chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-1-246-258cheb-626Research ArticleСтатьиArticleКритерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полейThe criterion of periodicity of continued fractions of key elements in hyperelliptic fieldsПлатоновВладимир ПетровичPlatonovVladimir Petrovichplatonov@niisi.ras.ruФедоровГлеб ВладимировичFedorovGleb Vladimirovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

fedorov@mech.math.msu.suФедеральное государственное учреждение «Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук» (ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН); Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН), г. Москва.РоссияFederal State Institution «Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences» (SRISA); Steklov Mathematical Institute (MIAN), MoscowRussian FederationФедеральное государственное учреждение «Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук» (ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН); Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (МГУ имени М. В. Ломоносова), г. Москва.РоссияFederal State Institution «Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences» (SRISA); Moscow State University (MSU), Moscow.Russian Federation201924012020201246258Copyright © Платонов В.П., Федоров Г.В., 20192019Платонов В.П., Федоров Г.В.Platonov V.P., Fedorov G.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/626

Периодичность и квазипериодичность функциональных непрерывных дробей в гиперэллиптическом поле $$L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$$ имеет более сложную природу, чем периодичность числовых непрерывных дробей элементов квадратичных полей. Известно, что периодичность непрерывной дроби элемента $$\sqrt{f}/h^{g+1}$$, построенной по нормированию, связанному с многочленом h первой степени, эквивалентна наличию нетривиальных S-единиц в поле L рода g и эквивалентна наличию нетривиального кручения в группе классов дивизоров. В данной статье найден точный промежуток значений $$s \in \mathbb{Z}$$ таких, что элементы $$\sqrt{f}/h^s$$ имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, где $$f \in \mathbb{Q}[x]$$ - свободный от квадратов многочлен четной степени. Для многочленов f нечетной степени проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ рассмотрена в статье [5], причем там доказано, что длина квазипериода не превосходит степени фундаментальной S-единицы поля L. Проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ для многочленов f четной степени является более сложной. Это подчеркивается найденным нами примером многочлена f степени 4, для которого соответствующие непрерывные дроби имеют аномально большую длину периода. Ранее в статье [5] также были найдены примеры непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля L с длиной  квазипериода значительно превосходившей степень фундаментальной S-единицы поля L.

The periodicity and quasi-periodicity of functional continued fractions in the hyperelliptic field $$L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt {f})$$ has a more complex nature, than the periodicity of the numerical continued fractions of the elements of a quadratic fields. It is known that the periodicity of a continued fraction of the element $$\sqrt{f}/h^{g + 1}$$, constructed by valuation associated with a polynomial h of first degree, is equivalent to the existence of nontrivial S-units in a field L of the genus g and is equivalent to the existence nontrivial torsion in a group of classes of divisors. This article has found an exact interval of values of $$s \in \mathbb{Z}$$ such that the elements $$\sqrt {f}/h^s $$ have a periodic decomposition into a continued fraction, where $$f \in \mathbb{Q}[x] $$ is a squarefree polynomial of even degree. For polynomials f of odd degree, the problem of periodicity of continued fractions of elements of the form $$\sqrt {f}/h^s $$ are discussed in the article [5], and it is proved that the length of the quasi-period does not exceed degree of the fundamental S-unit of L. The problem of periodicity of continued fractions of elements of the form $$\sqrt {f}/h^s$$ for polynomials f of even degree is more complicated. This is underlined by the example we found of a polynomial f of degree 4, for which the corresponding continued fractions have an abnormally large period length. Earlier in the article [5] we found examples of continued fractions of elements of the hyperelliptic field L with a quasi-period length significantly exceeding the degree of the fundamental S-unit of L.

