chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2014-15-4-5-31cheb-58Research ArticleСтатьиArticleНЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В ЯРОСЛАВСКОМ ОТДЕЛЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ М. Д. ГРИНДЛИНГЕРАSOME OF THE RESULTS OBTAINED IN THE YAROSLAVL BRANCH ALGEBRAIC SCHOOL OF M. D. GRINDLINGERДурневВ. Г.DurnevV. G.ЗеткинаО. В.ZetkinaO. V.Ярославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваRussian Federation201415062016154531Copyright © Дурнев В.Г., Зеткина О.В., 20162016Дурнев В.Г., Зеткина О.В.Durnev V.G., Zetkina O.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/58

Дается обзор основных результатов, полученных в Ярославском отделении алгебраической школы Мартина Давидовича Гриндлингера за период с середины 70-х годов прошлого века по настоящее время.

 

We review the main results obtained in the Yaroslavl branch of Martin Greendlinger’s algebraic school from the middle 1970s up to the present.

 

ограниченные позитивные теорииуравнения в свободных группах и полугруппахвербальные подгруппыалгебраически замкнутые группыbound positive theoriesequations in free groups and semigroupsverbal subgroupsalgebraically closed groupsReferencesQuine W. Concatenation as a basis for arithmetic // J. Symbolic Logic. 1946. Vol. 11. P. 105 – 114.Quine, W. 1946, "Concatenation as a basis for arithmetic" , J. Symbolic Logic, vol. 11. pp. 105 – 114.Дурнев В. Г. О позитивных формулах на группах // Ученые записки матем. кафедр Тульского гос. пед. ин-та. Геометрия и алгебра. 1970. № 2. С. 215 – 241.Durnev, V. G. 1970, "On positive formulas on groups" , Proc. of Math. Dept. of Tula State Pedagogical Inst., Ser. Geometry and Algebra. [Uchtnye Zapiski Matematicheskoy Kafedry Tul’skogo Pedogogicheskogo Instituta], no. 2. pp. 215 – 241. (Russian)Дурнев В. Г. О позитивной теории свободной полугруппы // Вопросы тео- рии групп и полугрупп. Тула. 1972. С. 122 – 172.Durnev, V. G. 1972, "On positive theory of free semigroup" , Groups and semigropus, Tula, pp. 122 – 172 (Russian). 4. Durnev, V. G. 1973, "Positive theory of free semigroup" , Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 211, no. 4. pp. 772 – 774. (Russian)Дурнев В. Г. Позитивная теория свободной полугруппы // ДАН СССР. 1973. Т. 211, № 4. С. 772 – 774.Durnev, V. G. 1974, "Positive formulas in free semigroups" , Siberian Mathematical Journal, vol. 15, issue 5, pp. 796–800 (Translated from Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, vol. 15, no. 5, pp. 1131–1137) [doi: 10.1007/BF00966439]Дурнев В. Г. О позитивных формулах на свободных полугруппах // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 25, № 5. С. 1131 – 1137.Durnev, V. G. 1973, "Positive theories of free semigroups" , Ph D. Thesis, Moscow State Pedagogical Institution. (Russian)Дурнев В. Г. Позитивные теории свободных полугрупп: дис. ... канд. физ.- мат. наук. М.: МГПИ. 1973.Marchenkov, S. S. 1982, "Undecidability of the positive ∀∃-theory of a free semigroup" , Siberian Mathematical Journal, vol. 23, no. 1. pp. 196 – 198. (Russian)Марченков С. С. Неразрешимость позитивной ∀∃-теории свободной полу- группы // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 1. С. 196 – 198.Durnev, V. G. 1995, "Undecidability of the positive ∀∃3 -theory of a free semigroup" , Siberian Mathematical Journal, vol. 36, no. 5. pp. 917–929 (Translated from: Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, vol. 36, no. 5, pp. 1067 – 1080) [doi: 10.1007/BF02112533].Дурнев В. Г. Неразрешимость позитивной ∀∃3 -теории свободной полугруппы // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. № 5. С. 1067 – 1080.Durnev, V. G. 2000, "Undecidability of a simple fragment of a positive theory with a single constant for a free semigroup of rank two" , Mathematical Notes, vol. 67, no. 2, pp. 191–200. (Russian)Дурнев В. Г. Неразрешимость простого фрагмента позитивной теории с одной константой свободной полугруппы ранга 2 // Мат. заметки. 