Посредством аддитивных арифметических функций на последовательности сдвинутых простых чисел строятся процессы с реализациями из пространства функций без разрывов второго рода. В этом пространстве с топологией Скорохода и σ-алгеброй борелевских множеств вводится последовательность мер, соответствующих построенным арифметическим процессам. Именно, за меру борелевского множества принимается относительная частота простых чисел, не превосходящих натурального числа n, которым соответствуют реализации построенных процессов, попадающие в это множество. Найдены необходимые и достаточные условия слабой сходимости последовательности введённых мер к мере, соответствующей некоторому процессу. При этом предельным является процесс с независимыми приращениями, распределения которых не вырождены. Необходимые и достаточные условия представляют собой два предельных соотношения, первое из которых – это бесконечная малость последовательности заданных сумм. Доказательство необходимости выполнения этого соотношения для слабой сходимости последовательности мер является основной частью всего доказательства теоремы. Проводится это доказательство путём рассмотрения распределений приращений арифметических процессов на промежутках, близких к единице и переходом к характеристическим функциям, соответствующим этим распределениям. Далее, воспользовавшись независимостью приращений предельного процесса, слабой компактностью последовательности мер (следующей из известной теоремы Ю. Прохорова о слабой сходимости вероятностных мер), асимптотической формулой для средних значений мультипликативных функций на последовательности сдвинутых простых чисел Н. Тимофеева, получаем первое условие теоремы. При доказательстве достаточности обеих условий для слабой сходимости последовательности мер вновь применяются характеристические функции. Это позволяет, в частности, воспользоваться ранее полученными автором предельными теоремами в функциональных пространствах для аддитивных функций на "редких" множествах. Последовательность {p+1} входит в класс последовательностей, рассмотренных в этих теоремах. Однако, в них условие аналогичное первому условию, рассматриваемому здесь, не является необходимым, но является достаточным. Это позволяет, применяя указанные теоремы к рассматриваемому случаю получить слабую сходимость последовательности мер. Получено также представление для характеристической функции предельного процесса.