chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-2-207-220cheb-606Research ArticleСтатьиArticleТригонометрические суммы в метрической теории диофантовых приближенийTrigonometric sums in the metric theory of Diophantine approximationКовалевскаяЭлла ИвановнаKavaleuskayaEla Ivana˘ynaekovalevsk@mail.ru201923012020202207220Copyright © Ковалевская Э.И., 20192019Ковалевская Э.И.Kavaleuskaya E.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/606

Это обзор результатов по метрической теории диофантовых приближений на многообразиях в n-мерном евклидовом пространстве, в доказательстве которых используются тригонометрические суммы.

Мы приводим как классические теоремы, так и современные результаты для многообразий Γ, dim Γ = m, n/2 < m < n. Мы также показываем, как происходит переход от задачи о диофантовых приближениях к оценке тригонометрической суммы или тригонометрического интеграла, и приводим необходимые соображения теории меры.

Если m ≤ n/2, то обычно используют другие методы. Например, метод существенных и несущественных областей или методы эргодической теории.

Здесь даны две фундаментальные теоремы рассматриваемой теории. Одну из них в 1977 г. доказал В. Г. Спринджук. Другую теорему в1998 г. получили Д. И. Клейнбок и Г. А. Маргулис. Первая теорема была доказана методом тригонометрических сумм. Вторая теорема – методами эргодической теории. Для ее доказательства авторами была найдена связь между диофантовыми приближения и однородными динамическими системами.

В заключении кратко упоминаем о тенденциях развития метрической теории диофантовых приближений зависимых величин, даем ссылки на ее современные аспекты.

It is a survey with respect to using trigonometric sums in the metric theory of Diophantine approximation on the manifolds in n-dimensional Euclidean space. We represent both classical results and contemporary theorems for Γ, dim Γ = m,n/2 < m < n. We also discuss reduction of a problem about Diophantine approximation to trigonometric sum or trigonometric integral, and indicate measure-theoretic considerations.

If m ≤ n/2  then usually it is used the other methods. For example, the essential and inessential domains method or methods of Ergodic Theory.

Here we cite two fundamental theorems of this theory. One of them was obtained by V. G. Sprindzuk (1977). The other theorem was proved by D. Y. Kleinbock and G. A. Margulis (1998). The first result was obtained using method of trigonometric sums. The second theorem was proved using methods of Ergodic Theory. Here the authors applied new technique which linked Diophantine approximation and homogeneous dynamics.

In conclusion, we add a short comment concerning the tendencies of a development of the metric theory of Diophantine approximation of dependent quantities and its contemporary aspects.

