Работа посвящена многомерной проблеме распределения дробных долейлинейной функции. Подмножество многомерного тора называетсямножеством ограниченного остатка, если остаточный член многомернойпроблемы распределения дробных долей линейной функции на этоммножестве ограничен абсолютной константой. Интерес представляют нетолько отдельные множества ограниченного остатка, но и разбиениятора на такие множества.

В работе введен новый класс разбиений $d$-мерного тора намножества $(d+1)$ типа -- обобщенные перекладывающиеся разбиения,описанный в комбинаторно-геометрических терминах. Показано, чтовсе разбиения из этого класса состоят из множеств ограниченногоостатка. Соответствующая оценка остаточного члена являетсяэффективной. Также найдены условия, при которых оценка остаточногочлена для последовательности обобщенных перекладывающихсяразбиений тора не зависит от конкретного разбиения впоследовательности.

На основе теории геометрических подстановок Арно-Ито введен новыйкласс обобщенных перекладывающихся разбиений многомерных торов намножества ограниченного остатка с эффективной оценкой остаточногочлена. Ранее аналогичные результаты были получены в двумерномслучае для одной конкретной подстановки - геометрического вариантахорошо известной подстановки Рози. При помощи предельного переходапостроен еще один класс обобщенных перекладывающихся разбиенийтора на множества ограниченного остатка с фрактальными границами(так называемые обобщенные фракталы Рози).