Арифметические свойства значений гипергеометрической функции изучались различными методами, начиная с работы К.~Зигеля 1929 г.. Это направление теории диофантовых приближений исследовалось такими авторами как М.~Хата [1]-[2], Ф.~Аморозо и К.~Виола [3], А.~Хеймонен, В.~Матала-Ахо и К.~Ваананен [4]-[5] и многими другими. В последние десятилетия был получен ряд интересных результатов в этой области, усилено много ранее известных оценок меры иррациональности, как для значений гипергеометрической функции, так и для других величин.
В настоящее время одним из широко применяемых подходов при построении оценок показателя иррациональности является использование интегральных конструкций, симметричных относительно какой-либо замены параметров. Симметризованные интегралы и ранее использовались разными авторами, например, в работе Дж.~Рина [6], но наиболее активное развитие это направление приобрело после работы В.~Х.~Салихова [7], получившего с помощью симметризованного интеграла новую оценку для $\ln{3}$. Впоследствии симметричность различного типа позволила доказать ряд значимых результатов. Были получены новые оценки для некоторых значений логарифмической функции, функции $\arctg{x}$, классических констант (см., например, [8] -- [18]). В 2014~г., используя общие симметризованные многочлены первой степени вида $At-B$, где $t=(x-d)^2$, К.~Ву и Л.~Ванг усилили результат В.~Х.~Салихова о мере иррациональности $\ln{3}$ (см.[19]). В работе [20] идея симметричности была применена к интегралу Р.~Марковеккио, доказавшего ранее новую оценку для $\ln{2}$ в [21], что позволило улучшить результат для $\pi/3$.
Данная статья является продолжением работы [22], обобщающей результаты для двух типов симметричных интегральных конструкций. Первая позволяет более эффективно оценить показатели иррациональности чисел вида $\sqrt{d}\ln{\frac{\sqrt{d}+1}{\sqrt{d}-1}}$ при $d=2^{2k+1}, d=4k+1$ для некоторых $k\in\mathbb N$ (см. [22]). Используя данный интеграл, также можно получить оценки меры иррациональности чисел $\sqrt{4k+3}\ln{\frac{\sqrt{4k+3}+1}{\sqrt{4k+3}-1}},\ k\in\mathbb N$. Вторая рассматриваемая интегральная конструкция дает возможность оценивать меру иррациональности некоторых значений логарифмической функции, используя симметричность другого типа, что было подробно рассмотрено в [22]. Данный интеграл позволяет также оценивать меру иррациональности значений $\frac{1}{\sqrt{k}}\arctg{\frac{1}{\sqrt{k}}}$. Обобщение этого случая предлагается в данной работе.
The arithmetic properties of the values of hypergeometric function have been studied by various methods since the paper of C. Siegel in 1929. This direction of the theory of Diophantine approximations was studied by such authors as М.~Hata [1]-[2], F.~Amoroso and C.~Viola [3], A.~Heimonen, T.~Matala-aho and K.~V\"{a\"{a}}n\"{a}nen [4]-[5] and other. In recent decades, a number of interesting results in this area have been obtained, many of the previously known estimates for the irrationality measures for values of hypergeometric functions, and other variables have been improved.
Currently one of the widely used approaches in the construction of estimates of the irrationality measure is the use of integral constructions symmetric with respect to replacement of parameters. Symmetrized integrals have been previously used by different authors, for example in the G.~Rhin's article [6], but the most active development of this direction was acquired after the work of V.~,Kh.~Salikhov [7], who received a new estimate for $\ln{3}$ using the symmetrized integral. Subsequently, the symmetry of different types allowed to prove a number of significant results. New estimates for some values of the logarithmic function, the function $\arctg{x}$, and classical constants were obtained (see, for example, [8] -- [18]). In 2014 Q.~Wu and L.~Wang intensified V.~H.~Salikhov's result of the irrationality measure of $\ln{3}$ using common symmetrized polynomials $At-B$, where $t=(x-d)^2$ (see [19]). In the V.~A.~Androsenko's article the idea of symmetry was applied to the integral of Marcovecchio, who previously proved a new estimate for $\ln{2}$ in [21], and it allowed to improve the result for $\pi/3$.
This paper is a continuation of article [22] generalizing results for two types of symmetric integral constructions. The first allows to estimate more effectively the measure of irrationality of numbers of the form $\sqrt{d}\ln{\frac{\sqrt{d}+1}{\sqrt{d}-1}}$ at $d=2^{2k+1}, d=4k+1$ for some $k\in\mathbb N$ (see [22]). It is also possible to obtain estimates of the irrationality measure of numbers $\sqrt{4k+3}\ln{\frac{\sqrt{4k+3}+1}{\sqrt{4k+3}-1}},\ k\in\mathbb N$ using this integral. The second considered integral construction makes it possible to estimate the measure of irrationality of some values of the logarithmic function using another type of symmetry, what was discussed in detail in [22]. This integral also allows to estimate the measure of irrationality of values $\frac{1}{\sqrt{k}}\arctg{\frac{1}{\sqrt{k}}}$. A generalization of this case is proposed in this paper.