chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-2-298-310cheb-613Research ArticleСтатьиArticleДифференцирование функций кватернионной переменнойDifferentiation of functions of quaternionic variableПоляковаНадия СалихжановнаPoliakovaNadiia Salikhzhanovnapolyakova.nadiya@mail.ru201923012020202298310Copyright © Полякова Н.С., 20192019Полякова Н.С.Poliakova N.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/613

В данной работе рассматривается определение дифференцируемости и регулярностипо Фютеру [1–2] и примеры регулярных по Фютеру функций, приводится и определениеС-регулярности и С-производной или производной Куллена [3], на основе которой строитсяновая теория регулярных функций в [4], которая уже включает полиномы и сходящиеся ря-ды гиперкомплексной переменной как дифференцируемые функции. Затем предлагаетсяновое определение дифференцируемости, имеющее классический вид, но со специфиче-ской сходимостью, которое позволяет доказать теоремы о дифференцируемости суммы ипроизведения дифференцируемых функций, о дифференцируемости “частного” дифферен-цируемых функций. Далее выводится производная степени и доказывается дифференци-руемость полиномов и степенных рядов, что позволяет строить обобщения элементарныхфункций для кватернионных аргументов. Приводится пример, показывающий, что без спе-цифической сходимости приведенное определение дифференцируемости теряет смысл. Спомощью степенных рядов задаются функции, которые являются решениями дифферен-циальных уравнений с постоянными кватернионными коэффициентами. Рассматриваетсязадача отыскания корней квадратного уравнения с кватернионными коэффициентами, ко-торая возникает при решении дифференциальных уравнений

In this paper it is considered the definition of differentiability and regularity by Fueter [1, 2]and examples of regular function by Fueter, and the definition of C-regularity and C-derivativeor Cullen derivative, on the basis of which a new theory of regular functions, which alreadyincludes polynomials and converging series of hypercomplex variable as differentiable and regularfunctions. Then a new definition of differentiability is proposed. It has a classical form, butspecific convergence, which allows to prove theorems about differentiability of the sum andproduct of differentiable functions, differentiability of the “quotient” of differentiable functions.Further, it is deduced the derivative of power and is proved differentiability of polynomials andpower series that allows to construct generalization of elementary functions for quaternionicargument. An example is given to show that without specific convergence the given definitionof differentiability loses its meaning. With the help of power series functions are given, whichare solutions of differential equations with constant quaternion coefficients. It is considered theproblem of finding the roots of a square equation that arises in solving differential equations.

