chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-1-195-201cheb-622Research ArticleСтатьиArticleО многочленах Нюмена без корней на единичном кругеOn Newman polynomials without roots on the unit circleДубицкасАртурасDubickasArturas

доктор математических наук, ведущий научный сотрудник

habilitated doctor of mathematics, research professor

arturas.dubickas@mif.vu.ltИнститут Математики Вильнюсского университета, г. Вильнюс (Литва)РоссияInstitute of Mathematics, Vilnius University, Vilnius (Lithuania)Russian Federation201923012020201195201Copyright © Дубицкас А., 20192019Дубицкас А.Dubickas A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/622

В настоящей заметке мы получим необходимое и достаточное условие на тройку неотрицательных целых чисел a < b < c при выполнении которого многочлен Нюмена $$\sum_{j=0}^a x^j + \sum_{j=b}^c x^j$$ имеет корень на единичном круге. Изпользуя это условие мы докажем, что для каждого $$d \geq 3$$ существует такое целое положительное число n > d, что многочлен Нюмена $$1+x+\dots+x^{d-2}+x^n$$ длины d не имеет корней на единичном круге.

In this note we give a necessary and sufficient condition on the triplet of nonnegative integers a < b < c for which the Newman polynomial $$\sum_{j=0}^a x^j + \sum_{j=b}^c x^j$$ has a root on the unit circle. From this condition we derive that for each $$d \geq 3$$ there is a positive integer $$n>d$$ such that the Newman polynomial $$1+x+\dots+x^{d-2}+x^n$$ of length d has no roots on the unit circle.

многочлен Нюменакорень из единицыNewman polynomialroot of unityReferencesBoyd D. W. Large Newman polynomials // in: Diophantine analysis (Kensigton, 1985), London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol.109, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1986. P. 159–170.Boyd, D. W. 1986, “Large Newman polynomials“, in: Diophantine analysis (Kensigton, 1985), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol.109, Cambridge Univ. Press, Cambridge, pp. 159–170.Campbell D. M., Ferguson H. R.P., Forcade R. W. Newman polynomials on |z| = 1 // Indiana Univ. Math. J. 1983. Vol.32. P. 517–525.Campbell, D. M., Ferguson, H. R.P. & Forcade, R. W. 1983, “Newman polynomials on |z| = 1“, Indiana Univ. Math. J., vol.32, pp. 517–525.Dubickas A. Nonreciprocal algebraic numbers of small measure // Comment. Math. Univ. Carolin. 2004. Vol.45. P. 693–697.Dubickas, A. 2004, “Nonreciprocal algebraic numbers of small measure“, Comment. Math. Univ. Carolin., vol.45, pp. 693–697.Goddard B. Finite exponential series and Newman polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. Vol.116. P. 313–320.Goddard, B. 1992, “Finite exponential series and Newman polynomials“, Proc. Amer. Math. Soc., vol.116, pp. 313–320.Filaseta M., Finch C., Nicol C. On three questions concerning 0, 1-polynomials // J. Th´eorie des Nombres Bordx. 2006. Vol.118. P. 357–370.Filaseta, M., Finch, C. & Nicol, C. 2006, “On three questions concerning 0, 1-polynomials“, J. Th´eorie des Nombres Bordx., vol.118, pp. 357–370.Finch C., Jones L. On the irreducibility of {−1, 0, 1}-quadrinomials // Integers. 2006. Vol.6, A16. 4 P.Finch, C. & Jones, L. 2006, “On the irreducibility of {−1, 0, 1}-quadrinomials“, Integers, vol.6, A16, 4 pp.Mercer I. Newman polynomials, reducibility and roots on the unit circle // Integers. 2012. Vol.12, A6. 16 P.Mercer, I. 2012, “Newman polynomials, reducibility and roots on the unit circle“, Integers, vol.12, A6, 16 pp.Mercer I. Newman polynomials not vanishing on the unit circle // Integers. 2012. Vol.12, A67. 7 P.Mercer, I. 2012, “Newman polynomials not vanishing on the unit circle“, Integers vol.12, A67, 7 pp.Konyagin S. V. On the number of irreducible polynomials with 0, 1 coefficients // Acta Arith. 1999. Vol.88. P. 333–350.Konyagin, S. V. 1999, “On the number of irreducible polynomials with 0, 1 coefficients“, Acta Arith., vol.88, pp. 333–350.Luo J. J., Ruan H.-J., Wang, Y.-L. Lipschitz equivalence of Cantor sets and irreducibility of polynomials // Mathematika. 2018. Vol.64. P. 730–741.Luo, J. J., Ruan, H.-J. & Wang, Y.-L., 2018, “Lipschitz equivalence of Cantor sets and irreducibility of polynomials“, Mathematika, vol.64, pp. 730–741.Smyth C. J. Some results on Newman polynomials // Indiana Univ. Math. J. 1985. Vol.34. P. 195–200.Smyth, C. J. 1985, “Some results on Newman polynomials“, Indiana Univ. Math. J., vol.34, pp. 195–200.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.