chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-1-112-130cheb-590Research ArticleСтатьиArticlep-адические L-функции и p-адические кратные дзета значенияp-adic L-functions and p-adic multiple zeta valuesГлазуновНиколай МихайловичGlazunovNikolay Mihaylovich201917012020201112130Copyright © Глазунов Н.М., 20192019Глазунов Н.М.Glazunov N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/590

Статья посвящена памяти Георгия Вороного. Описываются новые избранные результаты о рядах Эйзенштейна, о (мотивных), (p-адических), (кратных) значениях (круговых) дзета и L-функций, и их приложения, полученные ниже перечисляемыми авторами, а также элементарное введение в эти результаты. Дан краткий обзор новых результатов о (мотивных), (p-адических), (кратных) значениях (круговых) дзета функциях, L-функциях и рядах Эйзенштейна. Статья ориентирована на избранные задачи и не является исчерпывающей. Начало статьи содержит краткое изложение результатов о числах Бернулли, связанных с исследованиями Георгия Вороного. Результаты о кратных значениях дзета функций были представлены Д. Загиром, П. Делинем и А. Гончаровым, А. Гончаровым, Ф. Брауном, К. Глэносом (Glanois) и другими. С. Унвер ("Unver) исследовал кратные p-адические дзета-значения глубины два. Таннакиева интерпретация кратных p-адических дзета-значений дана Х. Фурушо. Краткая история и связи между группами Галуа, фундаментальными группами, мотивами и арифметическими функциями представлены в докладе Ю. Ихара. Результаты о кратных дзета-значениях, группах Галуа и геометрии модулярных многообразий представлены Гончаровым. Интересная унипотентная мотивная фундаментальная группа определена и исследована Делинем и Гончаровым. В данной работе мы кратко упоминаем в рамках (p-адических) L-функций и (p-адических) (кратных) дзета-значений применения подходов Куботы-Леопольдта и Ивасавы, которые основанны на p-адических L-функциях Куботы-Леопольда, и арифметических p-адических L-функциях Ивасавы. Прореферирован ряд недавних работ (и соответствующих результатов): кратные дзета-значения в корнях из единицы, построение семейств мотивных итерированных интегралов с предписанными свойствами по Глэносу (Glanois); явные выражения для круговых p-адических кратных дзета-значений глубины два по Унверу (Unver); связи арифметических степеней циклов Кудлы-Рапопорта на интегральной модели многообразия Шимуры, соответствующей унитарной группе сигнатуры (1,1), с коэффициентами Фурье центральных производных рядов Эйзенштейна рода 2 по Санкарану (Sankaran). Более полно с содержанием статьи можно ознакомиться по приводимому ниже оглавлению: Введение. 1. Сравнения типа Вороного для чисел Бернулли. 2. Римановы дзета-значения. 3. О группах классов колец с теорией дивизоров. Мнимые квадратичные и круговые поля. 4. Ряды Эйзенштейна. 5. Группы классов, поля классов и дзета-функции. 6. Кратные дзета-значения. 7. Элементы неархимедовых локальных полей и неархимедова анализа. 8. Итерированные интегралы и (кратные) дзета-значения. 9. Формальные и p-делимые группы. 10. Мотивы и (p-адические) (кратные) дзета-значения. 11. О рядах Эйзенштейна, ассоциированных с многообразиями Шимуры. Разделы 1-9 и подраздел 11.1 (О некоторых многообразиях Шимуры и модулярных формах Зигеля) можно рассматривать как элементарное введение в результаты раздела 10 и подраздела 11.2 (О несобственном пересечении дивизоров Кудлы-Рапопорта и рядах Эйзенштейна).

