chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-1-270-281cheb-628Research ArticleСтатьиArticleРассеяние звуковых волн цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводеScattering of sound waves by an cylinder with an radial non-uniform elastic coating in a planar waveguideТолоконниковЛев АлексеевичTolokonnikovLev Alekseevich

доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики

doctor of physical and mathematical Sciences, Professor of the Department of Applied Mathematics and Computer Science

tolokonnikovla@mail.ruТульский государственный университет, г. ТулаРоссияTula state University, TulaRussian Federation201924012020201270281Copyright © Толоконников Л.А., 20192019Толоконников Л.А.Tolokonnikov L.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/628

В статье рассматривается задача рассеяния звуковых волн абсолютно жестким цилиндром с радиально-неоднородным изотропным упругим покрытием в плоском волноводе. Полагается, что волновод заполнен однородной идеальной жидкостью, одна его граница является абсолютно жесткой, а другая - акустически мягкой, законы неоднородности материала покрытия цилиндра описываются дифференцируемыми функциями, гармоническая звуковая волна возбуждается заданным распределением источников на сечении волновода. В случае установившихся колебаний распространение малых возмущений в идеальной жидкости описывается  уравнением Гельмгольца. Колебания неоднородного изотропного упругого цилиндрического слоя описываются общими уравнениями движения сплошной среды. Для нахождения поля смещений в неоднородном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Первичное поле возмущений  представлено совокупностью собственных волн волновода. Давление рассеянного цилиндрическим телом поля  ищется в виде потенциала простого слоя. Построена функция Грина для уравнения Гельмгольца, удовлетворяющая заданным граничным условиям на стенках волновода и условиям излучения на бесконечности. Функция плотности распределения источников ищется в виде разложения в ряд Фурье. Для нахождения коэффициентов этого разложения получена бесконечная линейная система уравнений. Проведено усечение бесконечной системы и ее решение найдено методом обратной матрицы. Получены аналитические выражения для рассеянного акустического поля в разных областях волновода.

In paper the  problem of sound wave scattering by absolutely rigid cylinder with radially inhomogeneous isotropic elastic coating in a planar waveguide is considered. It is believed that a waveguide filled with a homogeneous ideal fluid, one of its borders is absolutely rigid and the other --- acoustically soft, heterogeneity laws of a coating material are described by differentiable functions, harmonic sound wave excited by a given distribution of sources in the section waveguide. In the case of steady state oscillations the propagation of small perturbations in ideal fluid is described by the  Helmholtz's equation. The oscillations of an inhomogeneous isotropic elastic cylindrical layer described by general motion equations  of the continuous medium. The boundary-value problem for the system of ordinary second order differential equations  is constructed for determination of the displacement field in inhomogeneous coating. The primary field of disturbances is represented by a set of its own waveguide waves. The pressure of the field scattered by the cylindrical body is sought as potential of a simple layer. The Green function for the Helmholtz equation that satisfies the given boundary conditions on the waveguide walls and conditions of radiation at infinity is constructed.  The function of distribution density of sources are sought as a Fourier series expansion. The infinite linear system of equations is obtained for determination of the coefficients of this decomposition. The solution of truncated infinite system  is  found by the inverse matrix method. Analytical expressions for the scattered acoustic field  in different areas of the waveguide are obtained.

