chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-2-108-122cheb-598Research ArticleСтатьиArticleРасстояния Громова – Хаусдорфа до симплексовThe Gromov – Hausdorff distances to simplexesГригорьевД. С.Grigor’evD. S.d.grigoriev@yahoo.comИвановАлександр ОлеговичIvanovAlexander Olegovichaoiva@mech.math.msu.suТужилинАлексей АвгустиновичTuzhilinAlexey Augustinovichtuz@mech.math.msu.su201921012020202108122Copyright © Григорьев Д.С., Иванов А.О., Тужилин А.А., 20192019Григорьев Д.С., Иванов А.О., Тужилин А.А.Grigor’ev D.S., Ivanov A.O., Tuzhilin A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/598

В работе изучаются геометрические характеристики метрических пространств, участ-вующие в формулах расстояний Громова–Хаусдорфа от этих пространств до так называе-мых симплексов, т.е. метрических пространств, в которых все ненулевые расстояния равнымежду собой. При вычислении этих расстояний важную роль играет геометрия разбиенийэтих пространств, приводящая, в случае конечных пространств, к аналогу длин реберминимального остовного дерева. Ранее была разработана аналогичная теория для ком-пактных метрических пространств. Эти результаты обобщены на случай произвольногоограниченного пространства, упрощая при этом ряд доказательств, а также выписываяявные формулы

In the paper geometrical characteristics of metric spaces appearing in explicit formulas forthe Gromov–Hausdorff distance from this spaces to so-called simplexes, i.e., the metric spaces,all whose non-zero distances are the same. For the calculation of those distances the geometryof partitions of these spaces is important. In the case of finite metric spaces that leads tosome analogues of the edges lengths of minimal spanning trees. Earlier, a similar theory waselaborated for compact metric spaces. These results are generalised to the case of an arbitrarybounded metric space, explicit formulas are obtained, and some proofs are simplified.

ReferencesHausdorff F. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit, 1914 [reprinted by Chelsea in 1949].Hausdorff, F. 1914, Grundzüge der Mengenlehre, Veit, Leipzig [reprinted by Chelsea in 1949].Tuzhilin A. A. Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? // ArXiv e-prints. 2017. arXiv:1612.00728.Tuzhilin, A. A. 2017, “Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance?”, ArXiv e-prints, arXiv:1612.00728.Edwards D. The Structure of Superspace. // В сборнике: Studies in Topology, ed. by Stavrakas N. M. and Allen K. R., New York London San Francisco: Academic Press, Inc., 1975.Edwards, D. 1975, “The Structure of Superspace”, In: Studies in Topology, ed. by Stavrakas, N. M. and Allen, K. R., Academic Press, Inc. New York, London, San Francisco.Gromov M. Groups of Polynomial growth and Expanding Maps. // В сборнике: Publications Mathematiques Paris: I.H.E.S., Vol. 53, 1981.Gromov, M. 1981, “Groups of Polynomial growth and Expanding Maps”, In: Publications Mathematiques, I.H.E.S., Paris, Vol. 53.Бураго Д. Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва – Ижевск: Изд-во Института компьютерных исследований, 2004. — 496 с.Burago, D.Yu., Burago, Yu. D. & Ivanov, S. V., 2001, A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society, Providence, RI.Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия расстояний Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа: случай компактов. М.: Изд-во Попечительского совета мех-мат ф-та МГУ, 2017. — 111 с.Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A., 2017, Geometry of Hausdorff and Gromov–Hausdorff distances, the case of compact spaces, Izd-vo Popech. Soveta Mech.-Mat. Facult. MGU, Moscow [in Russian].Иванов А. О., Николаева Н. К., Тужилин А. А. Метрика Громова–Хаусдорфа на пространстве метрических компактов — строго внутренняя // Матем. заметки. 2016. Т. 100, № 6. C. 947–950 (arXiv:1504.03830).Ivanov, A. O., Nikolaeva, N. K. & Tuzhilin, A. A. 2016, “The Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic”, Mathematical Notes, vol. 100, no. 6, pp. 171–173.Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Isometry group of Gromov–Hausdorff space // Matematicki Vesnik. 2019. Vol. 71, № 1–2. P. 123–154.Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A.A. 2019, “Isometry group of Gromov–Hausdorff space”, Matematicki Vesnik, vol. 71, no. 1–2, pp. 123–154.Memoli F. On the Use of Gromov–Hausdorff Distances for Shape Comparison // В сборнике: Proceedings of Point Based Graphics 2007, Ed. by Botsch M., Pajarola R., Chen B., and Zwicker M., The Eurographics Association, Prague, 2007, pp. 81–90.Memoli, F. 2007, “On the Use of Gromov–Hausdorff Distances for Shape Comparison”, In: Proceedings of Point Based Graphics 2007, Ed. by Botsch M., Pajarola R., Chen B., and Zwicker M., The Eurographics Association, Prague, 2007, pp. 81–90.Tuzhilin A. A. Calculation of Minimum Spanning Tree Edges Lengths using Gromov–Hausdorff Distance // ArXiv e-prints, 2016. arXiv:1605.01566.Tuzhilin, A. A. 2016, “Calculation of Minimum Spanning Tree Edges Lengths using Gromov–Hausdorff Distance”, ArXiv e-prints, arXiv:1605.01566.Iliadis S. D., Ivanov A. O., Tuzhilin A.A. Geometry of Compact Metric Space in Terms of Gromov-Hausdorff Distances to Regular Simplexes // ArXiv e-prints, 2016. arXiv:1607.06655.Iliadis, S. D., Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2016, “Geometry of Compact Metric Space in Terms of Gromov-Hausdorff Distances to Regular Simplexes”, ArXiv e-prints, arXiv:1607.06655.Iliadis S. D., Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Realizations of Gromov-Hausdorff Distance. // ArXiv e-prints, 2016. arXiv:1603.08850.Iliadis, S. D., Ivanov, A. O. & Tuzhilin A. A. 2016, “Realizations of Gromov-Hausdorff Distance”, ArXiv e-prints, arXiv:1603.08850.Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Gromov–Hausdorff Distance, Irreducible Correspondences, Steiner Problem, and Minimal Fillings. // ArXiv e-prints, 2016. arXiv:1604.06116.Ivanov, A. O., Tuzhilin, A. A. 2016, “Gromov–Hausdorff Distance, Irreducible Correspondences, Steiner Problem, and Minimal Fillings”, ArXiv e-prints, arXiv: 1604.06116.Ivanov A. O., Tuzhilin A. A., Hausdorff realization of linear geodesics of Gromov–Hausdorff space // ArXiv e-prints. 2019. arXiv: 1904.09281.Ivanov, A. O., Tuzhilin, A. A. 2019, “Hausdorff realization of linear geodesics of Gromov–Hausdorff space”, ArXiv e-prints, arXiv: 1904.09281.Ivanov A., Tuzhilin A. Geometry of Gromov–Hausdorff metric space // Bulletin de l’Academie Internationale CONCORDE. 2017. № 3. P. 47–57.Ivanov, A., Tuzhilin, A. 2017, “Geometry of Gromov–Hausdorff metric space”, Bulletin de l’Academie Internationale CONCORDE, no. 3, pp. 47–57.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.