2000. Том 67, № 2.Hmelevski˘i, Ju. I. 1971, "Equations in a free semigroup" , Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 107, pp. 1–270. (Russian)Хмелевский Ю. И. Уравнения в свободной полугруппе // Труды Мат. ин-та. АН СССР. 1971. Т. 107. 286 С.Matiyasevich, Yu. V. 1968, "The connection between systems of equations in words and lengths with Hilbert’s 10th problem" , Zap. Nauchn. Sem. Leningrad Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), vol. 8. pp. 132 – 143. (Russian)Матиясевич Ю. В. Связь систем уравнений в словах и длинах с 10-ой проблемой Гильберта // Исследования по конструктивной математике и ма- тематической логике. Записки научн. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та. АН СССР. Л., 1968. Т. 8. С. 132 – 143.Kosovski˘i, N. K. 1972, "Certain properties of the solutions of equations in a free semigroup. Investigations in constructive mathematics and mathematical logic" , Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), vol. 32, pp. 21–28, 154. (Russian)Косовский Н. К. Некоторые свойства решений уравнений в свободной полу- группе // Записки научн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та. АН СССР. Л., 1972. Т. 32. С. 21 – 28.Kosovski˘i, N. K. 1972, "On sets represented as solutions of equations in words and lengths" , 2nd USSR Conference on mathematical logics. Moscow. Book of abstracts, pp. 23. (Russian)Косовский Н. К. О множествах, представимых в виде решений уравнений в словах и длинах // Вторая всесоюзная конфер. по матем. логике: тезисы кратких сообщений. М., 1972. С. 23.Kosovski˘i, N. K. 1974, "The solution of systems that consist simultaneously of word equations and word length inequalities" , Investigations in constructive mathematics and mathematical logic, VI (dedicated to A. A. Markov on the occasion of his 70th birthday), Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), vol. 40, pp. 24–29, 156. (Russian)Косовский Н. К. О решении систем, состоящих одновременно из уравнений в словах и неравенств в длинах слов // Записки научн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та. АН СССР. Л.,1973. Т.33. С. 24 – 29.Durnev, V. G. 1974, "On equations in free semigroups and groups" , Mathematical Notes, vol. 16, no. 5. pp. 717 – 724. (Russian)Дурнев В. Г. Об уравнениях на свободных полугруппах и группах // Мат. заметки. 1974. Т.16, № 5. С. 717 – 724.B¨uchi, J. R. & Senger, S. 1988, "Definability in the existential theory of concatenation and undecidable extensions of this theory" , Z. Mat. Log. und Grundl. Math., vol. 34, no. 4. pp. 337 – 342.B¨uchi J. R. and Senger S. Definability in the existential theory of concatenation and undecidable extensions of this theory // Z. Mat. Log. und Grundl. Math. 1988. Vol. 34, № 4. P. 337 – 342.B¨uchi, J. R. & Senger, S. 1986/87, "Coding in the existential theory of concatenation" , Arch. Math. Logik Grundlag., vol. 26, pp. 101 – 106.B¨uchi J. R. and Senger S. Coding in the existential theory of concatenation // Arch. Math. Logik Grundlag. 26 ( 1986 / 87 ). P. 101 – 106.Senger, S. 1982, "The Existential Theory of concatenation" , Ph. D. Dissertation, Purdue University.Senger S. The Existential Theory of concatenation // Ph. D. Dissertation, Purdue University. 1982.Durnev, V. G. 1977, "On some equations on free semigropus" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’. pp. 57 – 59. (Russian)Дурнев В. Г. К вопросу об уравнениях на свободных полугруппах // Во- просы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб. ЯрГУ. Ярославль. 1977. С. 57 – 59.Makanin, G. S. 1977, "The problem of the solvability of equations in a free semigroup" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 233, no. 2, pp. 287 – 290. (Russian)Маканин Г. С. Проблема разрешимости уравнений в свободной полугруппе // ДАН СССР. 1977. Т. 233, № 2. С. 287 – 290.Makanin, G. S. 1977, "The problem of solvability of equations in a free semigroup" , Math. USSR Sb., vol. 32. no. 2, pp. 129–198. (Translated from: Math. Sbornik. 