В статье рассматривается система матричных уравнений Лурье. Такая система имеетприкладное значение при исследовании асимптотической устойчивости состояний равнове-сия системы дифференциальных уравнений, нахождении областей притяжения состоянийравновесия, определения условий существования предельных циклов для систем диффе-ренциальных уравнений, исследовании глобальной устойчивости, скрытой синхронизациисистем фазовой и частотно-фазовой автоподстройки частоты. Известно, что условия раз-решимости матричных уравнений Лурье определяются «частотной теоремой Якубовича-Калмана». Для изучения нелинейных колебаний фазовых систем возникает необходимостьнахождения решений матричных уравнений Лурье.В данной статье рассматривается случай, когда матричное неравенство Ляпунова, вхо-дящее в состав уравнений Лурье, имеет матрицу с действительными собственными значе-ниями, часть из которых могут быть нулевыми. Для такого случая получены необходимыеи достаточные условия разрешимости уравнений Лурье и определен вид решений, что поз-воляет провести их спектральный анализ. Явный вид решений матричных уравнений далвозможность провести их геометрическую интерпретацию в зависимости от спектра, пока-зать взаимосвязь уравнения линейной связи с квадратичными формами решений уравне-ний Лурье. В основе метода анализа матричных уравнений лежит подход, базирующийсяна использовании прямого произведения матриц и применении обобщенно обратных мат-риц для нахождения решений систем линейных уравнений. Результаты работы позволилиисследовать систему трех матричных уравнений возникающую при изучении фазовых си-стем частотно-фазовой автоподстройки частоты.
The system of matrix Lurie equations is considered. Such a system is of practical importancein the study of the asymptotic stability of equilibrium states of a system of differential equations,finding the regions of attraction of equilibrium states, determining the conditions for theexistence of limit cycles for systems of differential equations, investigating global stability,hidden synchronization of phase and frequency-frequency self-tuning systems. It is knownthat the conditions for the solvability of the matrix Lurie equations are determined by the"Yakubovich-Kalman frequency theorem". To study nonlinear oscillations of phase systems, itbecomes necessary to find solutions of the matrix Lurie equations.In this paper we consider the case when the matrix Lyapunov inequality, which is part ofthe Lurie equation, has a matrix with real eigenvalues, some of which may be zero. For such acase, necessary and sufficient conditions for the solvability of the Lurie equations are obtainedand the form of the solutions is determined, which makes it possible to carry out their spectralanalysis. The explicit form of the solutions of the matrix equations made it possible to maketheir geometric interpretation depending on the spectrum, to show the relationship of the linearconnection equation to the quadratic forms of solutions of the Lurie equations. The method ofanalyzing matrix equations is based on an approach based on the use of a direct product ofmatrices and the application of generalized inverse matrices to find solutions to systems of linearequations. The results of the work made it possible to investigate the system of three matrixequations arising in the study of phase-frequency frequency-phase self-tuning systems.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.