximation theory M., 213 p.Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. М., 1965. 421 с.Cassels J. W. S., 1965, "An Introduction to the geometry of numbers M.: Mir, 421 p.Левенштейн В. И. О максимальной плотности заполнения n-мерного евклидова пространства равными шарами// Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 301–311.Levenshtane V. I., 1975, "On the maximal density of completing of the Euclidean space by equal balls vol. 18, no 2. pp. 301–311.Малышев А. В. Спектры Маркова и Лагранжа (обзор литературы)// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1977. Т. 67. С. 5–38.Malyshev A. V., 1977, "The spectrums of Markov and Lagrange (the literature review) Zap. nauch. seminars LOMI, vol. 67, pp. 5–38.Малышев А. В. О применении ЭВМ к доказательству одной гипотезы Минковского из геометрии чисел// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1977. Т. 71. С. 163–180; 1979. Т. 82. С. 29–32.Malyshev A. V., 1977, 1979, "On an application of a computer to the proof of the Minkovskii conjecture in the geometry of numbers Zap. naych. sem. LOMI, vol. 71. pp. 163–180; vol. 82. pp. 29–32.Марков А. А. О бинарных квадратичных формах положительного определителя// СПб, 1880; УМН. 1943. Т. 3. Вып. 5 (27). С. 7–51.Markov A. A., 1943, "On the binary qudratic forms with the positive discriminant SPb, 1880; UMN, vol. 3. iss. 5 (27), pp. 7–51.Мухсинов Х. Х. Уточнение оценок арифметического минимума произведения неоднородных линейных форм для больших размерностей// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 106. С. 82–103.Muhsinov H. H., 1981, "The sharpening of the estimates of the arithmetical minimum of the not uniform linear forms production for the big dimensions Zap. nauch. sem. LOMI, vol. 106, pp. 82–103.Мухсинов Х. Х. К неоднородной гипотезе Минковского (письмо в редакцию)// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 121. С. 195–196.Muhsinov H. H., 1983, "On the Minkovskii not uniform conjecture (the letter to the editorship) Zap. naych. sem. LOMI, vol. 121. pp. 195–196.Нарзулаев Х. Н. О представлении унимодулярной матрицы в виде DOTU для n = 3 // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 213–221.Narzulaev H. N., 1975, On the representation of the unimodular matrix in the form of DOTU for n = 3 Math. zametki, vol. 18, no 2. pp. 213–221.Роджерс К. Укладки и покрытия. М., 1968. 134 с.Rodjers K., 1968, "The packing and the covering M., 1968. 134 p.Рышков С. С., Барановский Е. П. C-типы n-мерных решеток и пятимерные примитивные параллелоэдры (с приложением к теории покрытий)// Труды МИАН. Т. 137. М., 1976. 131 с.Ryzskov S. S., Baranovskii E. P., 1976, "C-types of the n-dimensional lattices and the 5-dimensional primitive paralleloidres (with the application to the covering theory Trudy MIAN, vol. 137. M., 131 p.Рышков С. С., Барановский Е. П. Классические методы теории решетчатых упаковок // УМН. 1979. Т. 34. Вып. 4(208). С. 3–63.Ryzskov S. S., Baranovskii E. P., 1979, "The classical method of the lattice packings theory UMN, vol. 34, iss. 4(208). pp. 3–63.Скубенко Б. Ф. Доказательство гипотезы Минковского о произведении n линейных однородных форм от n переменных для n 6 5// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 106. С. 134–136.Skubenko B. F., 1981, "The proof of the Minkovskii conjecture about the production of n linear uniform forms from n arguments for n 6 5 Zap. nauch. sem. LOMI, vol. 106, pp. 134–136.