1977. Vol. 103(145), no. 2(6). P. 147–236.) [doi:10.1070/SM1977 v032n02ABEH002376]Маканин Г. С. Проблема разрешимости уравнений в свободной полугруппе // Мат. сб. 1977. Т. 103(145), № 2(6). С. 147–236.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 2003, "On equations in free semigroups with certain constraints on their solutions" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. Об уравнениях в свободных полугруппах с ограничениями на решения // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 2003.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 2008, "Equations with language constraints to their solutions in free monoids" , Mathematics, cybernetics, informatics — Prof. A. Yu. Levin Memorial Conference. Yaroslavl’ State University., pp. 93 – 99. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. Об уравнениях с языковыми ограничениями на решения в свободных моноидах // Математика, кибернетика, информатика: труды международной научной конференции, посвященной памяти профессора А. Ю. Левина. ЯрГУ. Ярославль. 2008. С. 93 – 99.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 2008, "On equations in free semigroups with certain constraints on their solutions" , Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI (Proc. of St.-Petersburg branch of V. A. Steklov Math. Inst.), St.-Petersburg., vol. 358, pp. 120 – 129. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. Об уравнениях с ограничениями на решения в свободных полугруппах // Записки научных семинаров ПОМИ. 2008. Т. 358. С. 120 – 129.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 2008, "On equations in free semigroups with certain constraints to their solutions" , Journal of Mathematical Sciences., vol. 158, no. 5, pp. 671 – 676. (Translated from Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI, Vol. 358, 2008, pp. 120-–129) [doi:10.1007/s10958-009-9409-z]Durnev V. G., Zetkina O. V. On equations in free semigroups with certain constraints tj their solutions // Journal of Mathematical Sciences. V. 158, № 5. Pp. 671 – 676.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 2010, "Equations with subsemigroup constraints to their solutions in free semigroups " , Chebyshevskii Sb., vol. XI, issue 3(35), pp. 78 – 87. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. Об уравнениях с подполугрупповыми ограничениями на решения в свободных полугруппах // Чебышевский сборник. 2010. Т. XI, вып. 3(35). С. 78 – 87.Durnev, V. G. 1991, "On equations with endomorphisms in free semigroups and groups" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’., pp. 30 – 35. (Russian)Дурнев В. Г. Об уравнениях с эндоморфизмами в свободных полугруппах и группах // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1991. С. 30 – 35.Durnev, V. G. 1992, "Equations with endomorphisms in free semigroups" , Diskret. Mat.. vol. 4, no. 2, pp. 136 – 141. (Russian)Дурнев В. Г. Об уравнениях с эндоморфизмами в свободных полугруппах // Дискретная математика. 1992. Т. 4, № 2. С. 136 – 141.Durnev, V. G. 1992, "On equations in words and lengths with endomorphisms" , Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). vol. 36, no. 8, pp. 26 – 30. (Russian)Дурнев В. Г. Об уравнениях в словах и длинах с эндоморфизмами // Изв. ВУЗ’ов. Математика. 1992. № 8. С. 30 – 34.Whitehead, J. H. C. 1936, "On equivalent sets of elements in a free group" Proc. London Math. Soc., vol. 37, pp. 782 – 800.Whitehead J. H. C. On equivalent sets of elements in a free group // Proc. London Math. Soc. 1936. Vol. 37. P. 782 – 800.Durnev, V. G. 2003, "NP-completeness of the problem of endomorphic reducibility for elements of a free semigroup of an countable rank" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’. (Russian)Дурнев В. Г. NP-полнота проблемы эндоморфной сводимости для элементов свободной полугруппы счетного ранга // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 2003.Schupp, P. E. 1969, "On the substitution problem for free groups" , Proc. Amer. Math. Soc., vol. 23, no. 2, pp. 421 – 423.Schupp P. E. On the substitution problem for free groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 23, № 2. P. 421 – 423.Edmunds, C. C. 1975, "On the endomorphisms problem for free group" , Com. Algebra., no. 3, pp. 7 – 20.Edmunds C. C. On the endomorphisms problem for free group // Com. Algebra. 