Работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому спе- циальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена, Лагранжа. Для числа решений этих проблем с числами спе- циального вида получены асимптотические формулы. Задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена — задачи с простыми числами. Они являются классически- n n n ми проблеми теории чисел о числе решений уравнения p1+p2+· · ·+pk = N в простых числах p1, p2, . . . , pk, где k > 2 и n > 1 — натуральные числа. При k = 3, n = 1 — задача Гольдбаха, k = 5, n = 2 — задача Хуа Ло–Кена. Авторы рассматривали эти задачи при условии, что на простые числа pi, i = 1, 2, . . . , k, наложены дополнительные ограничения вида a < {ηpn} < b, i где a и b — произвольные действительные числа, 0 6 a < b 6 1, η — квадратичная иррациональность. При выводе асимптотических формул использовали круговой метод Харди–Литтлвуда–Виноградова. Получен- ные формулы отличаются от асимптотических формул классических за- дач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появля- ются ряды специального вида: 2πim(ηN−0,5k(a+b)) sink πm(b − a) σk(N, a, b) = e . πkmk |m|<∞ Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также исследована авторами. Задача Лагранжа — задача о пред- ставлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чи- сел: l1 2 +l2 2 +l3 2 +l 2 = N. Авторами рассмотрен вариант задачи Лагранжа с 4 целыми числами li, i = 1, 2, 3, 4, удовлетворяющими условию a >< {ηli} < b. При выводе асимптотической формулы в задаче Лагранжа авторы, в ос- новном, следовали схеме Клоостермана. В этой задаче в главном члене ряда вида σk(N, a, b) не возникает. Проблема Варинга — это задача о n n n представлении любого натурального N суммой x1 + x2 + . . . + xk = N, где x1, x2, . . . , xk — натуральные числа. В данной работе решается вари- ант проблемы Варинга с натуральными числами xi, i = 1, 2, . . . , k, таки- ми, что a 6 {ηxn} < b, где η — алгебраическое иррациональное число. i Здесь в главном члене появляется ряд σk(N, a, b), как и в задачах Гольд- баха и Хуа Ло–Кена с простыми числами, удовлетворяющими условию a < {ηpn} < b, i = 1, 2, . . . , k. Основным результатом работы является i получение асимптотической формулы для числа решений J(N) проблемы Варинга с числами специального вида: k − c 1− J(N) = I(N)σk(N, a, b) + O(N n n3 log n ), где I(N) — число решений классической проблемы Варинга в произволь- ных натуральных числах x1, x2, . . . , xk, c = c(η) > 0, n > 3, 2n + 1, если 3 6 n 6 10, k > k0 = 2[n2(2 log n + log log n + 5)], если n > 10.