Скубенко Б. Ф. Существуют квадратные вещественные матрицы любого порядка n > 2880, не являющиеся DOTU-матрицами// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 106. С. 134–136.Skubenko B. F., 1981, "There are the square real matrix of any degree n > 2880, which are not DOTU-matrix Zap. nauch. sem. LOMI, vol. 106, pp. 134–136.Таммела П. Оценка критического определителя двумерной выпуклой симметричной области// Изв. вузов. Математика. 1970. № 12(103). С. 103–107.tammela P., 1970, The estimate of the critical determinant of the 2-dimension convex symmetric region Izv. Vuzov, Math., no 12(103), pp. 103 – 107.Фейеш Тот Л. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. М., 1958. 363 с.Feyesh TOT L., 1958, "The disposition on a plane, on a sphere and in a space M., 363 p.Bambah R. P., Woods A. C. Minkowski’s conjecture for n = 5; a theorem of Skubenko // J. Number Theory. 1980. V. 12. P. 27–48.Bambah R. P., Woods A. C., 1980, "Minkowski’s conjecture for n = 5; a theorem of Skubenko J. Number Theory, vol. 12, pp. 27–48.Bantegnie R. Sur l’indice de certains reseaux de R^4 permis pour octa´edre// Canad. J. Math. 1965. V. 17. P. 725–730.Bantegnie R., 1965, "Sur l’indice de certains reseaux de R4 permis pour octa´edre Canad. J. Math., vol. 17, pp. 725–730.Bantegnie R. “Probl`eme des Okta´edres” en dimension 5 // Acta Arithm. 1968. V. 14. No 2. P. 185–202.Bantegnie R., 1968, «<Probl`eme des Okta´edres» en dimension 5 Acta Arithm., vol. 14, no 2, pp. 185–202.Blichfeldt N. F. The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables// Math. Z. 1934–35. V. 39. No 1. P. 1–15.Blichfeldt N. F., 1934 – 1935, "The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables Math. Z., vol. 39, no 1, pp. 1–15.Danicic I. An elementary proof of Minkowski’s second inequality// J. Austral. Math. Soc. 1969. V. 10. No 1–2. P. 177-181.Danicic I., 1969, "An elementary proof of Minkowski’s second inequality J. Austral. Math. Soc., vol. 10, no 1–2, pp. 177-181.Godwin N. J. On the product of five homogeneous linear forms// J. London Math. Soc. 1950. V. 25. No 4(100). P. 331–339.Godwin N. J., 1950, "On the product of five homogeneous linear forms J. London Math. Soc., vol. 25, no 4(100), pp. 331–339.Gruber P. M. Geometry of Numbers// Contributions to geometry (proc. Geom. Symp. Siegen. 1978). Basel. 1979. P. 186–225.Gruber P. M., 1979, "Geometry of Numbers Contributions to geometry, (proc. Geom. Symp. Siegen., 1978), Basel, pp. 186–225.Hammer J. Unsolved problems concerning lattice points. London a. o. 1977. VI. 101 p.Hammer J., 1977, "Unsolved problems concerning lattice points London a. o., vol. VI, 101 p.Hancock H. Development of the Minkowski geometry of numbers. New York, 1939. XXI. 839 p.Hancock H., 1939, "Development of the Minkowski geometry of numbers New York, XXI. 839 p.Hlawka E. ¨Uber Potenzsummen von Linearformen. I–II // Sitzungsber. Acad. Wiss. Wien. math.nat. Kl. 11a. 1945. Bd. 154. No 1. S. 50–58; 1947. Bd. 156. No 5–6. S. 247–254.Hlawka E., 1945, 1947, "Uber Potenzsummen von Linearformen.I–II"Sitzungsber Acad. Wiss. Wien. math. nat. Kl. 11a, bd. 154, no 1, pp. 50–58; bd. 156, no 5–6, pp. 247–254.Hlawka E. Grundbegriffe der Geometrie der Zahlen// Jber. Deutsc. Math.-Verein. 1954. Bd. 57. S. 37–55.Hlawka E., 1954, "Grundbegriffe der Geometrie der Zahlen Jber. Deutsc. Math.-Verein., bd. 57, pp. 37–55.Keller O. H. Geometrie der Zahlen (Ensycl. math.Wiss. Bd.1,2. No 27). Leipzig, 1954. 84 s.Keller O. H., 1954, "Geometrie der Zahlen (Ensycl. math.Wiss. Bd.1,2. No 27) Leipzig, 84 p.Koksma J. F. Diofantische Approximationen. Berlin. 1936. VIII. 157 s.Koksma J. F., 1936, "Diofantische Approximationen Berlin, VIII, 157 p.Lekkerkerker C. G. Geometry of numbers. Groningen; Amsterdam. 