почетный профессор математики, профессор, доктор наук
Emeritus Professor of Mathematics, Professor and Ph.D.
доктор наук
Doctor of Philosophy
Обсудим некоторые тождества с участием $\mu(n)$ и $M(x) = \sum _{n \leq x}\mu (n)$, функции Мёбиуса и Мертенса. Они позволяют вычислить $M(N^d)$ для $d=1,2,3,\ldots\, $ как сумму $O_d \left( N^d(\log N)^{2d - 2}\right)$ членов, каждое произведение вида $\mu(n_1) \cdots \mu(n_r)$ с $r\leq d$ и $n_1, \ldots , n_r\leq N$. Докажем более общее тождество, в котором $M(N^d)$ заменяется на $M(g,K)=\sum_{n\leq K}\mu(n)g(n)$, где $g(n)$ – произвольная полностью мультипликативная функция, тогда как каждое $n_j$ имеет собственный диапазон суммирования $1,\ldots , N_j$. Это не ново, за исключением того, что в $N_1,\ldots , N_d$ произвольны, но наше доказательство (вдохновленное тождественным равенством Э. Майсселя, 1854) является новым. Мы главным образом заинтересованы в случае $d=2$, $K=N^2$, $N_1=N_2=N$, где тождество имеет вид $M(g, N^2) = 2 M(g,N) - {\bf m}^{\rm T} A {\bf m}$, при этом $A$ является матрицей $N\times N$ элементов $a_{mn}=\sum _{k \leq N^2 /(mn)}\,g(k)$, в то время как ${\bf m}=(\mu (1)g(1),\ldots ,\mu (N)g(N))^{\rm T}$. Наши результаты в разделах 2 и 3 данной статьи предполагают, что $g(n)$ равно $1$ для всех $n$. Теорема Фробениуса-Перрона применяется в этом случае: мы находим, что $A$ имеет одно большое положительное собственное значение, приблизительно $(\pi^2 /6)N^2$, с собственным вектором приблизительно ${\bf f} = (1,1/2,1/3,\ldots ,1/N)^{\rm T}$ T и что при больших значениях $N$ второе наибольшее собственное значение лежит в $(-0.58 N, -0.49 N)$. Раздел 2 включает оценки для следов $A$ и $A^2$ (хотя для ${\rm Tr}(A^2)$, мы пропустим часть доказательства). В разделе 3 обсуждаются способы аппроксимации ${\bf m}^{\rm T} A {\bf m}$, используя спектральное разложение $A$ или (альтернативно) формулу Перрона: последний подход приводит к контурному интегралу, включающему дзета-функцию Римана. Мы также рассматриваем использование тождества $A = N^{2\,} {\bf f}^{\,} \!{\bf f}^T -\textstyle{1\over 2} {\bf u} {\bf u}^T + Z$, а $Z$ --- матрица $N\times N$ элементов $z_{mn} = - \psi(N^2 / (mn))$, причем $\psi(x)=x - \lfloor x\rfloor - \textstyle{1\over 2}$. Наши выводы представлены в разделе 4.
We discuss cetain identitiesinvolving $\mu(n)$ and $M(x) = \sum _{n \leq x}\mu (n)$,the functions of M\"obius and Mertens.These allow calculation of $M(N^d)$,for $d=1,2,3,\ldots\ $, as a sum of$O_d \left( N^d(\log N)^{2d - 2}\right)$ terms, each a product of theform $\mu(n_1) \cdots \mu(n_r)$ with $r\leq d$ and$n_1, \ldots , n_r\leq N$.We prove a more general identity in which$M(N^d)$ is replaced by $M(g,K)=\sum_{n\leq K}\mu(n)g(n)$, where$g(n)$ is an arbitrary totally multiplicative function, whileeach $n_j$ has its own range of summation, $1,\ldots , N_j$.This is not new, except perhaps in that$N_1,\ldots , N_d$ are arbitrary, but ourproof (inspired by an identity of E.~Meissel, 1854) is new.We are mainly interested in the case $d=2$, $K=N^2$, $N_1=N_2=N$,where the identity has the form$M(g, N^2) = 2 M(g,N) - {\bf m}^{\rm T} A {\bf m}$,with $A$ being the $N\times N$~matrix of elements$a_{mn}=\sum _{k \leq N^2 /(mn)}\,g(k)$, while${\bf m}=(\mu (1)g(1),\ldots ,\mu (N)g(N))^{\rm T}$.Our results in Sections~2 and~3 of the paperassume that $g(n)$ equals $1$ for all $n$.The Perron-Frobenius theorem applies in this case:we find that $A$ has one large positive eigenvalue,approximately~$(\pi^2 /6)N^2$,with eigenvector approximately ${\bf f} = (1,1/2,1/3,\ldots ,1/N)^{\rm T}$,and that, for large $N$, thesecond-largest eigenvalue lies in $(-0.58 N, -0.49 N)$.Section~2 includes estimates for the tracesof~$A$ and~$A^2$ (though, for ${\rm Tr}(A^2)$, we omit part of the proof).In Section~3 we discuss ways to approximate ${\bf m}^{\rm T} A {\bf m}$,using the spectral decomposition of $A$, or (alternatively) Perron's formula:the latterapproach leads to a contour integral involving the Riemann zeta-function.We also discuss using the identity$A = N^{2\,} {\bf f}^{\,} \!{\bf f}^T -\textstyle{1\over 2} {\bf u} {\bf u}^T + Z$,where ${\bf u} = (1,\ldots ,1)^{\rm T}$ and $Z$ is the $N\times N$ matrixof elements $z_{mn} = - \psi(N^2 / (mn))$,with $\psi(x)=x - \lfloor x\rfloor - \textstyle{1\over 2}$.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.