ReferencesБерник В. И., Ковалевская Э. И. Экстремальное свойство некоторых поверхностей в n-мерном евклидовом пространстве // Матем. заметки, 1974, Т. 15, № 2. С. 247–254.Bernik V. I., Kovalevskaja E. I. Extremal properties of some surface in n-dimensional Euclidean space, Math. Notes, 15(2). 1974, pp. 247–254.Берник В. И., Мельничук Ю. В. Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа. – Минск: Наука и техника, 1988.Bernik V. I., Melnichuk Yu. V. Diophantine approximation and Hausdorff dimension. Nauka I Nechnika, Minsk, 1988. 23. Cassels J. W. S. An introduction to Diophantine Approximation. Cambridge Tracts in Math and Math. Phys., 45. Cambridge Univ. Press. 1957.Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. М: Иностр. лит. 1961. (перевод с англ. А.М. Полосуева); Cassels J. W. S. An introduction to Diophantine Approximation. Cambridge Tracts in Math and Math. Phys., 45. Cambridge Univ. Press. 1957.Cassels J. W. S. An introduction to Diophantine Approximation. Cambridge Tracts in Math and Math. Phys., 45. Cambridge Univ. Press. 1957.Ковалевская Э. И. "Гиперболические" диофантовы приближения на аналитических многообразиях // Докл. АН БССР, 1975, Т. 19, № 3. С. 200–203.Kovalevskaja E. I. "Hyperbolic" approximation on analytic manifolds, Dokl. Akad. Nauk BSSR, vol. 19(3), 1975, pp. 200–203.Ковалевская Э. И. Диофантовы приближения с квадратичными многочленами // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. н. 1975, № 4. С. 5–14.Kovalevskaja E. I. Diophantine approximation with quadratic polynomials, Vesci Akad. Navuk BSSR. Ser. Fiz.-Mat. Navuk, 4, 1975, pp. 5–14.Ковалевская Э. И. Одно геометрическое свойство экстремальной поверхности // Матем. заметки. 1978. № 23(2). С. 177–181.Kovalevskaja E. I. One geometric property of extremal surface, Math. Notes, 23(2), 1978, pp. 177–181.Ковалевская Э. И. Тригонометрические суммы и метрическая теория диофантовых приближений на многобразиях. Материалы конференции // XV Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения посвященная столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Коробова Николая Михайловича: тезисы докладов международной конференции (Тула, 28–31 мая 2018 г.). — Тула, 2018. С. 257–260.Kovalevskaya, E. I. The trigonometric sums and the metric theory of Diophantine approximation on manifolds, Proc. XV Int. Conf. on Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Contemporary Problems and Applications devoted to centenary of professor N. M. Korobov. Tula, Russia, 28–31 May 2018, P. 257–260. (In Russian)Ковалевская Э. И. Геометрическое и арифметическое описание экстремальных многобразий в метрической теории диофантовых приближений. Материалы конференции // XVI Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения и проблемы истории посвященная 80-летию со дня рождения профессора Мишеля Деза.: тезисы докладов международной конференции (Тула, 13–18 мая 2019 г.). — Тула, 2019. C. 239–241.Kavaleuskaya, E. I. Geometric and arithmetic description of extremal manifolds in the metric theory of Diophantine approximation, Proc. XVI Int. Conf. on Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Contemporary Problems, Applications and Problem of History, devoted to eighty of professor Mishel Deza. Tula, Russia, 13–18 May 2019, P. 239–241.Ковалевская Э. И., Рыкова О. В. Развитие метода существенных и несущественных областей для подсчета векторов с действительными алгебраическими координатами вблизи гладких поверхностей // Чебышевский сборник — Тула: Изд-во ТПГУ, 2013, T. 14, вып. 4. С. 119–126.Kovalevskaya, E. I., Rykova O. V. The development of the essential and inessential domains method for the calculation of vectors with real algebraic coordinates near smooth surfaces, Chebyshevskii Sbornik. — Tula: 14, 2013, pp. 119–126.Кубилюс Й. П. О применении метода академика Виноградова к решению одной задачи метрической теории чисел // Докл. АН СССР. 1949. Том 67. С. 783–786.Kubilius I. P. On the application of I. M. Vinogradov’s method to the solution of a problem of the metric theory of numbers, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 67, 1949, pp. 783–786.Кубилюс Й. П. О применении метода академика Виноградова к решению одной задачи метрической теории чисел // Докл. АН СССР. 1949. Том 67. С. 783–786.Kubilius I. P. On the metrical problem in the theory of Diophantine approximation, Trudy Akad. Nauk Litov. SSR, Ser. B, 2(18), 1959, pp. 3–7.Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел // Минск: Изд-во Наука и техника, 1967. 184 с.Sprindžuk V. G. Mahler’s problem in metric number theory. Minsk: Izdat. Nauka i Tehnika. 1967. English translation by B. Volkman. Transl. Math. Monographs, 25, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 1969.Спринджук В. Г. Метод тригонометрических сумм в метрической теории диофантовых приближений зависимых величин // Труды Матем. ин-та Ан СССР, 1972. Т. 128, № 2. С. 212–254.Sprindžuk V. G. The method of trigonometric sums in the metric theory of Diophantine approximation of dependent quantities, Proc. Steklov Inst. Math. Akad. Nauk SSSR, 128(2), 1972, pp. 212–228.Спринджук В. Г. Метрическая система диофантовых приближений / В. Г. Спринджук // Москва: Изд-во Наука, 1977. 144 с.Sprindžuk V. G. Metric theory of Diophantine approximations. Izdat. Nauka. Moscow, 1977. English translation by R. A. Silverman. John Wiley and Sons. New York – Toronto – London, 1979.Adiceam F., Beresnevich V., Levesley V., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation and applications in interference alignment // Advances in Math. 302. 