В работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле, свя-занной с интегро-дифференциальной полуторалинейной формой????[????, ????] =Σ︁????∈???????????? [????, ????], (*)где???????? [????, ????] =Σ︁|????|=|????|=????∫︁Ω????(????)2???????? ????????????(????)????(????)(????) ????(????)(????)????????,Ω — ограниченная область в евклидовом пространстве ???????? с замкнутой (???? − 1)-мернойграницей ????Ω, ????(????), ???? ∈ Ω, — регуляризованное расстояние от точки ???? ∈ Ω до ????Ω, ???? —мультииндекс, ????(????)(????) — обобщенная производная мультииндекса ???? функции ????(????), ???? ∈ Ω,????????????(????) — ограниченные в Ω комплекснозначные функции, ???? ⊂ {1, 2, . . . , ????} и ???????? , ???? ∈ ????, —вещественные числа. Предполагается, что ???? ∈ ????. Вырождение коэффициентов дифферен-циального оператора, ассоциированного с формой (*), называется согласованным, еслисуществует число ???? такое, что ???????? = ???? + ???? − ???? при всех ???? ∈ ????. В противном случае ононазывается несогласованным.Вариационная задача Дирихле, связанная с формой (*), в случае согласованного вы-рождения коэффициентов хорошо исследована во многих работах, где также предполага-ется, что форма (*) удовлетворяет условию коэрцитивности. Следует отметить, что слу-чай несогласованного вырождения коэффициентов сопряжен с некоторыми техническимисложностями и рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. В этом случае с помо-щью теорем вложения пространств дифференцируемых функций со степенными весамивыделяются старшие формы ???????? [????, ????], ???? ∈ ????2 ⊂ ???? и доказывается, что разрешимость вари-ационной задачи Дирихле в основном зависит от старших форм.В работе рассматривается случай несогласованного вырождения коэффициентов ис-следуемого оператора и, в отличие от ранее опубликованных работ по этому направлению,допускается случай, когда основная форма (*) может не удовлетворять условию коэрци-тивности.
The paper is devoted to investigation of unique solvability of the Dirichlet variationalproblem associated with integro-differential sesquilinear form????[????, ????] =Σ︁????∈???????????? [????, ????], (*)where???????? [????, ????] =Σ︁|????|=|????|=????∫︁Ω????(????)2???????? ????????????(????)????(????)(????) ????(????)(????)????????,Ω — a bounded domain in the euclidian space ???????? with a closed (???? − 1)-dimensional boundary????Ω, ????(????), ???? ∈ Ω, — a regularized distance from a point ???? ∈ Ω to ????Ω, ???? — a multi-index,????(????)(????) — a generalized derivative of multi-index ???? of a function ????(????), ???? ∈ Ω, ????????????(????) — boundedin Ω complex-valued functions, ???? ⊂ {1, 2, . . . , ????} and ???????? , ???? ∈ ????, — real numbers. It is assumedthat ???? ∈ ????. A degeneracy of coefficients of the differential operator associated with the form(*), is said to be coordinated if there exist a number ???? such that ???????? = ???? + ???? − ???? for all ???? ∈ ????.Otherwise it is called uncoordinated.The variational Dirichlet problem associated with the form (*) in the case of coordinateddegeneracy of coefficients is well studied in many papers, where it is also assumed that the form(*) satisfies a coercivness condition. It should be mentioned that the case of uncoordinateddegeneracy of the coefficients is fraught with some technical complexities and it was onlyconsidered in some separate papers. In this case with the aid of embedding theorems for spacesof differentiable functions with power weights leading forms ???????? [????, ????], ???? ∈ ????2 ⊂ ????, are separatedand it is proved that solvability of the variational Dirichlet problem is generally depends on theleading forms.We consider the case of uncoordinated degeneracy of coefficients of the operator underinvestigation and, in contrast to previously published works on this direction, it is allowed thatthe main form (*) does not obey coerciveness condition.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.