chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2018-19-1-176-186cheb-433Research ArticleСтатьиArticleМногообразия с дробным полиномиальным ростом и проблема ШпехтаVariety with fractional codimension growth and the Specht problemМищенкоС. П.MishchenkoS. P.

Мищенко Сергей Петрович — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики

Mishchenko Sergey Petrovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, professor of the department of applied mathematics

mishchenkosp@mail.ruШулежкоО. В.ShulezhkoO. V.

Шулежко Олеся Владимировна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры, заместитель декана по воспитательной работе факультета ФМиТО

Shulezhko Olesya Vladimirovna — candidate of physics-mathematical sciences, associate professor, deputy dean for educational work of the faculty Fmita

ol.shulezhko@gmail.comУльяновский государственнчый университетРоссияUlyanovsk state UniversityRussian FederationУльяновский государственный педагогический университет имени И.Н. УльяноваРоссияUlyanovsk state pedagogical University named after I.N. UlyanovRussian Federation201814102018191176186Copyright © Мищенко С.П., Шулежко О.В., 20182018Мищенко С.П., Шулежко О.В.Mishchenko S.P., Shulezhko O.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/433

Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, следуя А.И. Мальцеву, называется многообразием. Используя язык теории алгебр Ли будем говорить, что алгебра метабелева, если она удовлетворяет тождеству (xy)(zt) ≡ 0. Многообразие называется шпехтовым, если оно само и любое его подмногообразие обладает конечным базисом тождеств. Рост многообразия определяется ростом последовательности размерностей полилинейных частей относительно свободной алгебры многообразия. Эту последовательность традиционно называют последовательностью коразмерностей, имея в виду полилинейные пространства идеала тождеств многообразия. В данной статье приведены результаты связанные с проблемой дробного полиномиального роста. Дается обзор новых примеров таких многообразий, а также приводятся новые примеры многообразий, которые не удовлетворяют свойству шпехтовости, то есть которые обладают бесконечно базируемыми подмногообразиями.

According to A.I. Maltsev, a set of linear algebras in which a fixed set of identities is called a variety. Using the language of the theory of Lie algebras, we say that the algebra is metabelian if it satisfies the identity (xy)(zt) ≡ 0. A variety is called Specht if it is such a variety and any of its subvariety has a finite basis of identities. Codimension growth is determined by sequence of dimensions multilinear parts of a relatively free algebra of a variety. This sequence is called a sequence codimensions, referring to the multilinear spaces of the ideal identities of the variety. This article presents the results related to the problem of fractional polynomial growth. The review gives new examples of such varieties, and also give a new example of a variety with an infinite basis of identities.

