Рарова Елена Михайловна — заместитель декана
Rarova Elena Mikhailovna — deputy dean
Работа посвящена изучению тригонометрических сумм алгебраических сеток с весами, которые играют центральную роль в модификации метода К. К. Фролова, предложенной Н. М. Добровольским в 1984 году. Тригонометрическую сумму алгебраической сетки с весами для вектора ⃗m = ⃗0, естественно, назвать взвешенным числом точек алгебраической сетки.
Во введении данной работы предложено обоснование актуальности темы исследования, даются необходимые определения и факты из современной теории метода К. К. Фролова, доказывается важная теорема о разложении тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки. В разделе «Вспомогательные леммы» приводятся без доказательства необходимые факты из теории весовых функций специального вида, которые играют принципиальную роль в модификации Н. М. Добровольского метода К. К. Фролова.
Используя теорему о разложении тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки и лемму о значении тригонометрического интеграла от весовой функции, в работе выводится асимптотическая формула для взвешенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка 2, которая утверждает, что такое число стремится к единице. Аналогично, показано, что при росте детерминанта алгебраической решётки для любого вектора ⃗m ≠ ⃗0, тригонометрическая сумма алгебраических сеток с весами, заданной специальной весовой функцией, стремится к 0.
Для простоты изложения в основном тексте статьи рассматривается только случай простейшей весовой функции порядка 2.
В заключении сформулированы без доказательства аналогичные утверждения о значениях тригонометрических сумм алгебраических сеток со специальными весовыми функциями порядка r + 1 для произвольного натурального r.
А именно, утверждается, что для взвешенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка r справедливо стремление к 1 с остаточным членом порядка s−1 логарифма детерминанта алгебраической решётки, делённого на r + 1 степень детерминанта алгебраической решётки. Аналогичное утверждение справедливо о стремлении к нулю тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами, заданной специальной весовой функцией порядка r + 1.
The paper is devoted to the study of trigonometric sums of algebraic grids with weights, which play a Central role in the modification of K. K. Frolov’s method proposed by N. M. Dobrovolsky in 1984. The trigonometric sum of the algebraic grid with weights for the vector ⃗m = ⃗0 is naturally called the weighted number of points of the algebraic grid.
In the introduction of this paper, the justification of the relevance of the research topic is proposed, the necessary definitions and facts from the modern theory of K. K. Frolov’s method are given, an important theorem on the decomposition of the trigonometric sum of an algebraic grid with weights in a row by points of an algebraic grid is proved. In the section "Auxiliary lemmas"the necessary facts from the theory of weight functions of a special kind which play a principal role in modification of H. M. Dobrovolsky are given without proof. method K. K. Frolov.
Using a theorem on the decomposition of the trigonometric sum of an algebraic grid with weights in a row by points of an algebraic grid and a Lemma on the value of a trigonometric integral of the weight function, we derive an asymptotic formula for the weighted number of points of an algebraic grid with a special weight function of order 2, which States that such a number tends to unity.
Similarly, it is shown that when the determinant of an algebraic lattice grows for any vector ⃗m ≠ ⃗0, the trigonometric sum of algebraic grids with weights given by the special weight function tends to 0.
For simplicity, only the case of the simplest weight function of order 2 is considered in the main text of the article.
In conclusion, we formulate without proof similar statements about the values of trigonometric sums of algebraic grids with special weight functions of the order r + 1 for any natural R.
Namely, it is argued that for the weighted number of points of algebraic nets with a special weight function r is true desire-to-1 with the residual member of the order s−1 of the logarithm of the determinant is an algebraic lattice, divided by r + 1 the degree of the determinant is an algebraic lattice. A similar statement is true about the tendency to zero the trigonometric sum of an algebraic grid with weights given by a special weight function of the order r + 1.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.