В статье исследовано многообразие N, порожденное двухэлементными коммутативными мультипликативно идемпотентными полукольцами. При изучении многообразий полуколец исходными служат две класси- ческие теоремы Биркгофа (о характеризации многообразий алгебраических структур и о подпрямой разложимости). J. A. Kalman в 1971 году доказал, что с точностью до изоморфизма существует три подпрямо неразложимых коммутативных идемпотентных полукольца, обладающих двойственным законом дистрибутивности x + yz = (x+y)(x+z): двухэлементное поле, двухэлементное монополукольцо, а также некоторое трехэлементное полукольцо. В 1999 году S. Ghosh показал, что произвольное коммутативное мультипликативно идемпотентное полукольцо с тождеством x + 2xy = x будет подпрямым произведением булева кольца и дистрибутивной решетки. Аналогичный результат для класса всех мультипликативно идемпотентных полуколец с нулем и единицей, обладающих тождеством 1 + 2x = 1, получил F. Guzman в 1992 году. Показано, что любое такое полукольцо коммутативно и является подпрямым произведением семейства двухэлементных полей и двухэлементных цепей, а также может быть порождено одним трехэлементным полукольцом. Нами в даной работе получены следующие результаты. Доказаны некоторые необходимые условия подпрямой неразложимости полуколец из многообразия M всех полуколец с коммутативным идемпотентным умножением. Показано, что произвольное полукольцо из M является подпрямым произведением двух коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец, одно из которых обладает тождеством 3x = x, а другое — тождеством 3x = 2x. Найдены все подпрямо неразложимые полукольца в N. Описаны под- многообразия в N. Показано, что в классе M многообразие N задается одним тождеством x + 2xy + yz = x + 2xz + yz. Доказано, что решетка всех подмногообразий многообразия N является 16-элементной булевой решеткой.
The article is devoted to investigation of an variety N generated by twoelement commutative multiplicatively idempotent semirings. Two classical theorems of Birkhoff (about the characterization of varieties of algebraic structures, and subdirect reducibility) are initial in the studying of semiring varieties. In 1971 J. A. Kalman proved that there exist up to isomorphism three subdirectly irreducible commutative idempotent semirings satisfying the dual distributive law x + yz = (x + y)(x + z), namely a two-element field, a twoelement mono-semiring, and the some three-element semiring. In 1999 S. Ghosh showed that any commutative multiplicatively idempotent semiring with identity x + 2xy = x is the subdirect product of a Boolean ring and a distributive lattice. In 1992 F. Guzman got a similar result for the variety of all multiplicatively idempotent semirings with zero and unit, satisfying the identity 1 + 2x = 1. It was proved that every such semiring is commutative. This one is the subdirect product of two-element fields and two-element chains and it may be generated by a single three-element semiring. We obtained the following results in the work. We proved some necessary conditions for subdirect irreducibility of semirings from the variety M of all the semirings with commutative indempotent multiplication. It was shown that an arbitrary semiring from M is subdirect product of two commutative multiplicatively idempotent semirings, one of which has the identity 3x = x, and the other has the identity 3x = 2x. We found all the subdirectly irreducible semirings in N and discribed varieties in N. It was obtained that in the class M the variety N is defined by the single identity x+ 2xy +yz = x+ 2xz +yz. We proved that the lattice of all the subvarieties of the variety N is a 16-element Boolean lattice.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.