рассеяниезвуковые волныцилиндрнеоднородное упругое покрытиеплоский волноводscatteringsound wavescylindernon-uniform elastic coatingplanar waveguideИсследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199)The study was carried out at the expense of a grant from the Russian science Foundation (project 18-11-00199)ReferencesHackman R. H., Sammelman G. S. Acoustic scattering in an inhomogeneous waveguide: Theory // J. Acoust. Soc. Amer. 1986. V. 80, No. 5. P. 1447–1458.Hackman, R. H. & Sammelman, G. S. 1986,“Acoustic scattering in an inhomogeneous waveguide: Theory“, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 80, no. 5, pp. 1447–1458.Hackman R. H., Sammelman G. S. Multiple-scattering analysis for a target in oceanic waveguide // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. V. 84, No. 5. P. 1813–1825.Hackman R. H. & Sammelman G. S. 1988, “Multiple-scattering analysis for a target in oceanic waveguide“, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 84, no. 5, pp. 1813–1825.Кузькин В. М. Рассеяние звуковых волн на теле в плоскослоистом волноводе // Акустический журн. 2003. Т. 49, № 1. С. 77–84.Kuz’kin, V. M. 2003, “Sound scattering by a body in a planar layered waveguide“, Acoustical Physics, vol. 49, no 1, pp. 68–74.Шарфарец Б. П. Метод расчета поля излучателя и поля рассеяния неоднородного включения в плоскослоистых волноводах // Акустический журн. 2004. Т. 50, № 1. С. 123–128.Sharfarets, B.P. 2004,“Method for calculating the field of an opaque source and the field scattered by an inhomogeneous inclusion in a planar layered waveguide“, Acoustical Physics, vol. 50, no 1, pp. 107-–111.Белов В. Е., Горский С. М., Зиновьев А. Ю., Хилько А. И. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости // Акустический журн. 1994. Т. 40, № 4. С. 548–560.Belov, V. E., Gorskij, S. M., Zinov’ev, A. Y. & Khil’ko, A. I. 1994, “Application of the methodof integral equations to diffraction of acoustic waves at elastic bodies in a layer of liquid“, Acoustical Physics, vol. 40, no 4, pp. 548–560.Андрианова Т. А., Белов В. Е., Залезский А. А., Шаронов Г. А. Исследование модового состава и пространственного распределения акустического поля при различной локализации неоднородностей в слое жидкости // Акустический журн. 1996. Т. 42, № 4. С. 465–477.Andrianova, T. A., Belov, V.E., Zalezsky, A. A. & Sharonov, G. A. 1996, “An analysis of the mode composition and spatial distribution of acobstic fields for different localizations of inhomogeneities in an liquid layer“, Acoustical Physics, vol. 42, no 4, pp. 407–419.Белов В.Е., Горский С. М., Залезский А. А., Зиновьев А. Ю., Хилько А. И. Рассеяние акустических волн упругими цилиндрами в многомодовых слоистых волноводах. // Формирование акустических полей в океанических волноводах. Реконструкция неоднородностей. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1994. С. 63–88.Belov, V. E., Gorskij, S. M., Zalezsky, A. A., Zinov’ev, A. Y. & Khil’ko, A. I. 1994, “Scattering of acoustic waves by elastic cylinders in multimode layered waveguides“, in “Formation of acoustic fields in oceanic waveguides. Reconstruction of inhomogeneities“, Inst. Prikladnoj Fiziki RAN, Nizhnij Novgorod, pp. 63–88 [in Russian].Belov V. E., Gorsky S. M., Zalezsky A. A., Zinovyev A.Yu. Application of the integral equation method to acoustic wave diffraction from elastic bodies in a fluid layer // J. Acoust. Soc. Amer. 1994. Vol. 103, No 3. P. 1288–1295.Belov, V. E., Gorsky, S. M., Zalezsky, A. A. & Zinovyev, A.Yu. 1994, “Application of the integral equation method to acoustic wave diffraction from elastic bodies in a fluid layer“ J. Acoust. Soc. Amer., vol. 103, no 3, pp. 1288–1295.Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75, № 5. С. 850–857.Romanov, A. G. & Tolokonnikov, L. A. 2011, “The scattering of acoustic waves by a cylinder with a non-uniform elastic coating“, J. Appl. Math. Mech., vol. 75, no. 5, pp. 595–600.Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265–274.Tolokonnikov, L. A. 2013, “Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering“, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2-2, pp. 265–274 [in Russian].Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.Shenderov, E. L. 1972, “Wave problems of underwater acoustics”, Sudostroenie, Leningrad, 352 p. [in Russian].Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.Nowacki, W. 1975, “Teoria sprezystosci“, Mir, Мoscow, 872 p. [in Russian].Скучик Е. Основы акустики. Т. 2. М.: Мир, 1976. 544 с.Skudrzyk, E. 1976, “The Foundations of Acoustics“, vol. 2, Mir, Мoscow, 544 p. [in Russian].Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.Tikhonov, A.N & Samarskiy, A. A. 1972, “Equations of Mathematical Physics“, Nauka, Мoscow, 736 p. [in Russian].Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.Ivanov, E. A. 1968, “Diffraction of electromagnetic waves by two bodies“, Nauka i tekhnika, Minsk, 584 p. [in Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.