chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-1-52-70cheb-5Research ArticleСтатьиArticleРАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ МАЛОЙ МЕРЫDITRIBUTION OF SPECIAL ALGEBRAIC POINTS IN DOMAINS OF SMALL MEASUREГусаковаА. Г.GusakovaA. G.

аспирантка, Институт математики НАН Беларуси

PhD student, Institute of Mathematics, Belorussian Academy of Sciences

gusakova.anna.0@gmail.comИнститут математики НАН БеларусиRussian Federation2016290420161715270Copyright © Гусакова А.Г., 20162016Гусакова А.Г.Gusakova A.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/5

Задачи о распределении алгебраических чисел и точек с алгебраически сопряженными координатами являются естественным продолжением задач о целых и рациональных точках в фигурах и телах евклидова пространства. В данной статье мы исследуем вопрос о распределении специальных алгебраических точек α = (α1, α2), координаты которых являются алгебраически сопряженными числами ограниченной степени и высоты с дополнительным условием: производная их минимального многочлена принимает малые значения в точках α1 и α2. Такие точки возникают в задачах, связанных с классификациями чисел Малера [1], предложенной в 1932 году, и Коксма [2], предложенной несколько позднее в 1939 году. Одной из таких задач является проблема существования Т-чисел в классификации Малера. Около 40 лет было неясно, существуют ли такие числа или этот класс пуст, и только в 1970 году в работе В. Шмидта [3] было показано, что класс Т-чисел непустой и предложена конструкция данных чисел. Другая проблема — это вопрос о различии классификаций Малера и Коксма. В 2003 году Я. Бюжо опубликовал работу [4], в которой доказано, что существуют числа, для которых характеристики Малера и Коксма различны. Для доказательства данных фактов используются специальные алгебраические точки α = (α1, α2), рассмотренные в статье. Мы рассматриваем специальные алгебраические точки α = (α1, α2) такие, что высота алгебраических чисел α1 и α2 не превосходит Q, а их степень не превосходит n и модуль производной их минимального члена P(t) принимает следующие значения: |P′(α1)| ≤ Q1−v1 и |P′(α2)| ≤ Q1−v2 при 0 < v1, v2 < 1. В работе найдены точные оценки сверху и снизу для количества специальных алгебраических точек в прямоугольниках, мера Лебега которых имеет порядок Q−1+v1+v2 .

Problems related to the distribution of algebraic numbers and points with algebraically conjugate coordinates are a natural generalization of problems connected with estimating of number of integer and rational points in figures and bodies of a Euclidean space. In this paper we consider a problem related to the distribution of special algebraic points α = (α1, α2) with algebraically conjugate coordinates α1 and α2 such that their height and degree are bounded and the absolute values of P′(α1) and P′(α1) where P(t) is a minimal polynomial of α1 and α2 are small. The sphere of application of this points is problems related to Mahler’s classification of numbers [1] proposed in 1932 and Kosma’s classification of numbers [2] proposed some years later. One of this is a question: do Mahler’s T-numbers exist? This question has remained unanswered for nearly 40 years and only in 1970 W. Schmidt [3] showed that the class of T-numbers is not empty and proposed the construction of this numbers. Another problem is a question about difference between Mahler’s and Koksma’s classifications. In 2003 Y. Bugeaud published a paper [4] where he proved that there are exist a numbers with different Mahler’s and Koksma’s characteristics. Special algebraic points α = (α1, α2) considered in this paper are used to prove this results. We consider special algebraic points α = (α1, α2) such that the height of algebraically conjugate numbers α1 and α2 is bounded by Q, their degree is bounded by n and |P′(α1)| ≤ ≤ Q1−v1 , |P′(α2)| ≤ Q1−v2 for 0 < v1, v2 < 1 where P(t) is a minimal polynomial of this numbers. In this paper we obtained the lower and upper bound for the quantity of special algebraic numbers in rectangles with the size of Q−1+v1+v2 .