ReferencesFueter R. Zur Theorie der regularen Funktionen einer Quaternionenvariablen // Monatshefte f. Math. & Phis., 1932, vol. 43, p. 69–84.Fueter R. 1932, “Zur Theorie der regularen Funktionen einer Quaternionenvariablen” , Monatshefte f. Math. & Phis., vol. 43, p. 69–84.Fueter R. Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen Δu = 0 und ΔΔ u = 0 mit vier reelen Variablen // Comment. Math. Helv. 1934, vol. 7, p. 307–330.Fueter R. 1934, “Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen Δu = 0 und ΔΔu = 0 mit vier reelen Variablen” , Comment. Math. Helv. 7, p. 307–330.Cullen C. G. An integral theorem for analytic intrinsic function on quaternions // Duke Math. J. 1965, 32, p. 139–148.Cullen C. G. 1965, “An integral theorem for analytic intrinsic function on quaternions” , Duke Math. J. 32, p. 139–148.Gentili G., Struppa D. C. A new theory of regular functions of a quaternionic variable // Advances in Mathematics, 2007, 216, p. 279–301.Gentili G., Struppa D. C. 2007, “A new theory of regular functions of a quaternionic variable” . Advances in Mathematics, 216, p. 279–301.Бранец А. В., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.Branets A. V., Shmiglevsky I. P. 1973, “Primenenie quaternionov v zadachah orientatsiy tverdogo tela [The application of quaternions in problems of orientation a solid body]”. M.: Nauka, 320 pp.Амелькин Н. И. Кинематика и динамика твердого тела. М.: МФТИ, 2000. 65 с.Amelkin N. I. 2000, “Kinematika i dinamika tverdogo tela [Kinematics and dynamics of a solid body]” , MFTI, Moscow, 65 pp.Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2001. 320 с.Zhuravlev V. F. 2001, “Osnovi teoreticheskoy mekhaniki [Fundamentals of theoretical mechanics]” , Fismatlit, Moscow, 320 pp.Шамаров Н. Н. Применение нестандартных числовых систем в математической физике // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: Изд-во РУДН, 2007. T. 23. C. 182–194.Shamarov N. N. 2007, “Primenenie nestandartnikh chislovikh system v matematicheskoy fisike [Application of non-standard numerical systems in mathematical physics]” , Sovremennaya matematica. Fundamentalnie napravleniya. RUDN, Moscow, vol. 23, p. 182–194.Ефремов А. П. Исследование кватернионных пространств и их взаимосвязи с системами отсчета и физическими полями. М.: Изд-во РУДН, 2005. 274 с.Yefremov A. P. 2005, “Issledovanie kvaternionnikh prostranstv i ikh vzaimosvyasi s systemami otscheta i fisicheskimi polyami [Study of quaternion spaces and their relationship with reference systems and physical fields]” , RUDN, Moscow, 274 pp.Yefremov A. P., Relativistic Oscilator in Quaternion Relativity // Quantization in Astrophysics, Brounian Motion, and Supersymmetry, Chennai Ed., 2007, p. 440–457.Yefremov A. P. 2007, “Relativistic Oscilator in Quaternion Relativity” , Quantization in Astrophysics, Brounian Motion, and Supersymmetry, Chennai Ed., p. 440-457.Ефремов А. П. Предгеометрическая структура ассоциативных алгебр и кватернионные пространства как среда обитания физических законов // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2014. № 1. C. 5–19.Yefremov A. P. 2014, “Predgeometricheskaya struktura assotsiativnikh algebr i kvaternionniye prostranstva kak sreda obitaniya fisicheskikh sakonov [Predgeometric structure of associative algebras and quaternion spaces as a habitat of physical laws]” , Prostranstvo, vrema I fundamentalnye vzaimodejstvia, no. 1, p. 5–19.Kravchenko V. G., Kravchenko V. V. On some nonlinear equations, generated by Fueter type operators // Zeitschrift fur Analysys und ihre Anwendungen, 1994, vol. 13, no. 4, p. 599–602.Kravchenko V. G., Kravchenko V. V., 1994, “On some nonlinear equations, generated by Fueter type operators” . Zeitschrift fur Analysys und ihre Anwendungen, vol. 13, no. 4, p. 599–602.Kravchenko V. V., Shapiro M. V. Integral Representation for Spatial Models of Mathematical Physics // Pitman Res. Notes Math., 1996, vol. 351, Longman, Harlow, 247 pp.Kravchenko V. V., Shapiro M. V., 1996, “Integral Representation for Spatial Models of Mathematical Physics” , Pitman Res. Notes Math., vol. 351, Longman, Harlow, 247 pp.Полякова Н. С., Дерябина Г. С. Кватернионы и их применение. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. 56 с.Polyakova N. S., Deryabina G. S. 2003, “Kvaternioni i ikh primenenie [Quaternions and their applications]” , MGTU, Moscow, 56 pp.Полякова Н. С., Дерябина Г. С. Гиперкомплексные числа. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. 72 с.Polyakova N. S., Deryabina G. S. 2017, “Giperkompleksnye chisla [Hypercomplex numbers]” , MGTU, Moscow, 72 pp.Gentili G., Sarfatti G. The Mittag-Leffler Theorem for regular functions of a quaternionic variable // New York Journal of Mathematics, 2017, v. 23, p. 583–592.Gentili G., Sarfatti G. 2017, “The Mittag-Leffler Theorem for regular functions of a quaternionic variable” New York Journal of Mathematics, 2017, v. 23, p. 583–592.Farouki R. T., Gentili G., Giannelli C., Sestini A., Stoppato C. Solution of a quadratic quaternion equation with mixed coefficients // J. of Symbolic Computation, 2016, vol. 74, p. 140–151.Farouki R. T., Gentili G., Giannelli C., Sestini A., Stoppato C., 2016, “Solution of a quadratic quaternion equation with mixed coefficients” , J. of Symbolic Computation, vol. 74, p. 140–151.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.