chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-1-212-221cheb-624Research ArticleСтатьиArticleУмножения на смешанных абелевых группахMultiplications on mixed abelian groupsКомпанцеваЕкатерина ИгоревнаKompantsevaEkaterina Igorevna

доктор технических наук, доцент, профессор кафедры алгебры, Московский педагогический государственный университет; профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики, Финансовый университет при Правительстве РФ, г. Москва.

doctor of engineering, professor, Professor, Department of algebra, Moscow state pedagogical University; Professor of the Department of probability theory and mathematical statistics, Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow.

kompantseva@yandex.ru201923012020201212221Copyright © Компанцева Е.И., 20192019Компанцева Е.И.Kompantseva E.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/624

Умножение на абелевой группе G - это гомоморфизм $$\mu: G\otimes G\rightarrow G$$. Абелева группа G называется MT-группой, если любое умноженеие на ее периодической части однозначно продолжается до умножения на G. MT-группы изучались во многих работах по теории аддитивных групп колец, но вопрос об их строении остается открытым. В настоящней работе для MT-группы G рассматривается сервантная вполне характеристическая подгруппа $$G^*_\Lambda$$, одно из основных свойств которой заключается в том, что  подгруппа $$\bigcap\limits_{p \in \Lambda (G)}pG^*_\Lambda$$ является ниль-идеалом в любом кольце с аддитивной группой G (здесь $$\Lambda(G)$$ - множество всех простых чисел p, для которых p-примарная компонента группы G отлична от нуля). Показано, что для любой MT-группы G либо $$G=G^*_\Lambda$$, либо факторгруппа $$G/G^*_\Lambda$$ несчетна.

A multiplication on an abelian group G is a homomorphism $$\mu: G\otimes G\rightarrow G$$. An mixed abelian group G is called an MT-group if every multiplication on the torsion part of the group G can be extended  uniquely to a multiplication on G. MT-groups have been studied in many articles on the theory of additive groups of rings, but their complete description has not yet been obtained. In this paper, a pure fully invariant subgroup $$G^*_\Lambda$$ is considered for an abelian MT-group G. One of the main properties of this subgroup is that $$\bigcap\limits_{p \in \Lambda (G)}pG^*_\Lambda$$ is a nil-ideal in every ring with the additive group G (here $$\Lambda (G)$$ is the set of all primes p, for which the p-primary component of G is non-zero). It is shown that for every MT-group G either $$G=G^*_\Lambda$$ or the quotient group $$G/G^*_\Lambda$$ is uncountable.

Абелева группаумножение на группекольцо на абелевой группеAbelian groupmultiplication on a groupring on an abelian groupReferencesFuchs L. Abelian groups. Switz.: Springer International Publishing, 2015.Fuchs, L. 2015, “Abelian groups”, Switz.: Springer International Publishing.Topics in abelian groups. — Chicago, Ill., 1963Topics in abelian groups. — Chicago, Ill., 1963Москаленко А. И. О длине расщепления абелевой группы // Мат. заметки 1978. Vol. 24. №6. P. 749–762.Moskalenko, A. I. 1978, “Splitting length of an Abelian group”, Mat. Zametki, vol. 24, no. 6, pp. 749–762.Москаленко А. И. О продолжении умножений на смешанной абелевой группе счетного ранга // Матем. заметки 1981. Vol. 29. №3. P. 375–379.Moskalenko, A. I. 1981, “Extension of multiplications on a mixed Abelian group of countable rank”, Mat. Zametki, vol. 29, no. 3, pp. 375–379.Фам Т. Т. Т. Абсолютные идеалы смешанных абелевых групп // Чебышевский сбор. 2012. Vol. 13. №1. P. 153–164.Pham, T. T. T. 2012, “Absolute ideals of mixed abelian groups”, Chebyshevskii Sb., vol. 13, no. 1, pp. 153—164.Fried E. On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian groups, Budapest, 1964. P. 51–55.Fried, E. 1964, “On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring”, Proc. Colloq. Abelian groups, Budapest, pp. 51–55.Fried E. Preideals in modules // Period. Math. Hung. 1971. Vol. 1. №3. P. 163–169.Fried, E. 1971, “Preideals in modules”, Period. Math. Hung., vol. 1, no. 3, pp. 163–169.McLean K. R. The additive ideals of a p-ring // J. London Math. Soc. 1975. Vol. 2. P. 523–529.McLean, K. R. 1975, “The additive ideals of a p-ring” J. London Math. Soc., vol. 2, pp. 523–529.McLean K. R. p-ring whose only right ideals are the fully invariant subgroups // Proc. London Math. Soc. 1975. Vol. 3. P. 445–458.McLean, K. R. 1975, “p-ring whose only right ideals are the fully invariant subgroups”, Proc. London Math. Soc., vol. 3, pp. 445–458.Gardner B. J. Rings on completely decomposable torsion-free abelian groups // Comment. Math. Univ. Carolinae 1974. Vol. 15. №3. P. 381–392.Gardner, B. J. 1974, “Rings on completely decomposable torsion-free abelian groups”, Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 15, no. 3, pp. 381–392.Jackett D. R. Rings on certain mixed abelian groups // Pacific. J. Math. 1982. Vol. 98. №2. P. 365–373.Jackett, D. R. 1982, “Rings on certain mixed abelian groups”, Pacific. J. Math., vol. 98, no. 2, pp. 365–373.Kompantseva E. I. Absolute nil-ideals of abelian groups // J. Math. Sci. 2014. Vol. 197. №5. P. 625–634.Kompantseva, E. I. 2014, “Absolute nil-ideals of Abelian groups”, J. Math. Sci., vol. 197, no. 5, pp. 625–634.Jacobson N. Structure of rings. Amer. Math. Soc., Colloq. Publ. Vol. 37, 1968.Jacobson, N. 1968, “Structure of rings”. Amer. Math. Soc., Colloq. Publ. vol. 37.Toubassi E. H., Lawver D. A. Height-slope and splitting length of abelian groups // Publs. Math. 1973. Vol. 20. P. 63–71.Toubassi, E. H. & Lawver, D. A. 1973, “Height-slope and splitting length of abelian groups”, Publs. Math., vol. 20, pp. 63–71.Kompantseva E. I. Torsion-free rings // J. Math. Sci. 2010. Vol. 171. №2. P. 213–247.Kompantseva, E. I. 2010, “Torsion-free rings”, J. Math. Sci., vol. 171, no. 2, pp. 213–247.Компанцева Е. И. Абелева MT-группы и кольца на них // Тезисы докладов международной алгебраической конференции, посвященной 110-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша. М.: Издательство МГУ, 2018. С. 108–109.Kompantseva, E. I. 2018, “Abelian MT-groups and rings on them”, Abstract of International Algebraic Conference dedicated to the 110-th anniversary of Professor A. G. Kurosh, M.: Pub. MSU, pp. 108–109.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.