метрическая теория совместных диофантовых приближениймера Лебегаалгебраически сопряженные числаmetric theory of simultaneous Diophantine approximationsLebesgue measureconjugate algebraic numbersReferencesMahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. Teil I, II // J. reine und angew. Math. 1932. Vol. 166. P. 118–136, 137–150.Beresnevich V., Bernik V. & G¨otze F. 2010, „The distribution of close conjugate algebraic numbers“, Compos. Math., vol. 146, no. 5, pp. 1165–1179.Koksma J.F. ¨Uber die Mahlersche Klasseneinteilung der transzendenten Zahlen und die Approximation komplexer Zahlen durch algebraische Zahlen // Mh. Math. Physik. 1939. Vol. 48. P. 176–189.Bernik V. I. 1983, „Bernik V.I. 1983, „Application of the Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximations“, Acta Arith., vol. 42, no. 3, pp. 219–253.“, Acta Arith., vol. 42, no. 3, pp. 219–253 (Russian).Schmidt W. T-numbers do exist // Symposia Mathematica (INDAM, Rome, 1968/1969). 1970. Vol. IV. P. 3–26.Bernik V. I. 1989, „The exact order of approximating zero by values of integral polynomials“,Acta Arith., vol. 53, no. 1, pp. 17–28 (Russian).Bugeaud Y. Mahler’s classification of numbers compared with Kosma’s // Acta Arith. 2003. Vol. 110, №1. P. 89–105.Bernik V. I. & Dombrovskii I.R. 1994, „Effective estimates for the measure of sets defined by Diophantine conditions“, Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 207, pp. 35–41 (Russian); translation in Proc. Steklov Inst. Math. 1995, vol. 207, no. 6, pp. 35–40.Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск: Наука и техника, 1967. 184 c.Bernik V., G¨otze F. & Kukso O. 2014,“On algebraic points in the plane near smooth curves“, Lithuanian Math. Journal, vol. 54, no. 3, pp. 231–251.Mahler K. An inequality for the discriminant of a polynomial // Michigan Math. J. 1964. Vol. 11. P. 257–262.Bernik V. & G¨otze F. 2015, „Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals“, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., vol. 79, no 1, pp. 21–42 (Russian); translation in Izv. Math., 2015, vol. 79, no. 1, pp. 18–39.Everst J.-H. Distance between the conjugates if an algebraic number // Publ. Math. Debrecen. 2004. Vol. 65, №3-4. P. 323–340.Budarina N. V. & G¨otze F. 2013,“Distance between conjugate algebraic numbers in clusters“, Translation of Mat. Zametki, vol. 94, no. 5-6, pp. 816– 819.Beresnevich V., Bernik V., G¨otze F. The distribution of close conjugate algebraic numbers // Compos. Math. 2010. Vol. 146, №5. P. 1165–1179.Bugeaud Y. 2002,“Approximation by algebraic integers and Hausdorff dimension“, J. London Math. Soc, vol. 65, no. 2, pp. 547–559.Бударина Н. В., Г¨етце Ф. Расстояние между сопряженными алгебраическими числами в кластерах // Матем. заметки. 2013. Т. 94, №5. С. 780–783.Bugeaud Y. 2003, „Mahler’s classification of numbers compared with Kosma’s“, Acta Arith., vol. 110, no. 1, pp. 89–105.Bugeaud Y., Mignotte M. Polynomials root separation // Int. J. Number Theory. 2010. Vol. 6, №3. P. 587–602.Bugeaud Y. 2004, „Approximation by algebraic numbers“, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 160. Cambridge University Press. Cambridge. 274 p.Bugeaud Y., Mignotte M. On the distance between roots of integer polynomials // Proc. Edinb. Math. Soc. 2004. Vol. 47, №3. P. 553–556.Bugeaud Y. & Mignotte M. 2004, „On the distance between roots of integer polynomials“, Proc. Edinb. Math. Soc., vol. 47, no. 3, pp. 553–556.Schmidt W. M. Diophantine approximation // Lecture Notes in Math., 785, Springer, Berlin, 1980. x+299 p.Bugeaud Y. & Mignotte M. 2010, „Polynomials root separation“, Int. J. Number Theory, vol. 6, no. 3, pp. 587–602.Bugeaud Y. Approximation by algebraic integers and Hausdorff dimension // J. London Math. Soc. 2002. Vol. 65, №2. P. 547–559.Davenport H. 1951, „On a principle of Lipschitz“, J. London Math. Soc., vol. 26, pp. 179–183.Берник В.И., Г¨етце Ф. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интеревалах // Известия РАН. Серия математическая. 2015. Т. 79, №1. C. 21–42.Everst J.-H. 2004, „Distance between the conjugates if an algebraic number“, Publ. Math. Debrecen, vol. 65, no. 3-4, pp. 323–340.Bernik V., G¨otze F., Kukso O. On algebraic points in the plane near smooth curves // Lithuanian Math. Journal. 2014. Vol. 54, №3. P. 231–251.Gusakova A. G. & Bernik V. I. 2014, „The quantity of algebraic numbers with small derivative of the minimal polynomial in a short intervals“, Trudy Inst. Matematiki, vol. 22, no. 2, pp. 18–31.Гусакова А. Г., Берник В. И. Количество алгебраических чисел с малой производной их минимального многочлена в корне на коротких интервалах // Труды института математики. 2014. Т. 22б №2. C. 18–31.Huxley M. N. 1996, „Area, lattice points, and exponential sums“, London Mathematical Society Monographs, New Series, vol. 13, Oxford University Press, New York.Берник В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений // Acta Arithm. 1983. Vol. 42, №3. P. 219–253.Koksma J. F. 1939, „ ¨Uber die Mahlersche Klasseneinteilung der transzendenten Zahlen und die Approximation komplexer Zahlen durch algebraische Zahlen“, Mh. Math. Physik., vol. 48, pp. 176–189.Берник В. И., Домбровский И.Р. Эффективные оценки меры множеств, определяемых диофантовыми условиями // Труды МИАН. 1994. Т. 207. C. 35–41.Mahler K. 1932, „Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. Teil I, II“, J. reine und angew. Math., vol. 166, pp. 118–136, 137–150.Берник В. И. О точном порядке приближения нуля значениями целочисленных многочленов // Acta Arith. 1989. Vol. 53, №1. P. 17–28.Mahler K. 1964, „An inequality for the discriminant of a polynomial“, Michigan Math. J., vol. 11, pp. 257–262.Davenport H. On a principle of Lipschitz // J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 179 –183.Schmidt W. 1970, „T-numbers do exist“, Symposia Mathematica, IV (INDAM, Rome, 1968/ 1969), pp. 3–26.Huxley M. N. Area, lattice points, and exponential sums // London Mathematical Society Monographs, New Series. 1996. Vol. 13, Oxford University Press. New York.Schmidt W. M. 1980, „Diophantine approximation“, Lecture Notes in Math., 785, Springer, Berlin, x+299 p.Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers // Cambridge Tracts in Mathematics. 2004. Vol. 160. Cambridge University Press. Cambridge. 274 p.Sprindzhuk V. G. 1967, „Problema Malera v metricheskoy toerii chisel“ (Russian) [Mahlers’s problem in metric number theory], Minsk: Nauka i tehnika, 184 pp.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.