кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула.
candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate Professor of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula.
профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии
doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department of algebra, mathematical analysis and geometry
кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики
candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor, dean of the faculty of mathematics, physics and computer science,
старший преподаватель кафедры алгебры, математического анализа и геометрии
senior lecturer of the Department of algebra, mathematical analysis and geometry
В работе для каждого моноида M натуральных чисел определён новый класс периодических функций $$M_s^\alpha$$, который является подклассом известного класса Коробова периодических функций $$E_s^\alpha$$. Относительно нормы $$\|f(\vec{x})\|_{E_s^\alpha}$$ класс $$M_s^\alpha$$ является несепарабельным банаховым подпространством класса $$E_s^\alpha$$.Установлено, что класс $$M_s^\alpha$$ замкнут относительно действия интегрального оператора Фредгольма и на этом классе разрешимо интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В работе получены оценки нормы образа интегрального оператора, которые содержат норму ядра и s-ю степень дзета-функции моноида M. Получены оценки на параметр $$\lambda$$, при которых интегральный оператор $$A_{\lambda,f}$$ является сжатием. Доказана теорема о представлении единственного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода в виде ряда Неймана.В работе рассмотрены вопросы решения дифференциального уравнения с частными производными с дифференциальным оператором $$Q\left(\frac{\partial }{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial }{\partial x_s}\right)$$ в пространстве $$M^\alpha_{s}$$, который зависит от арифметических свойств спектра этого оператора.В работе обнаружен парадоксальный факт, что для моноида $$M_{q,1}$$ чисел сравнимых с 1 по модулю q квадратурная формула с параллелепипедальной сеткой для допустимого набора коэффициентов по модулю q точна на классе $$M_{q,1,s}^\alpha$$. Более того, это утверждение остается верным и для класса $$M_{q,a,s}^\alpha$$ с 1 < a < q, когда q - простое число. Так как функции из класса $$M_{q,a,s}^\alpha$$ с 1 < a < q не имеют нулевого коэффициента Фурье $$C(\vec{0})$$, то при простом q сумма значений функции по узлам соответствующей параллелепипедальной сетки будет нулевой.
For every monoid M of natural numbers defined a new class of periodic functions $$M_s^\alpha$$, which is a subclass of a known class of periodic functions Korobov $$E_s^\alpha$$. With respect to the norm $$\|f(\vec{x})\|_{E_s^\alpha}$$, the class $$M_s^\alpha$$ is an inseparable Banach subspace of class $$E_s^\alpha$$.It is established that the class $$M_s^\alpha$$ is closed with respect to the action of the Fredholm integral operator and the Fredholm integral equation of the second kind is solvable on this class.In this paper we obtain estimates of the image norm of the integral operator, which contain the kernel norm and the s-th degree of the Zeta function of the monoid M. Estimates are obtained for the parameter $$\lambda$$, in which the integral operator $$A_{\lambda,f}$$ is a compression. The theorem on the representation of the unique solution of Fredholm integral equation of the second kind in the form of Neumann series is proved.The paper deals with the problems of solving the partial differential equation with the differential operator $$Q\left(\frac{\partial }{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial }{\partial x_s}\right)$$ in the space $$M^\alpha_{s}$$, which depends on the arithmetic properties of the spectrum of this operator.A paradoxical fact is found that for a monoid $$M_{q,1}$$ of numbers comparable to 1 modulo q, a quadrature formula with a parallelepiped grid for an admissible set of coefficients modulo q is exact on the class $$M_{q,1,s}^\alpha$$. Moreover, this statement remains true for the class $$M_{q,a,s}^\alpha$$ with 1 < a < q when q is a Prime number. Since the functions of class $$M_{q,a,s}^\alpha$$ with 1 < a < q do not have a zero Fourier coefficient $$C(\vec{0})$$, then for a simple q the sum of the function values at the nodes of the corresponding parallelepipedal grid will be zero.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.