2016, P. 231–279.Adiceam F., Beresnevich V., Levesley V., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation and applications in interference alignment, Advances in Math., 302 2016, pp. 231–279.Bayramoglu M., Jabbarov I. Sh., Kazimova L. G. On some theoretic-functional results concerning the theory of extremality and their application // Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb. 44(2). 2018, P. 229–237.Bayramoglu M., Jabbarov I. Sh., Kazimova L. G. On some theoretic-functional results concerning the theory of extremality and their application, Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb., 44(2), 2018, pp. 229–237.Beresnevich V., Bernik V., Götze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants // Advances in Math. 298. 2016, P. 393–412.Beresnevich V., Bernik V., G‥otze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants, Advances in Math., 298, 2016, pp. 393–412.Beresnevich V., Ramirez F., Velani S. Metric Diophantine approximation: aspects on recent work. In Dynamics and Analytic Number Theory. LMS Lecture Notes Ser. 437. 2016 (eds. D. Badziahin, A. Gorodnik, N. Reyerimhoff). Cambridge Univ. Press (Cambridge. 2016). P. 1–95.Beresnevich V., Ramirez F., Velani S. Metric Diophantine approximation: aspects on recent work. In Dynamics and Analytic Number Theory. LMS Lecture Notes Ser., 437, 2016 (eds. D. Badziahin, A. Gorodnik, N. Reyerimhoff). Cambridge Univ. Press (Cambridge. 2016), pp. 1–95.Beresnevich V., Lee L., Vaughan R. C., Velani S. Diophantine approximation on manifolds and lower bounds Hausdorff dimension // Math. 63. 2017. P. 762–779.Beresnevich V., Lee L., Vaughan R. C., Velani S. Diophantine approximation on manifolds and lower bounds Hausdorff dimension Math., 63, 2017, pp. 762–779.Beresnevich V., Velani S. A note on three problems in metric Diophantine approximation. In recent Trends in Ergodic Theory and Dynamical Systems, Contemp. Math. 631. 2015. Amer. Math. Soc. Providence. R. I. 2015. P. 211–229.Beresnevich V., Velani S. A note on three problems in metric Diophantine approximation. In recent Trends in Ergodic Theory and Dynamical Systems, Contemp. Math., 631, 2015, Amer. Math. Soc. Providence. R. I., 2015, pp. 211–229.Beresnevich V., Vaughan R. C., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation on manifolds and the distribution of rational points: contributions to the convergence theory // Int. Math. Research Notices. 2016. P. 1–24.Beresnevich V., Vaughan R. C., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation on manifolds and the distribution of rational points: contributions to the convergence theory. Int. Math. Research Notices, 2016, pp. 1–24.Bernik V. I., DodsonM. M. Metric Diophantine Approximation of Manifolds. Cambridge Tracts in Math. Vol. 137. Cambridge University Press. Cambridge. 1999.Bernik V. I., Dodson M. M. Metric Diophantine Approximation of Manifolds. Cambridge Tracts in Math, 137. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1999.Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers. Cambridge Tracts in Math. Vol. 169. Cambridge Univ. Press, 2004.Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers. Cambridge Tracts in Math., 169. Cambridge Univ. Press, 2004.Dodson M. M., Vickers J. A. G. Number Theory and dynamical systems // London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 134. Cambridge Univ. Press. 1989.Dodson M. M., Vickers J. A. G. Number Theory and dynamical systems, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 134. Cambridge Univ. Press, 1989.Kleinbock D. Y., Margulis G. A. Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds // Ann. Math. 1998. Vol. 148. P. 339–360.Kleinbock D. Y., Margulis G.A. Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds, Ann. Math., 148, 1998, pp. 339–360.Kovalevskaja E. I. Metric theorems on the approximation of zero by a linear combination of polynomials with integral coefficients, Acta Arith. 1973. Vol. 25. P. 93–104.Kovalevskaja E. I. Metric theorems on the approximation of zero by a linear combination of polynomials with integral coefficients, Acta Arith., 25, 1973, pp. 93–104.Kovalevskaya E. The convergence part of a Khintchne-type theorem in the ring of adeles // Tatra Mountains Math. Publ. 59. 2014. P. 39–50.Kovalevskaya E. The convergence part of a Khintchne-type theorem in the ring of adeles, Tatra Mountains Math. Publ., 59, 2014, pp. 39–50.Schmidt W. M. Über Gitterpunkte auf gewissen Flächen // Monatch. Math. 68. 1964, No. 1. P. 59–74.Schmidt W. M. Über Gitterpunkte auf gewissen Flächen, Monatch. Math. 68(1), 1964, pp. 59–74.Schmidt W. M. Metrische Sätze Über simultane Approximationabhängiger Grössen // Monatch. Math. 1964. Vol. 68, No. 2. P. 154–166.Schmidt W. M. Metrische Sätze Über simultane Approximationabhängiger Grössen, Monatch. Math., 68(2), 1964, pp. 154–166.Schmidt W. M. Diophantine Approximation. Lecture Notes in Math. Vol. 785. Springer-Verlag, 1980.Schmidt W. M. Diophantine Approximation, Lecture Notes in Math., 785. Springer-Verlag, 1980.Steuding J. Diophantine analysis. Course notes from a Summer School. Trends in Math. Birkhäuser. Springer Int. Publ. AG. 2016.Steuding J. Diophantine analysis. Course notes from a Summer School. Trends in Math., Birkhäuser. Springer Int. Publ. AG, 2016.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.