кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула.
candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate Professor of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula.
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
candidate of candidate of physical and mathematical sciences, senior researcher
профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии
doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department of algebra, mathematical analysis and geometry
доцент, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии
doctor of physical and mathematical sciences, assistant professor, professor of the department of algebra, mathematical analysis and geometry
кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики
candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor, dean of the faculty of mathematics, physics and computer science
В работе для произвольного моноида натуральных чисел строятся основы алгебры рядов Дирихле либо над числовым полем, либо над кольцом целых чисел алгебраического числового поля.Для любого числового поля $$\mathbb{K}$$ показано, что множество $$\mathbb{D}^*(M)_{\mathbb{K}}$$ всех обратимых рядов Дирихле из $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{K}}$$ является бесконечной абелевой группой, состоящей из рядов, у которых первый коэффициент отличен от нуля.Вводится понятие целого ряда Дирихле моноида натуральных чисел, которые образуют алгебру над кольцом целых алгебраических чисел $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ алгебраического поля $$\mathbb{K}$$. Показано, что для группы $$\mathbb{U}_\mathbb{K}$$ алгебраических единиц кольца целых алгебраических чисел $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ алгебраического поля $$\mathbb{K}$$ множество $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{U}_\mathbb{K}}$$ целых рядов Дирихле, у которых $$a(1)\in\mathbb{U}_\mathbb{K}$$, является мультипликативной группой.Для любого ряда Дирихле из алгебры рядов Дирихле моноида натуральных чисел определены приведенный ряд, необратимая часть и дополнительный ряд. Найдена формула разложения произвольного ряда Дирихле в произведение приведенного ряда и конструкции из необратимой части и дополнительного ряда.Для любого моноида натуральных чисел выделена алгебра рядов Дирихле, сходящихся на всей комплексной области. Также построена алгебра рядов Дирихле с заданной полуплоскостью абсолютной сходимости. Показано, что для любого нетривиального моноида M и для любого вещественного $$\sigma_0$$ найдется бесконечное множество рядов Дирихле из $$\mathbb{D}(M)$$ таких, что областью их голоморфности является $$\alpha$$-полуплоскость $$\sigma>\sigma_0$$.С помощью теоремы универсальности С. М. Воронина удалось доказать слабую форму теоремы универсальности для широкого класса дзета-функций моноидов натуральных чисел.В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования. В частности, если верна гипотеза Линника-Ибрагимова, то для них должна быть справедлива и сильная теорема универсальности.
In this paper, for an arbitrary monoid of natural numbers, the foundations of the Dirichlet series algebra are constructed either over a numerical field or over a ring of integers of an algebraic numerical field.For any numerical field $$\mathbb{K}$$, it is shown that the set $$\mathbb{D}^*(M)_{\mathbb{K}}$$ of all reversible Dirichlet series of $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{K}}$$ is an infinite Abelian group consisting of series whose first coefficient is nonzero.We introduce the notion of an integer Dirichlet monoid of natural numbers that form an algebra over a ring of algebraic integers $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ of the algebraic field $$\mathbb{K}$$. It is shown that for a group $$\mathbb{U}_\mathbb{K}$$ of algebraic units of the ring of algebraic integers of $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ an algebraic field $$\mathbb{K}$$ the set of $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{U}_\mathbb{K}}$$ of entire Dirichlet series, $$a(1)\in\mathbb{U}_\mathbb{K}$$, is multiplicative group.For any Dirichlet series from the Dirichlet series algebra of a monoid of natural numbers, the reduced series, the irreversible part and the additional series are determined. A formula for decomposition of an arbitrary Dirichlet series into the product of the reduced series and a construction of an irreversible part and an additional series is found.For any monoid of natural numbers allocated to the algebra of Dirichlet series, convergent in the entire complex domain. The Dirichlet series algebra with a given half-plane of absolute convergence is also constructed. It is shown that for any nontrivial monoid M and for any real $$\sigma_0$$, there is an infinite set of Dirichlet series of $$\mathbb{D}(M)$$ such that the domain of their holomorphism is $$\alpha$$-half-plane $$\sigma>\sigma_0$$.With the help of the universality theorem S. M. Voronin managed to prove the weak form of the universality theorem for a wide class of Zeta functions of monoids of natural numbers.In conclusion describes the actual problem with the Zeta functions of monoids of natural numbers that require further research. In particular, if the Linnik-Ibrahimov hypothesis is true, then a strong theorem of universality should be valid for them.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.