Найдены асимптотические формулы при $m\to\infty$ для числа решений системы сравнений вида$$g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\equiv g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\pmod{p^m}, 1\leq s\leq n,$$где неизвестные $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k$ могут принимать значения из полной системы вычетов по модулю $p^m,$ а степени многочленов $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ не превосходят $n.$Указаны такие многочлены $g_1(x),\dots ,g_n(x),$ для которых эти асимптотики справедливы при $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ данные асимптотики не имеют место.

Кроме того, для многочленов $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ с вещественными коэффициентами, причем степени многочленов не превосходят $n,$ найдена асимптотика среднего значения тригонометрических интегралов вида$$\int\limits_0^1e^{2\pi if(x)}, f(x)=\alpha_1g_1(x)+\dots +\alpha_ng_n(x),$$где осреднение ведётся по всем вещественным параметрам $\alpha_1,\dots ,\alpha_n.$ Эта асимптотика справедлива при степени осреднения $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ она не имеет места.}{Asymptotical formulae as $m\to\infty$ for the number of solutions of the congruence system of a form$$g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\equiv g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\pmod{p^m}, 1\leq s\leq n,$$are found, where unknowns $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k$ can take on values from the complete system of residues modulo $p^m,$ but degrees of polynomials $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ do not exceed $n.$ Such polynomials $g_1(x),\dots ,g_n(x),$ for which these asymptotics hold as $2k>0,5n(n+1)+1,$ but as $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ the given asymptotics have no place, were shew.

Besides, for polynomials $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ with real coefficients, moreover degrees of poly\-nomials do not exceed $n,$ the asymptotic of a mean value of trigonometrical integrals of the form$$\int\limits_0^1e^{2\pi if(x)}, f(x)=\alpha_1g_1(x)+\dots +\alpha_ng_n(x),$$where the averaging is lead on all real parameters $\alpha_1,\dots ,\alpha_n,$ is found. This asymptotic holds for the power of the averaging $2k>0,5n(n+1)+1,$ but as $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ it has no place.