Я глубоко признателен Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

The article is dedicated to the memory of George Voronoi. It  is concerned with (p-adic) L-functions (in partially  (p-adic) zeta functions)  and cyclotomic  (p-adic) (multiple) zeta values. The beginning of the article contains a short  summary of the results on the Bernoulli numbers associated with the studies of George Voronoi. Results on multiple zeta values have presented by D. Zagier, by P. Deligne and A.Goncharov, by A. Goncharov, by F. Brown, by C. Glanois and others. S. "Unver have investigated p-adic multiple zeta values in the depth two. Tannakian interpretation of p-adic multiple zeta values is given by H.  Furusho. Short history and connections among Galois groups, fundamental groups, motives and arithmetic functions are presented in the talk by Y. Ihara. Results  on multiple zeta values, Galois groups and geometry of modular varieties has presented by Goncharov.Interesting unipotent motivic fundamental group is defined and investigated by Deligne and Goncharov. The framework of (p-adic) L-functions and (p-adic) (multiple) zeta values is based on Kubota-Leopoldt p-adic L-functions and arithmetic p-adic L-functions by Iwasawa. Motives and  (p-adic) (multiple) zeta values by Glanois and by "Unver, improper intersections of Kudla-Rapoport divisors and Eisenstein series by Sankaran are reviewed. More fully the content of the article can be found at the following table of contents: Introduction. 1. Voronoi-type congruences for  Bernoulli numbers. 2. Riemann zeta values. 3. On class groups of rings with divisor theory.  Imaginary quadratic and cyclotomic fields. 4. Eisenstein Series. 5. Class group, class fields and zeta functions. 6. Multiple zeta values. 7. Elements of non-Archimedean local fields and $ p-$adic analysis. 8. Iterated integrals and (multiple) zeta values. 9. Formal groups and p-divisible groups. 10. Motives and (p-adic) (multiple) zeta values. 11. On the Eisenstein series associated with Shimura varieties. Sections 1-9 and subsection 11.1 (On some Shimura varieties and Siegel modular forms) can be considered as an elementary introduction to the results of section 10 and subsection 11.2 (On improper intersections of Kudla-Rapoport divisors and Eisenstein series). Numerical examples are included.

p-адическая интерполяция(p-адическая) L-функцияряд Эйзенштейнаизоморфизм сравнениякристаллический морфизм Фробениусафундаментальная группа де Рама(p-адическое) кратное дзета-значениетеория Ивасавымногообразие Шимурыарифметические циклы.ReferencesZagier D. Periods of modular forms, traces of Hecke operators, and multiple $zeta-$values // Research into Automorphic Forms and $L-$functions. Kyoto: Surikaisekikenkyusho Kokyuroku, 843. 1993. P. 162-170.Zagier, D. 1993, ``Periods of modular forms, traces of Hecke operators, and multiple $\zeta-$values'', \emph{Research into Automorphic Forms and $L-$functions}, Kyoto, Surikaisekikenkyusho Kokyuroku, 843, pp. 162-170.Манин Ю.И. Круговые поля и модулярные кривые // УМН. 1971. Т. 26, вып. 6 (162). C. 7-78.Manin, Yu. I. 1971, ``Cyclotomic fields and modular curves'', UMN, 26:6, pp. 7-78.Манин Ю.И. Параболические точки и дзета-функции модулярных кривых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, вып. 1. С. 19-64.Manin, Yu. I. 1972, ``Parabolic points and zeta-functions of modular curves'', Math. USSR-Izv., 6:1 , pp. 19-64.Deligne P. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points // Galois Groups over Q (Eds. Ihara et al.). New York: Springer Verlag. 