непрерывные дробифундаментальные единицыS-единицыкруче- ние в якобианахгиперэллиптические полядивизорыгруппа классов дивизоровcontinued fractionsfundamental unitsS-unitstorsion in the Jacobianshyperelliptic fieldsdivisorsdivisor class groupПубликация выполнена в рамках государственного задания ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН (выполнение фунда- ментальных научных исследований ГП 14) по теме № 0065-2019-0011 "Исследование групповых алгебраических многообразий и их связей с алгеброй, геометрией и теорией чисел" (№АААА-А19-119011590095-7).The publication was performed within the framework of the state assignment of SRISA (14 GP implementation of fundamental research) on the subject № 0065-2019-0011 (№АААА-А19-119011590095-7).ReferencesAbel N. H. Uber die Integration der Differential-Formel p dx/sqrt(R), wenn R und p ganze Functionen sind // J. Reine Angew. Math. 1826. №1. P. 185–221.Abel N. H. 1826, “Uber die Integration der Differential-Formel p dx/sqrt(R), wenn R und p ganze Functionen sind”, J. Reine Angew. Math., no. 1, pp. 185–221.Chebychev P. L. Sur l’integration de la differential // J. Math. Pures Appl. 1864. Vol. 2, №9. P. 225–246.Chebychev P. L. 1864. “Sur l’integration de la differential”, J. Math. Pures Appl., vol. 2, no. 9, pp. 225–246.Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69, №1(415). С. 3–38.Platonov, V.P. 2014, “Number-theoretic properties of hyperelliptic fields and the torsion problem in Jacobians of hyperelliptic curves over the rational number field”, Russian Math. Surveys, vol. 69, no. 1, pp. 1–34.Berry, T. G. 1990, “On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields”, Arch. Math., vol. 55, pp. 259–266.Berry, T. G. 1990, “On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields”, Arch. Math., vol. 55, pp. 259–266.Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Т. 209, №4. С. 54–94.Platonov, V.P., Fedorov, G. V. 2018, “On the problem of periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields”, Sb. Math., vol. 209, no. 4, pp. 519–559.Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Матем. сб. 2009. Т. 200, №1. С. 15–44.Benyash-Krivets, V. V., Platonov, V.P. 2009, “Groups of S-units in hyperelliptic fields and continued fractions”, Sb. Math., vol. 200, no. 11, pp. 1587–1615.Федоров Г. В. Периодические непрерывные дроби и S-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, №3.Fedorov, G. V. 2018, “Periodic continued fractions and S-units with second degree valuations in hyperelliptic fields”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 19, no. 3. (In Russ.)Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 474, №5. С. 540–544.Platonov, V.P., Fedorov, G. V. 2017, “On the periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields”, Dokl. Math., vol. 95, no. 3, pp. 254–258.Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в эллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 475, №2. С. 133–136.Platonov, V.P., Fedorov, G. V. 2017, “On the periodicity of continued fractions in elliptic fields”, Dokl. Math., vol. 96, no. 1, pp. 332–335.Платонов В. П., Жгун В. С., Федоров Г. В. Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и многочлены Мамфорда // ДАН. 2016. Т. 471, №6. С. 640–644.Platonov, V.P., Zhgoon, V. S., Fedorov, G. V. 2016, “Continued Rational Fractions in Hyperelliptic Fields and the Mumford Representation”, Dokl. Math., vol. 94, no. 3, pp. 692–696.Платонов В. П., Петрунин М. М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Тр. МИАН. 2018. Т. 302. С. 354–376.Platonov, V.P., Petrunin, M. M. 2018, “Groups of S-units and the problem of periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 302, pp. 336–357.Платонов В. П., Петрунин М. М. S-единицы и периодичность в квадратичных функциональных полях // УМН. 2016. Т. 71, №5. С. 181–182.Platonov, V.P., Petrunin, M. M. 2016, “S-Units and periodicity in quadratic function fields”, Russian Math. Surveys, vol. 71, no. 5, pp. 973–975.Платонов В.П., Петрунин М. М. S-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей // ДАН. 2016. Т. 470, №3. С. 260–265.Platonov, V.P., Petrunin, M. M. 2016, “S-units in hyperelliptic fields and periodicity of continued fractions”, Dokl. Math., vol. 94, no. 2, pp. 532–537.Жгун В. С., Обобщенные якобианы и непрерывные дроби в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, №4. С. 208–220.Zhgoon V. S. 2017, “On generalized jacobians and rational continued fractions in the hyperelliptic fields”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 18, no. 4, pp. 208–220. (In Russ.)Платонов В. П., Федоров Г. В., S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2015. Т. 465, №5. С. 537–541.Platonov, V.P., Fedorov, G. V. 2015, “S-Units and Periodicity of Continued Fractions in Hyperelliptic Fields”, Dokl. Math., vol. 92, no. 3, pp. 752–756.Kubert D.S., Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math.Soc. (3). 1976. Vol. 33, №2. P. 193–237.Kubert, D. S. 1976, “Universal bounds on the torsion of elliptic curves”, Proc. London Math.Soc. (3), vol. 33, no. 2, pp. 193–237.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.