ассистенткафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственного университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.
candidate of~physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science, associate Professor of the Department of algebra, mathematical analysis and geometry
В работе продолжено рассмотрение нового класса рядово Дирихле --- дзета-функции моноидов натуральных чисел. Основной задачей, решаемой в данной статье, является построение моноида натуральных чисел, для которого дзета-функция этого моноида имеет заданную абсциссу абсолютной сходимости.
Ранее автор решил аналогичную задачу построения множества натуральных чисел, для которого соответствующая дзета-функция имеет заданную абсциссу абсолютной сходимости.
Для решения задачи для дзета-функции моноида натуральных чисел возникают определенные трудности, связанные с необходимостью построения последовательности простых чисел, удовлетворяющих определенным требованиям на рост членов.
Было введено понятие $\sigma$"=последовательности $\mathbb{P}_\sigma$ простых чисел, члены которой удовлетворяют неравенству $n^\sigma\le p_n<(n+1)^\sigma.$
С помощью теоремы Ингама с кубическим ростом простых чисел удалось построить $\sigma$"=последовательность простых чисел для любого $\sigma\ge3$. Для соответствующей дзета-функции моноида, порожденного данной $\sigma$"=последовательностью простых, абсцисса абсолютной сходимости равна $\frac{1}{\sigma}$. Таким образом, с помощью теоремы Ингама удалось решить проблему для значений абсциссы абсолютной сходимости от 0 до $\frac{1}{3}$. Для таких моноидов удается получить асимптотическую формулу для функции распределения простых чисел $\pi_{\mathbb{P}_\sigma}(x)$: $\pi_{\mathbb{P}_\sigma}(x)=x^{\frac{1}{\sigma}}+\theta(x)$, где $-2<\theta(x)<-1$.
Для доказательства существования моноида натуральных чисел, для дзета-функции которого значение абсциссы абсолютной сходимости от $\frac{1}{3}$ до 1, потребовалось использовать теорему Россера о простых числах. Для этого было введено понятие $\sigma$"=последовательности второго рода.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
The paper continues consideration of a new class of the Dirichlet --- Zeta function of monoids of natural numbers. The main task solved in this paper is to construct a monoid of natural numbers for which the Zeta function of this monoid has a given abscissa of absolute convergence.
Previously, the author solved a similar problem of constructing a set of natural numbers for which the corresponding Zeta function has a given abscissa of absolute convergence.
To solve the problem for the Zeta function of the monoid of natural numbers there are certain difficulties associated with the need to build a sequence of primes that meet certain requirements for the growth of terms.
The notion $\sigma$"=sequences $\mathbb{P}_\sigma$ of primes was introduced, whose terms satisfy the inequality $n^\sigma\le p_n<(n+1)^\sigma.$
With the help of a theorem of Ingham with a cubic growth of Prime numbers was able to build a $\sigma$"=a sequence of primes for any $\sigma\ge3$. For the corresponding Zeta function of a monoid generated by a given $\sigma$ " =sequence of primes, the abscissa of absolute convergence is $\frac{1}{\sigma}$. Thus, with the help of Ingam's theorem it was possible to solve the problem for the abscissa values of absolute convergence from 0 to $\frac{1}{3}$. For such monoids it is possible to obtain an asymptotic formula for the Prime number distribution function $\pi_{\mathbb{P}_\sigma}(x)$: $\pi_{\mathbb{P}_\sigma}(x)=x^{\frac{1}{\sigma}}+\theta(x)$, where $-2<\theta(x)<-1$.
To prove the existence of a monoid of natural numbers, for whose Zeta function the abscissa value of absolute convergence is from $\frac{1}{3}$ to 1, it was necessary to use Rosser's Prime number theorem. For this purpose, the concept $\sigma$"=sequences of the second kind was introduced.
In conclusion, topical problems with zeta-functions of monoids of natural numbers that require further investigation are considered.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.