1989. P. 79-297.Deligne, P. 1989, ``Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points'', in: Ihara et al., (Eds.), Galois Groups over $\mathbb Q$, Springer Verlag, New York, pp. 79-297.Deligne P., Goncharov A. Groupes fondamentaux motiviques de Tate mixte // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4). 2005. Vol. 38, no. 1. P. 1-56.Deligne, P., Goncharov, A. 2005. ``Groupes fondamentaux motiviques de Tate mixte'', Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., (4), vol. 38, no. 1, pp. 1-56.Goncharov A. Multiple zeta-values, Galois groups, and geometry of modular varieties // European Congr. of Mathematics. Progr. Math. Vol. I. Barcelona: Birkhauser 2000. P. 361-392.Goncharov, A. 2000, ``Multiple $\zeta$-values, Galois groups, and geometry of modular varieties'', European Congr. of Mathematics, I, Barcelona, Progr. Math., 201, Birkhauser, pp. 361-392.Brown F. Mixed Tate motives over Z // Ann. of Math. 2012. Vol. 175, no. 1. P. 949-976.Brown, F. 2012, Mixed Tate motives over Z'', Ann. of Math., vol. 175, no. 1, pp. 949-976.Glanois C. Motivic unipotent fundamental groupoid of $mathbb{G}_m backslash mu_N$ for $N = 2, 3, 4, 6, 8$ and Galois descents // Journal of Number Theory. 2016. 160. P. 334-384.Glanois, C. 2016, ``Motivic unipotent fundamental groupoid of $\mathbb{G}_m \backslash \mu_N$ for $N = 2, 3, 4, 6, 8$ and Galois descents'', Journal of Number Theory, 160, pp. 334-384."Unver S. p-adic multiple zeta values // Journal of Number Theory. 2004. 108. P. 111-156.Unver, S. 2004,``$p$-adic multiple zeta values'', Journal of Number Theory, 108, pp. 111-156.Furusho H. p-adic multiple zeta values II. Tannakian interpretations // Am. J. Math. 2007. Vol. 129, no. 4. P.1105-1144.Furusho, H. 2007, ``$p$-adic multiple zeta values II. Tannakian interpretations'', Am. J. Math., 129 (4), pp.1105-1144."Unver S. ``Cyclotomic $p$-adic multi-zeta values in depth two // Manuscr. Math. 2016. Vol. 149, no. 3-4. P.405-441.Unver, S. 2016, ``Cyclotomic $p$-adic multi-zeta values in depth two'', Manuscr. Math., 149, no. 3-4, pp.405-441.Ihara Y. Braids, Galois Groups, and Some Arithmetic Functions // Proc. of the ICM 90 (I). Tokyo Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag.1991. P. 99-120.Ihara, Y. 1991, ``Braids, Galois Groups, and Some Arithmetic Functions'', Proc. of the ICM 90 (I), Springer-Verlag, Tokyo Berlin Heidelberg New York,1991, pp. 99-120.Kubota K. Leopoldt H.-W. Einep-adische Theorieder Zetawerte. I // J. Reine Angew. Math. 1964. 214/215. P. 328-339.Kubota, K. Leopoldt, H.-W. 1964, ``Einep-adische Theorieder Zetawerte''. I, J. Reine Angew. Math., 214/215, pp. 328-339.Iwasawa K. Analogies between number fields and function fields // Collected Papers. Vol. II. Tokyo: Springer-Verlag, 2001. P. 606-611.Iwasawa, K. 2001. ``Analogies between number fields and function fields''. In \emph{Collected Papers}, \textbf{ II}, Springer-Verlag, Tokyo, pp. 606-611.Weber H. Lehrbuch der Algebra. vol. III. Braunschweig: F. Vieweg und Sohn, 1908.Weber, H. 1908, Lehrbuch der Algebra, vol. III, F. Vieweg und Sohn, Braunschweig.Hasse H. Zum Hauptidealsatz der komplexen Multiplikation // Monatshefte fur Math. 1931. 38. P.315-322, 323-330, 331-344.Hasse, H. 1931, ``Zum Hauptidealsatz der komplexen Multiplikation'', Monatshefte fur Math., 38, 315-322, 323-330, 331-344.Deuring M. Klassenkorper der komplexen Multiplikation // Enzyklopadie der Math. Wiss. 1961. Bd. 12. Heft 10. Teil II, 23.Deuring, M. 1961, ``Klassenkorper der komplexen Multiplikation'', Enzyklopadie der Math. Wiss., Bd. 12, Heft 10, Teil II, 23.Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. 510 с.Borevich, Z., Shafarevich, I. 1986, Number Theory, Pure and Applied mathematics, Academic Press, New York.Вороной Г.Ф. Собрание сочинений. Т. I. Киев: Издательство Акад. наук Укр. ССР, 1952. 