chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2018-19-2-172-182cheb-470Research ArticleСтатьиArticleО приближении действительных чисел суммами квадратов простых чиселOn the approximation of real numbers by the sums of square of primesНауменкоАнтон ПавловичNaumenkoAnton Pavlovich

аспирант кафедры матанализа, руководитель направления отдела специальных исследований и разработок

postgraduate Student of the matanalysis department, Head of Special Research and Development

naumenko.anton90@gmail.comМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова; ОАО "ИнфоТеКС".РоссияMoscow State University named after M.V. Lomonosov; InfoTeKS OJSC.Russian Federation201820122018192Том 19, № 2, 2018172182Copyright © Науменко А.П., 20192019Науменко А.П.Naumenko A.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/470

В статье доказано, что к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти суммой квадратов трех простых чисел на расстояние не большее, чем $H=N^{217/768+\varepsilon}$ и можно подойти суммой четырех квадратов простых чисел на расстояние не большее, чем $H=N^{1519/9216+\varepsilon}$, где $\varepsilon$ -- произвольное положительное число.

Данные \quad результаты \quad получены \quad при \quad помощи \quad плотностной \quad техники, \quad разработанной Ю.В. Линником в 1940-х годах. Плотностная техника основана на применении явных формул, выражающих суммы по простым числам, через суммы по нетривиальным нулям дзета-функции Римана и использовании плотностных теорем -- оценок количества нетривиальных нулей дзета-функции, лежащих в критической полосе и таких, что их реальная часть больше некоторого $\sigma$, где $1>\sigma\geq 1/2$.

Содержащиеся в статье результаты основаны на применении современных плотностных теорем, полученных А. Ивичем. Кроме того, при доказательстве была использована теорема Бейкера, Хармана, Пинтца: к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти простым числом на расстояние не большее, чем $H=N^{21/40+\varepsilon}$. Также использован результат полученный ранее автором: к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти суммой квадратов двух простых чисел на расстояние не большее, чем $H=N^{31/64+\varepsilon}$.

In the article it is proved that a given real number $N>N_0(\varepsilon)$ can be approached by the sum of squares of three primes by a distance not exceeding $H = N^{217/768 + \varepsilon}$ and can be approached by the sum of four squares of primes by a distance no greater than $H = N^{1519/9216 + \varepsilon}$, where $\varepsilon$ is an arbitrary positive number.

These results were obtained using the density technique developed by Yu.V. Linnik in the 1940s. The density technique is based on applying explicit formulas expressing sums over prime numbers with sums over nontrivial zeros of the Riemann zeta function and using density theorems that estimate the number of nontrivial zeros of the zeta function lying in the critical strip such that their real part is greater than some $\sigma$, $1> \sigma \geq 1/2$.

The results obtained in this paper are based on the application of modern density theorems obtained by A. Ivich. In addition, the proof used the theorem of Baker, Harman, and Pintz: one can approach a given real number $N>N_0(\varepsilon)$ by a prime number by a distance no more than $H = N^{21/40 + \varepsilon}$. Also, the following result obtained by the author is used: one can approach a given real number $N>N_0(\varepsilon)$ by the sum of squares of two prime numbers by a distance no greater than $H = N^{31/64 + \varepsilon}$.

