доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, декан Механико-математического факультета Московского государственного университета имениМ. В. Ломоносова, г. Москва.
Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Mathematical and Computer Methods of Analysis, Dean of the Mechanics and Mathematics Faculty of Moscow State University named after M. V. Lomonosov, Moscow
Для периодической арифметической функции с периодом, равным простому числу q, при целых m,n вводится понятие обобщённой суммы Гаусса $$G_f(m)$$ с символом Лежандра $$\left(\frac nq\right)$$: $$ G_f(m)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)f\left(\frac{mn}q\right). $$ Рассмотрены частные случаи $$f(x)=B_\nu(\{x\}), \nu\geq 1,$$ где $$B_\nu(x)$$ - многочлены Бернулли. В работе используется техника конечных рядов Фурье. Если функция $$f\left(\frac{k}{q}\right)$$ определена в точках $$k=0,1,\ldots,q-1,$$ то её можно разложить в конечный ряд Фурье $$ f\left(\frac{k}{q}\right)=\sum_{m=0}^{q-1}c_me^{2\pi i\frac{mk}{q}}, \quad c_m=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}f\left(\frac{k}{q}\right)e^{-2\pi i\frac{mk}{q}}. $$ С помощью разложения в конечный ряд Фурье обобщённой суммы Гаусса $$ G_\nu(m)=G_\nu(m;B_\nu)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)B_\nu{\left(\left\{x+\frac{mn}q\right\}\right)} $$ при $$\nu=1$$ и $$\nu=2$$ найдены новые формулы, выражающие значение символа Лежандра через полные суммы от периодических функций. Это обстоятельство позволяет получить новые аналитические свойства соответствующих рядов Дирихле и арифметических функций, что будет темой следующих работ. В работе обнаружено важное свойство сумм $$G_1$$ и $$G_2,$$ а именно: $$G_1\ne 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$ и $$G_1=0,$$ если $$q\equiv 1\pmod 4;$$ $$G_2= 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$ и $$G_2=\frac 1{q^2}\sum\limits_{n=1}^{q-1}n^2\left(\frac nq\right),$$ если $$q\equiv 1\pmod 4.$$
The conception of Generalized Gaussian Sum $$G_f(m)$$ for a periodic arithmetical functon with a period, is equal prime number q, for integers m,n is introduce: $$ G_f(m)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)f\left(\frac{mn}q\right). $$ Here are considered the particular cases $$f(x)=B_\nu(\{x\}), \nu\geq 1,$$ where $$B_\nu(x)$$ - Bernoulli polynomials. The paper uses the technique of finite Fourier series. If the function $$f\left(\frac{k}{q}\right)$$ is defined at $$k=0,1,\ldots,q-1,$$ it can be decomposed into a finite Fourier series $$ f\left(\frac{k}{q}\right)=\sum_{m=0}^{q-1}c_me^{2\pi i\frac{mk}{q}}, \quad c_m=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}f\left(\frac{k}{q}\right)e^{-2\pi i\frac{mk}{q}}. $$ By decomposition into a finite Fourier series of a generalized Gauss sum $$ G_\nu(m)=G_\nu(m;B_\nu)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)B_\nu{\left(\left\{x+\frac{mn}q\right\}\right)} $$ for $$\nu=1$$ and $$\nu=2$$ , new formulas are found that Express the value of the Legendre symbol through the full sums of periodic functions. This circumstance makes it possible to obtain new analytical properties of the corresponding Dirichlet series and arithmetic functions, which will be the topic of the following works. An important property of the sums $$G_1$$ and $$G_2,$$ namely: $$G_1\ne 0,$$ if $$q\equiv 3\pmod 4$$ and $$G_1=0,$$ if $$q\equiv 1\pmod 4;$$ $$G_2= 0,$$ if $$q\equiv 3\pmod 4$$ and $$G_2=\frac 1{q^2}\sum\limits_{n=1}^{q-1}n^2\left(\frac nq\right),$$ if $$q\equiv 1\pmod 4.$$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.