professor of the department of applied mathematics and computer science, doctor of physical and mathematical sciences
candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science
Недавно Арестов, Бабенко, Дейкалова и Horv\'ath установили ряд интересныхрезультатов относительно точной константы Никольского$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)$ в весовом неравенстве\[\sup_{x\in [0,\infty)}|f(x)|\le\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}\biggl(2\int_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}x^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}\]для подпространства $\mathcal{E}^{\sigma}\capL^{p}(\mathbb{R}_{+},x^{2\alpha+1}\,dx)$ четных целых функций $f$экспоненциального типа не больше $\sigma>0$, где $1\le p<\infty$ и $\alpha\ge-1/2$.
Мы доказываем, что при тех же $\alpha$ и $p$\[\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p),\]где $\mathcal{L}(\alpha,p)$~--- точная константа в неравенстве Никольского\[\sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|\le \mathcal{L}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^{p}|x|^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}\]для произвольных (не обязательно четных) функций $f\in\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}:=\mathcal{E}^{\sigma}\capL^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$.
Также мы даем границы для нормализованной константы Никольского\[\mathcal{L}^{*}(\alpha,p):=(2^{2\alpha+2}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+2))^{1/p}\mathcal{L}(\alpha,p),\]которые имеют следующий вид:\[\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\le \lceil p/2\rceil^{\frac{2\alpha+2}{p}},\quad p\in(0,\infty),\]и для фиксированного $p\in [1,\infty)$\[\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\ge (p/2)^{\frac{2\alpha+2}{p}\,(1+o(1))},\quad\alpha\to \infty.\]Верхняя оценка точная тогда и только тогда, когда $p=2$. В этом случае$\mathcal{L}^{*}(\alpha,2)=1$ для каждого $\alpha\ge -1/2$.
Наш подход опирается на одномерный гармонический анализ Данкля. В частности,для доказательства равенства$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p)$ применяется четныйположительный оператор обобщенного сдвига Данкля $T^{t}$, который ограничен в$L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ с константой~$1$ и инвариантен наподпространстве $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$.
Доказательство верхней оценки константы $\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)$ основано наоценке норм воспроизводящего ядра подпространства $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$и мультипликативном неравенстве для константы Никольского. Для получения нижнейасимптотической оценки мы рассматриваем нормированную функцию Бесселя$j_{\nu}\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ порядка $\nu\sim (2\alpha+2)/p$.
Recently Arestov, Babenko, Deikalova, and Horv\'ath have established a seriesof interesting results correspondent to the sharp Nikolskii constant$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)$ in the weighted inequality\[\sup_{x\in [0,\infty)}|f(x)|\le\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}\biggl(2\int_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}x^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}\]for the subspace $\mathcal{E}^{\sigma}\capL^{p}(\mathbb{R}_{+},x^{2\alpha+1}\,dx)$ of even entire functions $f$ ofexponential type at most $\sigma>0$, where $1\le p<\infty$ and $\alpha\ge -1/2$.
We prove that, for the same $\alpha$ and $p$\[\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p),\]where $\mathcal{L}(\alpha,p)$ is the sharp constant in the Nikolskii inequality\[\sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|\le \mathcal{L}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^{p}|x|^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}\]for any (not necessary even) functions $f\in\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}:=\mathcal{E}^{\sigma}\capL^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$.
Also we give bounds of the normalized Nikolskii constant\[\mathcal{L}^{*}(\alpha,p):=(2^{2\alpha+2}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+2))^{1/p}\mathcal{L}(\alpha,p),\]which are as follows:\[\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\le \lceil p/2\rceil^{\frac{2\alpha+2}{p}},\quad p\in(0,\infty),\]and for fixed $p\in [1,\infty)$\[\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\ge (p/2)^{\frac{2\alpha+2}{p}\,(1+o(1))},\quad\alpha\to \infty.\]The upper estimate is sharp if and only if $p=2$. In this case,$\mathcal{L}^{*}(\alpha,2)=1$ for each $\alpha\ge -1/2$.
Our approach relies on the one-dimensional Dunkl harmonic analysis. To provethe identity $\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p)$ we usethe even positive Dunkl-type generalized translation operator $T^{t}$ such thatis bounded on $L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ with constant one andinvariant on the subspace $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$.
The proof of the upper estimate of the constant $\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)$ isbased on estimation of norms of the reproducing kernel for the subspace$\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ and the multiplicative inequality for theNikolskii constant. To obtain the lower estimate we consider the normalizedBessel function $j_{\nu}\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ of order $\nu\sim(2\alpha+2)/p$.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.