простые числадиофантовы неравенстваплотностная теорема.primesdiophantine inequalitiesdensity theorem.ReferencesHuxley M.N. On the difference between consequtive primes// Invent. Math. 1972. Vol. 15, № 1. p. 164--170.Banks, W. D., Conflitti, A. & Shparlinski, I. E. 2002, ``Character sums over integers with restricted $g$-ary digits``, \textit{Illinois J. Math.}, vol. 46, no. 3, pp. 819-836. \fiГриценко С.А. Уточнение одной константы в плотностной теореме // Матем. заметки. 1994. Том 55, №2. С. 59--61.Huxley, M. N. 1972, ``On the difference between consequtive primes``, Invent. Math. vol. 15, \newline № 1. p. 164--170.Ivic A. The Riemann zeta-function// New York, John Wiley and Sons, 1985.Gritsenko, S. A. 1994, ``The refinement of a constant in the density theorem``, Mathematical Notes. Vol. 55, №2. p. 142--143.Ivic A. Topics in recent zeta-function theory//Publ. Math. d'Orsay, Universite de Paris-Sud, Orsay, 1983.Ivic, A. 1985, ``The Riemann zeta-function``, New York, John Wiley and Sons.Ivic A. A note on the zero-density estimates for the zeta-function// Arch. Math. 1979. Vol. 33. P. 155--164.Ivic, A. 1983, ``Topics in recent zeta-function theory``, Publ. Math. d'Orsay, Universite de Paris-Sud, Orsay.Ivic A. Exponent pairs and the zeta-function of Riemann// Studia Sci. Math. Hung. 1980. Vol. 15. P. 157--181.Ivic, A. 1979, ``A note on the zero-density estimates for the zeta-function``, Arch. Math. vol. 33. P. 155--164.Линник Ю.В. О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутивной теории чисел// ДАН СССР. 1945. Том 49, №1. с. 3--7.Ivic, A. 1980, ``Exponent pairs and the zeta-function of Riemann``, Studia Sci. Math. Hung. \newline vol. 15. P. 157--181.Линник Ю.В. Об одной теореме теории простых чисел// ДАН СССР. 1945. Том 47, №1. с. 7--9.Linnik, U. V. 1945, ``On the possibility of a unified method in certain questions of additive and multiplicative number theory``, Doklady of the Academy of Sciences of the USSR. vol. 49, №1. p. 3--7.Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана// М.: Физматлит, 1994.Linnik, U. V. 1945, ``On a theorem of the theory of primes``, Doklady of the Academy of Sciences of the USSR. vol. 47, №1. p. 7--9.Baker R.C., Harman G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II// Proceeding of the London Mathematical Society. 2001. Vol. 83, №3.Voronin, S. M. & Karatsuba, A. A. 1994, ``The Riemann zeta function (Russian)``, FML, Moscow.Гирько В.В., Гриценко С.А. Об одном диофантовом неравенстве с простыми числами // Чебышевский сборник. Том 7, №4. С. 26--30.Baker, R. C., Harman, G., & Pintz, J. 2001, ``The difference between consecutive primes, II``. Proceeding of the London Mathematical Society. vol. 83, №3. p. 121--159.Гриценко С.А., Нгуен Тхи Ча О диофантовых неравенствах с простыми числами// Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика, Физика, 2012. 23(142). Вып. 29.Gir'ko, V. V., & Gritsenko, S. A., 2006, ``On a diophantine inequality with primes`` (In Russian), Chebyshevskii sbornik. vol. 7, №4. p. 26--30.Науменко А.П. О нелинейных диофантовых неравенствах с простыми числами// Труды XV Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия. Современные проблемы и приложения" , Тула, 2018 г. с. 239--241.Gritsenko, S. A., & Nguyen Thi Tcha, 2012, ``On diophantine inequalities with primes`` (In Russian), Nauchnyye vedomosti BelGU, Series: Math. Physics. Vol. 23(142), №29. p. 48--52.Науменко А.П. О некоторых нелинейных диофантовых неравенствах с простыми числами// Математические заметки. 2018. Том 104. (принято к печати)Naumenko, A. P., 2018, ``On nonlinear diophantine inequalities with primes``. Proceedings of the XV International Conference "Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: modern problems and applications»"\ , Tula. p. 239--241.Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел// М.: Наука, 1983. if 0Naumenko, A. P., 2018, ``On some nonlinear diophantine inequalities with primes``, Mathematical Notes. Vol. 104 (in press)Banks W. D., Conflitti A., Shparlinski I. E. Character sums over integers with restricted $g$-ary digits // Illinois J. Math. 2002. Vol. 46, №3. P. 819-836.Karatsuba, A. A., 1993, ``Basic analytic number theory (English)``, transl. from the Russian by M. B. Nathanson. Berlin: Springer-Verlag.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.