1975, № 3. P. 7 – 20.Lyndon, R. C. 1960, "Equations in free groups" , Trans. Amer. Math. Soc., vol. 96, pp. 445 – 457.Lyndon R. C. Equations in free groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. Vol. 96. P. 445 – 457.Lyndon, R. C. 1966, "Dependence in groups" , Colloq. Math., no. 4, pp. 275 – 283.Lyndon R. C. Dependence in groups // Colloq. Math. 1966. № 4. P. 275 – 283.Hmelevski˘i, Ju. I. 1971, "Systems of equations in a free group I" , Math. USSRIzv., vol. 5, no. 6, pp. 1245 –1276. (Translated from Izv. AN USSR. Ser. Mathem. 1971. Vol. 35, no. 6. P. 1237–1268.) [doi:10.1070/IM1971v005n06ABEH001234]Хмелевский Ю. И. Системы уравнений в свободной группе. I // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1971. Т. 35, № 6. С. 1237 – 1268.Makanin, G. S. 1983, "Equations in a free group" , Math. USSR-Izv., vol. 21, no. 3, pp. 483–546. (Translated from Izv. AN USSR. Ser. Mathem. 1982. Vol. 46, no. 6. P. 1199 – 1274.) [doi:10.1070/IM1983v021n03ABEH001803]Маканин Г. С. Уравнения в свободных группах // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1982. Т. 46, № 6. С. 1199 – 1274.Makanin, G. S. 1985, "Decidability of the universal and positive theories of a free group" , Math. USSR-Izv., vol. 25, no. 1, pp. 75–88. (Translated from Izv. AN USSR. Ser. Mathem. 1984. Vol. 48, no. 4. P. 735 – 749.) [doi:10.1070/ IM1985v025n01ABEH001269]Маканин Г. С. Разрешимость универсальной и позитивной теорий свободной группы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984, № 4. С. 735 – 749.Razborov, A. A. 1984, "Systems of equations in a free group" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 48, no. 4, pp. 779 – 832. (Russian) [URL:http: //www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=755958]Разборов А. А. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 48, № 4. С. 779 – 832.Malkhasyan, A. Sh. 1986, "On solvability in subgroups of equations in a free group" , Applied mathematics. Issue 2, pp. 42 – 47. (Russian)Малхасян А. Ш. О разрешимости в подгруппах уравнений в свободной группе // Прикладная математика: межвуз. темат. сб.. 1986. Вып. 2. С. 42 – 47.Durnev, V. G. 1990, "On one generalization of the Problem 9.25 from the “Kourovka notebook”" , Mathematical Notes., vol. 47, no. 2, pp. 117–121. (Translated from Matematicheskie Zametki. 1990. Vol. 47, no. 2. P. 15 – 19.) [doi:10.1007/BF01156819]Дурнев В. Г. Об одном обобщении задачи 9.25 из “Коуровской тетради” // Мат. заметки. 1990. Т. 47, № 2. С. 15 – 19.Durnev, V. G. 1993, "Equations with constraints on the solution in free groups" , Mathematical Notes., vol. 53, no. 1, pp. 26—29. (Translated from Matematicheskie Zametki. Vol. 53, no. 1. P. 36 – 40.) [doi:10.1007/BF01208519]Дурнев В. Г. Об уравнениях с ограничениями на решения в свободных груп- пах // Мат. заметки. 1993. Т. 53, № 1. С. 36 – 40.Durnev, V. G. 1995, "On equations with subgroup constraints on solutions in free groups " , Discrete Math. Appl., vol. 5, no. 6, pp. 567—575. (Translated from: Diskret. Mat. 1995. Vol. 7. no. 4, 60–67.) [doi:10.1515/dma.1995.5.6.567]Дурнев В. Г. Об уравнениях с подгрупповыми ограничениями на решения в свободных группах // Дискретная математика 1995. Т. 7, № 4. С. 60 – 67.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 2006, "On equations with subgroup constraints on solutions in free groups" , Mathematics in Yaroslavl’ University (30th aniversary of Math. Faculty). Yaroslavl’, pp. 181 – 200. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. Об уравнениях с подгрупповыми ограничениями на решения в свободных группах // Математика в Ярославском уни- верситете: сб. обзорных статей. К 30-летию математического факультета. ЯрГУ. Ярославль. 2006. С. 181 – 200.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 2010, "On some equations with with constraints to their solutions" , Chebyshevskii Sb., vol. XI, issue 3(35), pp. 88 – 97. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. Об уравнениях в свободной группе с ограничениями на решения // Чебышевский сборник. 2010. Т. XI, вып. 3(35). С. 88 – 97.Durnev, V. G. 1996, "On the solvability problem for equations with a single coefficient" , Mathematical Notes., vol. 59, no. 6, pp. 601–610. (Translated from Matematicheskie Zametki, 1996. Vol. 59. no. 6. P. 832 – 845). [doi:10.1007/ BF02307209]Дурнев В. Г. К проблеме разрешимости для уравнений с одним коэффициентом. // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № 6. С. 832 – 845.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 2012, "On the equations resolved with respect to variables in free groups with constraints to the solutions" , Chebyshevskii Sb., vol. XIII, issue 1(41), pp. 63 – 80. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. Об уравнениях в свободных группх, разрешенных относительно неизвестных, с ограничениями на решения // Чебышев- ский сборник. 2012. Т. XIII, вып. 1(41). С. 63 – 80.Durnev V. G. & Zetkina, O. V. 2012, "NP-complexity of the decidability problem for the equations with right-hand-side in a free group" , Chebyshevskii Sb., vol. XIII, issue 1(41), pp. 46 – 53. (Russian) 49. Coulbois, T. & Khelif, A. 1999, "Equations in free groups are not finitely approximable" , Proceedihgs of the American mathematical society., vol. 127, no. 4, pp. 2435 – 2436.Дурнев В. Г., Зеткина О. В. NP-трудность проблемы разрешимости для уравнений с простой правой частью в свободной группе // Чебышевский сборник. 2012. Т. XIII, вып. 1(41). С. 46 – 53.Durnev, V. G. 2012, "On equations in free groups" , Chebyshevskii Sb., vol. XIII, issue 1(41), pp. 59 – 62. (Russian)Coulbois T., Khelif A. Equations in free groups are not finitely approximable // Proceedihgs of the American mathematical society. 1999. Vol. 127, № 4. P. 2435 – 2436.Durnev, V. G. 2012, "On one A. I. Mal’cev’s question from the “Kourovka notebook”" , Chebyshevskii Sb., vol. XIII, issue 1(41), pp. 54 – 58. (Russian)Дурнев В. Г. Об уравнениях в свободных группах // Чебышевский сборник. 2012. Т. XIII, вып. 1(41). С. 59 – 62.Mazurov, V. D. & Khukhro, E. I. (Eds) 2014, "Kourovka notebook (non-solved problems of the group theory). Ed.18th" , Novosibirsk. (Russian)Дурнев В. Г. Об одном вопросе А. И. Мальцева из “Коуровской тетради” // Чебышевский сборник. 2012. Т. XIII, вып. 1(41). С. 54 – 58.Durnev, V. G. 1981, "On systems of equations on free nilpotent groups" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’, pp. 66 – 69. (Russian)Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. 12-е изд., перераб. и доп. Новосибирск. 1992.Mal’cev, A. I. 1960, "Some correspondences between rings and groups", Math. Sbornik (N.S.), vol. 50(92), no. 2, pp. 257 – 266. (Russian) [URL:http:// mi.mathnet.ru/msb4792]Дурнев В. Г. О системах уравнений на свободных нильпотентных группах // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1981. С. 66 – 69.Roman’kov, V. A. 1977, "Unsolvability of the endomorphic reducibility problem in free nilpotent groups and in free rings" Algebra and Logic., vol. 16, no. 4, pp. 310 – 320. (Translated from Algebra i Logika. 1977. Vol. 16, no. 4. P. 457 – 471). [doi:10.1007/BF01669283]Мальцев А. И. Об одном соответствии между кольцами и группами // Мат. сб. 1960. Т. 50, № 2. С. 257 – 266.Roman’kov, V. A. 1979, "Universal theory of nilpotent groups" , Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR., vol. 25, no. 4, pp. 253 – 258. (Translated from Matematicheskie Zametki. 1979. Vol. 25, no. 4. P. 487 – 496). [doi:10.1007/BF01688474]Романьков В.