403 с..Voronoi, G.F. 1952, Collected Works, vol. I, AN UkrSSR, Kiev.Hashimoto M. Equivariant class group. II: Enriched descent theorem // Commun. Algebra. 2017. Vol. 45, no.4. P. 1509-1532.Hashimoto, M. 2017, Equivariant class group. II: Enriched descent theorem. Commun. Algebra, 45(4), pp. 1509-1532,Коблиц Н. $p$-адические числа, $p$-адический анализ и дзета-функции. Ижевск: Бибфизмат, 1997. 192 с.Koblitz, N. 1997, $p$-adic numbers, $p$-adic analysis and zeta-functions, Bibphysmat, Igevsk.Паршин А.Н. Об одном обобщении якобиева многообразия // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. Т. 30, вып. 1. С. 175-182.Parshin, A. 1966, ``A generalization of Jacobian variety '', Izv. Akad. Nauk SSSR Ser Mat., 30, pp. 175-182.Chen, K. Iterated path integrals // Bull. Amer. Math. Soc. 1977. 83. P. 831-879.Chen, K. 1977, ``Iterated path integrals'', Bull. Amer. Math. Soc. 83, pp. 831-879.Algebraic Number Theory. Edited by J. Cassels and A. Fr{" o}hlich. London: Academic Press. 2003. 366 p.Edited by J. Cassels and A. Frohlich, 2003, Algebraic Number Theory, Academic Press, London.Hazewinkel M. Formal Groups. NY: Academic Press. 1977. 573 p.Hazewinkel M. 1977, Formal Groups, Academic Press, NY.Введенский О.Н. О локальных “полях классов” эллиптических кривых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37, вып. 1. С. 20-88.Vvedenskii O.N. 1973, `` On local "class fields" of elliptic curves'', Izv. Akad. Nauk SSSR Math., USSR Izvestija Ser. Mat., vol. 37, no. 1, pp. 20-88.Введенский О.Н. О “универсальных нормах” формальных групп, определенных над кольцом локального поля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37, вып. 4. С. 737-751.Vvedenskii O.N. On "universal norms" of formal groups over integer ring of local fields (In Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Math., USSR Izvestija Ser Mat.}, vol. 37, 1973, 737-751.Дринфельд В. Г. О квазитреугольных квазихопфовых алгебрах и одной группе, тесно связанной с $Gal(overline{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$ // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, вып. 4. С. 149–181Drinfeld, V. 1991, ``On quasi-triangular quasi-Hopf algebras and one group that is closely related to $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$'', Leningrad Math. J., 2:4 , pp. 829-860.Goncharov A. Galois symmetries of fundamental groupoids and noncommutative geometry // Duke Math. J. 2005. Vol. 128, no. 2. P. 209-284.Goncharov, A. 2005, ``Galois symmetries of fundamental groupoids and noncommutative geometry'', Duke Math. J., 128, no. 2 , pp. 209 - 284.Deligne P. 2010, ``Le groupe fondamental unipotent motivique de $G_msetminus mu_N$ pour N = 2,3,4,6 or 8 // Publ. Math. IHES, vol. 112, no. 1, pp. 101 - 141.Deligne, P. 2010, ``Le groupe fondamental unipotent motivique de $G_m\setminus \mu_N$ pour $N = 2,3,4,6$ or $8$'', Publ. Math. IHES, vol. 112, no. 1, pp. 101 - 141.Kudla K. Special cycles and derivatives of Eisenstein series // Math. Sci. Research Institute Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 2004. Vol. 49. P. 243-270.Kudla, K. 2004, ``Special cycles and derivatives of Eisenstein series'', Math. Sci. Research Institute Publ., Cambridge Univ. Press, vol. 49. pp. 243-270.Kudla K., Rapoport M. Special cycles on unitary Shimura varieties II: global theory // J. Reine Angew. Math. 2014. Vol. 697. P. 91-157.Kudla, K., Rapoport, M. 2014, ``Special cycles on unitary Shimura varieties II: global theory'', J. Reine Angew. Math., 697, pp. 91-157.Kudla K. Derivatives of Eisenstein Series and Arithmetic Geometry // Proc. of ICM 2002. Vol. II. Beijing: Higher Education Press. 