1969. VIII. 510 p.Lekkerkerker C. G., 1969, "Geometry of numbers Groningen; Amsterdam, VIII, 510 p.Macbeath A. M., Rogers C. A. Siegel’s mean value Theorem in the geometry of numbers // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1958. V. 54. P. 139–151.Macbeath A. M., Rogers C. A., 1958, "Siegel’s mean value Theorem in the geometry of numbers Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 54, pp. 139–151.Minkowski H. Geometry der Zahlen. Leipzig; Berlin. 1910. VIII. 256 p.Minkowski H., 1910, "Geometry der Zahlen Leipzig — Berlin, VIII, 256 p.Minkowski H. Dichteste gitterformicge Lagerung kongruenter Korper// Nach. Koning. Ges. Wiss. G¨ottingen. 1904. S. 311–355; Ges. Abh. Bd. 2. Leipzig; Berlin. 1911. S. 3–42.Minkowski H., 1904, 1911, "Dichteste gitterformicge Lagerung kongruenter Korper Nach. Koning. Ges. Wiss. G¨ottingen, pp. 311–355; Ges. Abh., vol. 2, Leipzig — Berlin, pp. 3–42.Minkowski H. Diophantsche Approximationen. Leipzig; Berlin. 1907. VIII. 235 s.Minkowski H., 1907, "Diophantsche Approximationen Leipzig — Berlin, VIII, 235 p.Nordzij P. ¨Uber das Product von vier reellen, homogenen, linearen Formen// Monatsh. Math. 1967. Bd. 71. No 5. S. 436–445.Nordzij P., 1967, "¨Uber das Product von vier reellen, homogenen, linearen Formen Monatsh. Math., vol. 71, no 5, pp. 436–445.Rankin R. A. On sums of powers of linear forms. I–II–III // Ann. of Math.(2). 1949. V. 50. No 3. P. 691–704; Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. 1948. V. 51. P. 846–853; Indag. math. 1948. V. 10. P. 274–281.Rankin R. A., 1949, 1948, 1948, "On sums of powers of linear forms.I–II–III Ann. of Math.(2), vol. 50, no 3, pp. 691–704; Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., vol. 51, pp. 846–853; Indag. math., vol. 10, pp. 274–281.Rodgers C. A. The product of n real homogeneous linear forms// Acta Mathem. 1950. V. 82. No 1–2. P. 185–208.Rodgers C. A., 1950, "The product of n real homogeneous linear forms Acta Mathem., vol. 82. no 1–2. pp. 185–208.Rodgers C. A. Lattice coverings of space: the Minkowski - Hlawka theorem// Proc. London math. soc. (3). 1958. V. 8. P. 447–465.Rodgers C. A., 1958, "Lattice coverings of space: the Minkowski - Hlawka theorem Proc. London math. soc. (3), vol. 8, pp. 447–465.Schmidt W. M. Eine Verscharfung des Satzes von Minkowski - Hlawka// Monatsh. Math. Bd. 60. S. 110–113.Schmidt W. M., "Eine Verscharfung des Satzes von Minkowski - Hlawka Monatsh. Math., vol. 60, pp. 110–113.Schmidt W. M. On the Minkowski - Hlawka Theorem// Illinois J. Math. 1963. V. 7. P. 18–23; corr.: P. 714.Schmidt W. M., 1963, "On the Minkowski - Hlawka Theorem Illinois J. Math., vol. 7. pp. 18–23; corr.: P. 714.Spohn W. G. Blichfeld’s theorem and simultaneous doiphantine approximations// Amer. J. Math. 1968. V. 90. P. 885–894.Spohn W. G., 1968, "Blichfeld’s theorem and simultaneous doiphantine approximations Amer. J. Math., vol. 90, pp. 885–894.Swinnerton-Dayer H. P. F. Applications of computers to the geometry of numbers// Comput. Algebra and Number Theory 3 (SIAM - AMS Proc. V. 4). Providence (R. I.). 1971. P. 55–62.Swinnerton-Dayer H. P. F., 1971, "Applications of computers to the geometry of numbers Comput. Algebra and Number Theory 3 (SIAM - AMS Proc. V. 4), Providence (R. I.), pp. 55–62.Woods A. C. The anomaly of convex bodies// Proc. Cambridge Philos. Soc. 1956. V. 52. P. 406–423.Woods A. C., 1956, "The anomaly of convex bodies Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 52, pp. 406–423.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.