А. О неразрешимости проблемы эндоморфной сводимости в свободных нильпотентных группах и в свободных кольцах // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, № 4. С. 457 – 471.Repin, N. N. 1988, "Some simply defined groups without a decidability-testing algorithm" , Cybernetics, Calculation Complexity and Applied Mathematical Logics. Moscow., pp. 167 – 174. (Russian)Романьков В. А. Об универсальной теории нильпотентных групп // Мат. заметки. 1979. Т. 25, № 4. С. 487 – 496.Spielrein, V. E. 1990, "On equations in the groups of F/γn(R) type" Algorithmic problems of groups and semigroups. Tula., pp. 164 – 183. (Russian)Репин Н. Н. Некоторые просто заданные группы, для которых невозможен алгоритм, распознающий разрешимость уравнений // Вопросы кибернетики. Сложность вычислений и прикладная математическая логика. М., 1988. С. 167 – 174.Durnev, V. G. 1988, "Undecidability of endomorphic reducibility problem for sets of elements of a free nilpotent group" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’., pp. 56 – 63. (Russian)Шпильрайн В. Э. Об уравнениях в группах вида F/γn(R) // Алгоритмические проблемы групп и полугрупп. Тула: Тул. гос. пед. ин-т. 1990. С. 164 – 183.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 2003, "On fragments of elementary theories of free nilpotent groups" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’. (Russian)Дурнев В. Г. Неразрешимость проблемы эндоморфной сводимости для на- боров элементов свободной нильпотентной группы // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1988. С. 56 – 63.Durnev, V. G. 1989, "The Mal’tsev-Nielsen equation in a free metabelian group of rank two" , Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR., vol. 46, Issue 6, pp. 927–929. (Translated from Matematicheskie Zametki, vol. 46, No. 6, pp. 57–60, December, 1989) [doi:10.1007/BF01158628]Дурнев В. Г., Зеткина О. В. О фрагментах элементарных теорий свободных нильпотентных групп // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 2003.Maltsev, A. I. 1962, "On the equation zxyx−1 y −1 z −1 = aba−1 b −1 in a free group" , Algebra i Logika., vol. 1, no. 5, pp. 45 – 50. (Russian)Дурнев В. Г. Об уравнении Мальцева – Нильсена на свободной метабелевой группе ранга 2 // Мат. заметки. 1989. Т. 46, № 6. С. 57 – 60.Maltsev, A. I. 1960, "On free decidable groups" , USSR Doklady Ser. Math., vol. 130, no. 3, pp. 495 – 498. (Russian)Мальцев А. И. Об уравнении zxyx−1 y −1 z −1 = aba−1 b −1 в свободной группе // Алгебра и логика. 1962. Т. 1, № 5. С. 45 – 50.Roman’kov, V. A. 1979, "Equations in free metabelian groups" , Siberian Mathematical Journal., vol. 20, no. 3, pp. 469–471. (Translated from Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, vol. 20, No. 3, pp. 671—673, 1979) [doi:10.1007/ BF00969959]Мальцев А. И. О свободных разрешимых группах // ДАН СССР. 1960. Т. 130, № 3. С. 495 – 498.Durnev, V. G. 1992, "Undecidability of a positive ∃-theory with one constant for a free solvable group" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’., pp. 30 – 35. (Russian)Романьков В. А. Об уравнениях в свободных метабелевых группах // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 3. С. 671 – 673.Merzlyakov, Yu. I. 1966, "Positive formulae on free groups" , Algebra i Logika., vol. 5, no. 4, pp. 25 – 42. (Russian)Дурнев В. Г. Неразрешимость позитивной ∃-теории с одной константой свободной разрешимой группы // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1992. С. 30 – 35.Durnev, V. G. 1990, "On Tarski problem for free groups of some manifolds" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’., pp. 25 – 35. (Russian)Мерзляков Ю. И. Позитивные формулы на свободных группах // Алгебра и логика. 1966. Т. 5, № 4. С. 25 – 42.Lawrence, J. 1986, "Tarski’s problem for varieties of groups with commutator identity" , J. Symbolic Logic., vol. 51, no. 1, pp. 75 – 78.