тождествомногообразиерост коразмерностейметабелевостьшпехтовостьidentityvarietycodimensionmetabelianshpechtReferencesGiambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Providence: American Mathematical Society,2005. 352 p. (Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122.)Giambruno, A., Zaicev, M. 2005, “Polynomial Identities and Asymptotic Methods”, Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RI, vol. 122, 352 p.Мальцев А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Математический сборник. 1950. Т. 26(68), № 1. С. 19–33.Mal’tsev, A.I. 1950. “On algebras defined by identities,” Mat. Sb., vol. 26(68), issue 1, pp. 19–33. (in Russian)Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals // Proc. of the International Conference on Algebra Honoring A. Malcev, Contemp. Math. 1992. Vol. 131, p. 2. P. 285–300.Drensky, V. 1992, ”Relations for the cocharacter sequences of T-ideals”, Proc. of the International Conference on Algebra Honoring A. Malcev, Contemp. Math., vol.131, part 2, pp. 285–300.Mishchenko S., Valenti A. Codimension and colength sequences of algebras and growth phenomena // Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences. 2016. Vol. 10, is. 2. P. 263–272.Mishchenko, S., Valenti, A. 2016, ”Codimension and colength sequences of algebras and growth phenomena”,Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences, vol. 10 , issue 2, pp. 263–272. Article First Online: 30 November 2015 DOI: 10.1007/s40863-015-0025-1Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Algebras with intermediate growth of the codimensions // Adv. in Appl. Math. 2006. Vol. 37, № 3. P. 360–377.Giambruno, A., Mishchenko, S., Zaicev, M. 2006, ”Algebras with intermediate growth of the codimensions”, Adv. in Appl. Math. 37, no. 3, pp.360 – 377.Mishchenko S.P., Zaicev M.V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent // Journal of Mathematical Sciences. 1999. Vol. 93, № 6. P. 977–982.Mishchenko, S.P., Zaicev, M.V. 1999, ”An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent”, Journal of Mathematical Sciences (New York), vol. 93,no 6, pp. 977–982.Malyusheva O., Mishchenko S., Verevkin A. Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents // Compt. rend. Acad. Bulg. Sci. 2013. Vol. 66, № 3. P. 321–330.Malyusheva,O., Mishchenko, S., Verevkin, A. 2013, ”Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents”, Compt. rend. Acad. Bulg. Sci., 66, no 3, pp. 321–330.Bogdanchuk O. A., Mishchenko S. P., Verëvkin A. B. On Lie algebras with exponential growth of the codimensions // Serdica Math. J. 2014. Vol. 40, № 3-4. P. 209–240.Bogdanchuk, O.A., Mishchenko, S.P., Verëvkin,A.B. 2014, ”On Lie algebras with exponential growth of the codimensions”, Serdica Math. J., vol. 40, no 3-4, pp. 209–240.Мищенко С. С. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2011. № 6. С. 44–47.Mishchenko, S.S., 2011, "New example of a variety of lie algebras with fractional exponent", Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., no 6, pp. 44–47; English translation in: Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 66, no 6, pp. 264–266.Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Codimensions of Algebras and Growth Functions // Advances in Mathematics. 2008. Vol. 217, № 3. P. 1027–1052.Giambruno, A., Mishchenko, S., Zaicev, M. 2008, ”Codimensions of Algebras and Growth Functions”, Advances in Mathematics, vol. 217, no 3, pp. 1027–1052.Zaicev M. On existence of PI-exponents of codimension growth // Electron. Res. Announc. Math. Sci. 2014. № 21. P. 113–119.Zaicev, M. 2014, ”On existence of PI-exponents of codimension growth”, Electron. Res. Announc. Math. Sci., vol.21, pp. 113–119.Зайцев М. В., Мищенко С. П. Пример многообразия линейных алгебр с дробным полиномиальным ростом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2008. № 1. С. 25–31.Zaicev, M., Mishchenko, S. 2008, ”The example of linear algebras variety with fractional polynomial growth”, Vestn. Mosk. Univ., ser. I , vol.1, pp. 25–31. (in Russian)Мищенко С. П. Пример многообразия линейных алгебр с дробным полиномиальным ростом меньшим трех // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2013. № 3, С. 51–54.Mishchenko,S.P.2013,”Theexampleoflinearalgebrasvarietywithfractionalpolynomialgrowth less than 3”, Vestn. Mosk. Univ., ser. I , no 3, pp. 51–54. (in Russian)Polynomial codimension growth and Specht problem / A. Giambruno [et al.]. // Journal of Algebra. 2017. № 469. P. 421-436.Giambruno, A., Mishchenko S., Valenti, A., Zaicev, M. 2017, ”Polynomial codimension growth and Specht problem”, Journal of Algebra, no. 469 , pp. 421-436.Giambruno A., Mishchenko S. P. Polynomial growth of the codimensions: A characterization // Proc. Amer. Math. Soc. 2010. Vol. 138, No 3. P. 853–859.Giambruno, A., Mishchenko, S.P. 2010, ”Polynomial growth of the codimensions: A characOfitserovterization”, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 138, no 3, pp. 853–859.Мищенко С. П., Верёвкин А. Б. О многообразиях с тождествами однопорожденной свободной метабелевой алгебры // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, № 2(58). С. 21–55.Mishchenko, S.P., Verevkin, A.B. 2016, ”On varieties with identities of one generated free metabelian algebra”, Chebyshevskii sbornik, vol. 17, no. 2 (58), pp. 21–55. (in Russian)Дренски В. С. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр // Математический сборник. 1981. Т. 115 (157). С. 98-115.Drenski, V.S. 1982, ”Representations of the symmetric group and varieties of linear algebras”, Math. USSR Sbornik, vol. 43, no. 1, pp. 85–101.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.