доктор физико-математических наук, профессоркафедры прикладной математики и информатики
professor of the department of applied mathe\-matics and computer science, doctor of physical and mathematical sciences
доктор физико-математических наук, профессор, заведующийкафедрой прикладной математики и информатики института прикладной математикии компьютерных наук
Head of the department of applied mathe\-matics and computer science, doctor of physical and mathematical sciences
Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяютследующему свойству:\[\int_{-R}^{R}f(x)\,dx\le C(R)\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad R\ge 1,\tag{$*$}\]где наименьшая положительная константа $C(R)$ не зависит от $f$. При $R=2$ этосвойство хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеютприложения в теории чисел.
В одномерном случае неравенство~($*$) изучалось Б.Ф.~Логаном (1988), а такженедавно А.~Ефимовым, М.~Гаалом и Сц.~Ревешем (2017). Было доказано, что$2R-1\le C(R)\le 2R+1$ для $R=2,3,\ldots$, откуда следует, что $C(R)\sim 2R$.Вопрос о точных константах здесь открыт.
Многомерный вариант неравенства ($*$) для евклидова пространства$\mathbb{R}^{n}$ исследовался Д.В.~Горбачевым и С.Ю.~Тихоновым (2018). Вчастности доказано, что для непрерывных положительно определенных функций$f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{+}$\[\int_{|x|\le R}f(x)\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{|x|\le 1}f(x)\,dx,\]где $c_{n}\le 2^{n}n\ln n\,(1+o(1))(1+R^{-1})^{n}$ при $n\to \infty$. Отсюда нарадиальных функциях получаем одномерное весовое неравенство\[\int_{0}^{R}f(x)x^{n-1}\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{0}^{1}f(x)x^{n-1}\,dx,\quad n\in \mathbb{N}.\]
Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:\[\int_{0}^{R}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx\leC_{\alpha}(R)\int_{0}^{1}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx,\quad \alpha\ge -1/2,\]где $f\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$~--- произвольная четнаянепрерывная положительно определенная функция относительно веса$x^{2\alpha+1}$. Это понятие было введено Б.М.~Левитаном (1951) и означает, чтодля произвольных $x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb{R}_{+}$ матрица$(T_{\alpha}^{x_i}f(x_j))_{i,j=1}^{N}$ неотрицательно определенная. Здесь$T_{\alpha}^{t}$~--- оператор обобщенного сдвига Бесселя--Гегенбауэра. Левитандоказал аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласнокоторому $f$ имеет неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры).
Мы доказываем, что для каждого $\alpha\ge -1/2$\[c_{1}(\alpha)R^{2\alpha+2}\le C_{\alpha}(R)\le c_{2}(\alpha)R^{2\alpha+2},\quadR\ge 1.\]Нижняя оценка тривиально достигается на функции $f(x)=1$. Для доказательстваверхней оценки мы применяем нижние оценки сумм вида$\sum_{k=1}^{m}a_{k}T^{x_{k}}\chi(x)$, где $\chi$~--- характеристическаяфункция отрезка $[0,1]$, а также свойства свертки Бесселя.
Continuous non-negative positive definite functions satisfy the followingproperty:\[\int_{-R}^{R}f(x)\,dx\le C(R)\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad R\ge 1,\tag{$*$}\]where the smallest positive constant $C(R)$ does not depend on $f$. For $R=2$,this property is well known as the doubling condition at zero. Theseinequalities have applications in number theory.
In the one-dimensional case, the inequality ($*$) was studied by B.F.~Logan(1988), as well as recently by A.~Efimov, M.~Ga\'al, and Sz.~R\'ev\'esz (2017).It has been proven that $2R-1\le C(R)\le 2R+1$ for $R=2,3,\ldots$, whence itfollows that $C(R)\sim 2R$. The question of exact constants is still open.
A multidimensional version of the inequality ($*$) for the Euclidean space$\mathbb{R}^{n}$ was investigated by D.V.~Gorbachev and S.Yu.~Tikhonov (2018).In particular, it was proved that for continuous positive definite functions$f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{+}$\[\int_{|x|\le R}f(x)\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{|x|\le 1}f(x)\,dx,\]where $c_{n}\le 2^{n}n\ln n\,(1+o(1))(1+R^{-1})^{n}$ при $n\to \infty$. Forradial functions, we obtain the one-dimensional weight inequality\[\int_{0}^{R}f(x)x^{n-1}\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{0}^{1}f(x)x^{n-1}\,dx,\quad n\in\mathbb{N}.\]
We study the following natural weight generalization of such inequalities:\[\int_{0}^{R}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx\leC_{\alpha}(R)\int_{0}^{1}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx,\quad \alpha\ge -1/2,\]where $f\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$ is an even positive definitefunction with respect to the weight $x^{2\alpha+1}$. This concept has beenintroduced by B.M.~Levitan (1951) and means that for arbitrary$x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb{R}_{+}$ matrix$(T_{\alpha}^{x_i}f(x_j))_{i,j=1}^{N}$ is semidefinite. Here $T_{\alpha}^{t}$is the Bessel--Gegenbauer generalized translation. Levitan proved an analogueof the classical Bochner theorem for such functions according to which $f$ hasthe nonnegative Hankel transform (in the measure sense).
We prove that for every $\alpha\ge -1/2$\[c_{1}(\alpha)R^{2\alpha+2}\le C_{\alpha}(R)\le c_{2}(\alpha)R^{2\alpha+2},\quadR\ge 1.\]The lower bound is trivially achieved on the function $f(x)=1$. To prove theupper bound we apply lower estimates of the sums$\sum_{k=1}^{m}a_{k}T^{x_{k}}\chi(x)$, where $\chi$ is the characteristicfunction of the segment $[0,1]$, and also we use properties of the Besselconvolution.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.