Дурнев В. Г. О проблеме Тарского для свободных групп некоторых многообразий // Сб. “Вопросы теории групп и гомологической алгебры”. ЯрГУ. Ярославль. 1990. С. 25 – 35.Rogers, P., Smith, H. & Solitar, D. 1986, "Tarski’s problem for solvable groups" , Proc. Amer. Math. Soc., vol. 96, no 4, pp. 668 – 671.Lawrence J. Tarski’s problem for varieties of groups with commutator identity // J. Symbolic Logic. 1986. Vol. 51, № 1. P. 75 – 78.Sacerdote, G. S. 1973, "Almost all free products of groups have the same positive theory" , J. Algebra., vol. 27, no. 3, pp. 475 – 485.Rogers P., Smith H. and Solitar D. Tarski’s problem for solvable groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. Vol. 96, № 4. P. 668 – 671.Sacerdote, G. S. 1973, "Elementary properties of free groups" , Trans. Amer. Math. Soc., vol. 178, pp. 127 – 138.Sacerdote G. S. Almost all free products of groups have the same positive theory // J. Algebra. 1973. Vol. 27, № 3. P. 475 – 485.Maltsev, A. I. 1961, "On elementary properties of linear groups" , Problems of Mathematics and Mechanics. Novosibirsk., pp. 110 – 132. (Russian)Sacerdote G. S. Elementary properties of free groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 178. P. 127 – 138.Durnev, V. G. & Kazarin, L. S. 1994 , "On unversal theories of some groups" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’. (Russian)Мальцев А. И. Об элементарных свойствах линейных групп // Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, 1961. С. 110 – 132.Durnev, V. G. 1994, "Undecidability of some bounded theories of групп SL(n, Z) and GL(n, Z) (n > 3) groups" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’. (Russian)Дурнев В. Г., Казарин Л. С. Об универсальных теориях некоторых групп // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1994.Durnev, V. G. 1995, "On elementary theories of integer linear groups" , Izvestiya: Mathematics, vol. 59, no. 5, pp. 919–934. [doi:10.1070/IM1995v059n 05ABEH000040]Дурнев В. Г. Неразрешимость некоторых ограниченных теорий групп SL(n, Z) и GL(n, Z) (n > 3) // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1994.Lyndon, R. C. & Schupp, P. E. 2001, "Combinatorial Group Theory" , Springer. 339 p.Дурнев В. Г. Об элементарных теориях целочисленных линейных групп // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1995. Т. 59, № 5. С. 41 – 58.Durnev, V. G. 1998, "Semigroups with identities of some F-groups" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’. (Russian)Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп, М.: Мир, 1980. 447 c.Durnev, V. G., Zetkina, O. V. & Zetkina, A. I. 2014, "On the Tits’ alternative for subgroups of F-groups" , Chebyshevskii Sb., vol. 15, issue 1(49), pp. 110—120. (Russian). URL:http://mi.mathnet.ru/eng/cheb15]Дурнев В. Г. Подгруппы с тождествами некоторых F-групп // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1998.Durnev, V. G. 1987, "On width of the commutant of B3 и B4 braid groups" , XIX USSR algebraic conference. Book of abstracts. L’vov. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В., Зеткина А. И. Об альтернативе Титса для подгрупп F-групп // Чебышевский сборник. 2012. Т. XV, вып. 1(49).Repin, N. N. 1986, "On commmutator equations in B3 and B4 groups" , Algorithmic problems of group and semigroup theory. Tula., pp. 114 – 117. (Russian)Дурнев В. Г. О ширине коммутанта групп кос B3 и B4 // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция: тезисы докладов. Львов. 1987.Roman’kov, V. A. 1982, "Width of verbal subgroups in solvable groups" , Algebra and Logic., vol. 21, no. 1, pp. 41–49. (Translated from Algebra i Logika, Vol. 21, no. 1, pp. 60–72, 1982). [doi:10.1007/BF01987820]Репин Н. Н. О коммутаторных уравнениях в группах B3 и B4 // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сб. научн. трудов. Тула. 1986. С. 114 – 117. 81. Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп // Алгебра и логика. 