chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2018-19-2-111-122cheb-467Research ArticleСтатьиArticleКвазигруппы и их приложенияQuasigroups and their applicationsАртамоновВячеслав АлександровичArtamonovVyacheslav Alexandrovich

доктор физико-математичес-ких наук, профессор, заведующий кафедрой высшей алгебры, заведующий кафедрой информатики и математики

doctor of~physical and mathemati\-cal sciences, professor, head of~the~department higher algebra's, head of the department of informatics and mathematics

viacheslav.artamonov@gmail.comМосковский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Всероссийская академия внешней торговли; Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ.РоссияM. V. Lomonosov Moscow State University; Russian foreign trade academy; Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration.Russian Federation201819122018192Том 19, № 2, 2018111122Copyright © Артамонов В.А., 20192019Артамонов В.А.Artamonov V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/467

В работе приводится обзор результатов, получен\-ных в ходе работы по теме 0АААА-А16-116070810025-5 и по завершившемуся совместному проекту с индийскими алгебра\-истами С. Чакрабарти, С. Гангопапдуем, С. Палом. В работе приняли участие российские алгебраисты В.Т. Марков и А.Е. Панкратьев.

Цель работы состоит в изучении алгебраических свойств ко\-нечных полиномиально полных квазигрупп, проблемы их рас\-ознавания по латинскому квадрату и в построении полиноми\-ально полных квазигрупп квазигрупп достаточно большого по\-рядка. Кроме того, нас интересуют полиномиально полные квазигруппы без подквазигрупп. Приведены достаточные ус\-ловия полиномиально полноты квазигруппы $Q$ в терминах груп\-пы $G(Q)$. Например, достаточно, чтобы $G(Q)$ действовала два\-жды транзитивно на $Q$. Отмечено поведение $G(Q)$ при изото\-пиях. Показано что любую конечную квазигруппу можно вло\-жить в полиномиально полную. Рассмотрена конструкция би\-произведения квазигрупп. Результаты применяются для за\-щиты информации.

A survey of results obtained within the project 0AAAA-A16-116070810025-5 and the recent joint project with Indian algebraists S.Chakrabarti, S. Gangopahyay, S. Pal and also with Russian participants V.T. Markov, A.E. Pankratiev.

The aim of projects is a study of algebraic properties of finite polynomially complete quasigroups, the problem of their recognition from its Latin square and constructions of polynomially complete quasigroups of sufficiently large order. We are also interested in poly nomially complete quasigroups with no subquasigroups. There are found sufficient conditions of polynomial completeness of a quasigroups $Q$ in terms of a group $G(Q)$. For example it suffices if $G(Q)$ acts doubly transitive in $Q$. There is found a behaviour of $G(Q)$ under isotopies.

It is shown that any finite quasigroup can be embedded into a polynomial complete one. The results are applied for securing an information.

квазигруппылатинские квадратыгруппы перестановоктранзитивность.quasigroupsLatin squrespermutation groupstransitivityРабота выполнена в рамках темы 0АААА-А16-116070810025-5 "Алгебраические системы: группы, кольца, универсальные алгебры; алгебраическая геометрия; группы Ли и теория инвариантов; компьютерная алгебра, теория кодирования"ReferencesHagemann, J. and Herrmann C., Arithmetically locally equational classes and representation of partial functions, Universal algebra, Estergom (Hungary), vol.29, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 1982, 345-360Hagemann, J. and Herrmann C., 1982, "Arithmetically locally equational classes and representation of partial functions", \emph{ Universal algebra, Estergom (Hungary)}, vol.29, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, pp. 345-360G. Horvath, C. L. Nehaniv, Cs. Szabo. An assertion concerning functionally complete algebras and NP-completeness. Theoret. Comput. Sci., 407:591–595, 2008.Horvath, G. Nehaniv, C.L. Szabo, Cs., 2008, "An assertion concerning functionally complete algebras and NP-completeness". \emph{Theoret. Comput. Sci.}, vol. 407, pp. 591–595.Ihringer T.: On multiplication groups of quasigroups, European J. Combin. 5, 1984, 137-141.Ihringer T., 1984, On multiplication groups of quasigroups, \emph{European J. Combin.} vol 5, pp. 137-141.V.A. Artamonov, S. Chakrabarti, S. Gangopadhyay, S. K. Pal, On Latin squares of polynomially complete quasigroups and quasigroups generated by shifts, Quasigroups and related systems, 21 (2013), 201-214.Artamonov, V.A. Chakrabarti, S. Gangopadhyay, S. Pal, S. K., 2013, "On Latin squares of polynomially complete quasigroups and quasigroups generated by shifts", \emph{Quasigroups and related systems,} vol. 21, pp. 201-214.V.A. Artamonov, S. Chakrabarti, S. K. Pal, Characterization of Polynomially Complete Quasigroups based on Latin Squares for Cryptographic Transformations, Discrete Applied Mathematics (2016), pp. 5-17[2016] Artamonov, V.A. Chakrabarti, S. Pal, S.K. 2016, "Characterization of Polynomially Complete Quasigroups based on Latin Squares for Cryptographic Transformations", \emph{Discrete Applied Mathematics} vol. 200, pp. 5-17V.A. Artamonov , S. Chakrabarti, S.K.~Pal, Characterizations of highly non-associative quasigroups and associative triples, Quasigroups and related systems, 25(2017) 1-19.[2017] Artamonov, V.A. Chakrabarti, S. Pal, S.K. 2017, "Characterizations of highly non-associative quasigroups and associative triples", \emph{Quasigroups and related systems}, vol. 25, pp. 1-19.M.M. Glukhov, On applications of quasigroups in cryptography, Appl. Discrete Math. 2(2008), 28-32.Glukhov,M.M., 1978, "On applications of quasigroups in cryptography", \emph{Appl. Discrete Math.} vol. 2, pp. 28-32.Kepka T., A note on simple quasigroups. Acta Univ. Carolin. Math. Phys., 19(2):59–60, 1978.Kepka T., 1978, "A note on simple quasigroups". \emph{Acta Univ. Carolin. Math. Phys.} vol. 19, no. 2, pp. 59–60.Otokar Grov{s}ek, Peter Hor'ak, On quasigroups with few associative triples, Des. Codes Cryptogr. (2012), 64, 221--227.Gro\v{s}ek, Otokar Peter Hor\'ak, Peter, 2012, "On quasigroups with few associative triples", \emph{Des. Codes Cryptogr.}, vol. 64, pp. 221--227.Belyavskaya G.B., Tabarov A.H. A characterization of linear and a linear quasigroups, Discrete Math., 4(1992), N 2, 142-147.Belyavskaya G.B., Tabarov A.H. 1992, "A characterization of linear and a linear quasigroups", \emph{Discrete Math.}, vol. 4, no 2, pp. 142-147.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.