Пусть $\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ --- две последовательности вещественных чисел с носителями наотрезках $[M,2M]$ и $[N,2N]$, где $M = X^{1/2-\delta}$ и $N = X^{1/2+\delta}$. Мы доказываемсуществование такой постоянной $\delta_{0}$, что мультипликативная свертка$\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ имеет уровень распределения $1/2+\delta-\varepsilon$ (в слабом смысле),если только $0\leqslant \delta<\delta_{0}$, последовательность $\beta_{n}$ являетсяпоследовательностью Зигеля-Вальфиша, и обе последовательности $\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ограничены сверху функцией делителей.Наш результат, таким образом, представляет собой общую дисперсионную оценкудля "коротких"\, сумм II типа. Доказательство существенно использует дисперсионный метод Линникаи недавние оценки трилинейных сумм с дробями Клоостермана, принадлежащие Беттин и Чанди.Также мы остановимся на применении полученного результата к проблеме делителей Титчмарша.
Let $\alpha_m$ and $\beta_n$ be two sequences of real numbers supported on $[M, 2M]$ and $[N, 2N]$ with $M = X^{1/2 - \delta}$ and $N = X^{1/2 + \delta}$. We show that there exists a $\delta_0 > 0$ such that the multiplicative convolution of $\alpha_m$ and $\beta_n$ has exponent of distribution $\frac{1}{2} + \delta-\varepsilon$ (in a weak sense) as long as $0 \leq \delta < \delta_0$, the sequence $\beta_n$ is Siegel-Walfisz and both sequences $\alpha_m$ and $\beta_n$ are bounded above by divisor functions. Our result is thus a general dispersion estimate for ``narrow'' type-II sums. The proof relies crucially on Linnik's dispersion method and recent bounds for trilinear forms in Kloosterman fractions due to Bettin-Chandee. We highlight an application related to the Titchmarsh divisor problem.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.