1982. Т. 21, № 1. С. 60 – 72.Rhemtulla, A. H. 1961, "Commutators of certain finitely generated Solvable groups" , Can. J. Math., vol. 21, no. 5, pp. 1160 – 1164.Rhemtulla A. H. Commutators of certain finitely generated Solvable groups // Can. J. Math. 1961. Vol. 21, № 5. P. 1160 – 1164.Rhemtulla, A. H. 1968, "A problem of bounded expressibility in free products" , Proc. of the Cambridge Phil. Soc., vol. 64, no. 3, pp. 573 – 584.Rhemtulla A. H. A problem of bounded expressibility in free products // Proc. of the Cambridge Phil. Soc. 1968. Vol. 64, № 3. P. 573 – 584.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 1994, "On factor-groups of B(n) braids and linear SL(n, Z) and GL(n, Z) groups" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. О факторгруппах групп кос B(n) и линейных групп SL(n, Z) и GL(n, Z) // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1994.Durnev, V. G. 1988, "On formulae with a length function on a free group" , 10th USSR Conference on math. logics. Book of abstracts. Leningrad., pp. 56 (Russian)Дурнев В. Г. О формулах с функцией длины на свободной группе // Десятая Всесоюзная конференция по матем. логике: тезисы докладов. Ленинград. 1988. С. 56.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 1991, "On a positive theory of a free group in a signature extended by a length function" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’., pp. 25 – 29. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. О позитивной теории свободной группы в сиг- натуре, расширенной функцией длины // Вопросы теории групп и гомо- логической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1991. С. 25 – 29.Huber-Dyson, V. 1974, "The Undecidability of Free Groups with a Length Function" , University of Calgary, Mathematics Research Paper., no. 221, pp. 1 – 26.Huber-Dyson V. The Undecidability of Free Groups with a Length Function // University of Calgary, Mathematics Research Paper. 1974. № 221. P. 1 - 26.Myasnikov, A. G. & Remeslennikov, V. N. 1987, "Elementary equivalence of free products" , Preprint of USSR Acad. Sci. Siberian branch., Comput. Centre, Novosibirsk., no. 718. 20 p. (Russian)Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Элементарная эквивалентность свободных произведений // Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ, № 718. Новосибирск. 1987. 20 c.Durnev, V. G. & Zetkina, O. V. 1994, "Algoritmically undecidable problems for Diophantine sets in Π2" , Group Theory & Homological Algebra, Yaroslavl’ State University. Yaroslavl’. (Russian)Дурнев В. Г., Зеткина О. В. Алгоритмически неразрешимые проблемы для диофантовых множеств в Π2 // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб.. ЯрГУ. Ярославль. 1994.Durnev, V. 1997, "Studying Algorithmic Problems for Free Semigroups and Groups" , Lecture Notes in Computer Science., vol. 1234, pp. 88 – 101. (Russian)Durnev V. Studying Algorithmic Problems for Free Semigroups and Groups // Lecture Notes in Computer Science. 1997. Vol. 1234. Pp. 88 – 101.Durnev, V. G. 1997, "Studying Algorithmic Problems for Free Semigroups and Groups": Dr. Sci. Thesis, Moscow State University. (Russian)Дурнев В. Г. Исследование некоторых алгоритмических проблем для свободных групп и полугрупп: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ. 1997.Bardakov, V. G. 1993, "On the theory of braid groups" , Russian Academy of Sciences. Sbornik Mathematics., vol. 76, no. 1, pp. 123–153. [doi: 10.1070/SM1993 v076n01ABEH003404]Бардаков В. Г. К теории групп кос // Математический сборник. 1992. Т. 183, № 6. С. 3–42.Adian, S. I. & Durnev, V. G. 2000, "Decision problems for groups and semigroups" , Russian Mathematical Surveys., vol. 55, no. 2, pp. 207. [doi: 10.1070/ RM2000v055n02ABEH000267]Адян С. И., Дурнев В. Г. Алгоритмические проблемы для групп и полугрупп // Успехи мат. наук. 2000. Т. 55, № 2. С. 3 – 94.Адян С. И., Дурнев В. Г. Алгоритмические проблемы для групп и полугрупп // Успехи мат. наук. 2000. Т. 55, № 2. С. 3 – 94.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.