2004. P. 173-183.Kudla, K. ``Derivatives of Eisenstein Series and Arithmetic Geometry'', Proc. of ICM 2002, vol. II, Higher Education Press, Beijing, 2004, pp. 173-183.Kudla K., Rapoport M. Special cycles on unitary Shimura varieties I. Unramified local theory // Invent. math. 2011. Vol. 184. P. 629-682.Kudla, K., Rapoport, M. 2011 ``Special cycles on unitary Shimura varieties I. Unramified local theory'', Invent. math., 184, pp. 629-682.Harashita, S. Geometry and analysis of automorphic forms of several variables // Proc. Int. Symp. in honor of Takayuki Oda on the occasion of his 60th birthday, Univ. of Tokyo, Tokyo, Japan, September 14-17, 2009. Series on Number Theory and its Applications 7. Hackensack, NJ: World Scientific. 2012. P. 41-55.Harashita, S. ``Geometry and analysis of automorphic forms of several variables'', Proc. Int. Symp. in honor of Takayuki Oda on the occasion of his 60th birthday, Univ. of Tokyo, Tokyo, Japan, September 14-17, 2009. Hackensack, NJ: World Scientific. Series on Number Theory and its Applications 7, pp. 41-55.Hironaka Y. Local Zeta functions on Hermitian forms and its application to local densities // Number Theory. 1998. Vol. 71. P. 40-64.Hironaka, Y. 1998, ``Local Zeta functions on Hermitian forms and its application to local densities'', Number Theory, 71, pp. 40-64.Sankaran S. Improper intersections of Kudla-Rapoport divisors and Eisenstein serie // J. Inst. Math. Jussieu. 2017. Vol. 16, no. 5. P. 899-945.Sankaran, S. 2017, ``Improper intersections of Kudla-Rapoport divisors and Eisenstein serie'', J. Inst. Math. Jussieu, 16, no. 5. pp. 899 - 945.Sankaran S. Unitary cycles on Shimura curves and the Shimura lift I // Documenta Math. 2013. Vol. 18. P. 1403-1464.Sankaran, S. 2013, ``Unitary cycles on Shimura curves and the Shimura lift I'', Documenta Math., 18, pp. 1403-1464.Глазунов Н.М. Алгорифмы и программы для исследований в диофантовой геометрии // Препринт 73-16. Киев: Инситут кибернетики АН УССР, 1973. 26 с.Glazunov, N.M. 1973, ``Algorithms and programs for research in Diophantine geometry'', Preprint 73-16, Institute of Cybernetics of the Ukrainian Academy of Sciences, Kiev, 26 p.Glazunov N. Class groups of rings with divisor theory, L-functions and moduli spaces // Int. Conf. Algebraic and geometric methods of analysis. Book of abstracts. Odessa-Kiev: Institute of Math. 2018. С.19-20. Available at: https://www.imath.kiev.ua/~topology/conf/agma2018Glazunov, N. ``Class groups of rings with divisor theory, $ L $-functions and moduli spaces'', Int. conf. `Algebraic and geometric methods of analysis. Book of abstracts. Institute of Mathematics, Odessa-Kiev, 2018, pp.19-20. Available at: https://www.imath.kiev.ua/~topology/conf/agma2018Glazunov N.M. Class Fields, Riemann Surfaces and (Multiple) Zeta Values // Proc. 3-d Int. Conf. Computer Algebra & Information Technologies. Odessa: I.I. Mechnikov National University, 2018. С.152-154.Glazunov, N. ``Class Fields, Riemann Surfaces and (Multiple) Zeta Values'', Proc. 3-d Int.l Conf. Computer Algebra & Information Technologies, Mechnikov National University, Odessa, 2018, pp.152-154.Glazunov, N. Quadratic forms, algebraic groups and number theory // Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 4. С. 77-89.Glazunov, N. 2015, ``Quadratic forms, algebraic groups and number theory'', Chebyshevskii Sbornik, vol.16, no. 4, pp.77-89.Glazunov, N. Extremal forms and rigidity in arithmetic geometry and in dynamics // Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 3. С. 124-146.Glazunov, N. 2015, `` Extremal forms and rigidity in arithmetic geometry and in dynamics'', Chebyshevskii Sbornik, vol.16, no. 3, pp.124-146.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.