References

cheb

Чебышевский сборник

Chebyshevskii Sbornik

2226-8383

Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University

10.22405/2226-8383-2018-19-1-167-175

cheb-432

Research Article

Статьи

Article

Развитие понятия «артиновость» для алгебр Ли

The development of the concept of "artinian"for Lie algebras

Мещерина

Е. В.

Mescherina

E. V.

Мещерина Елена Владимировна — старший преподаватель, кандидат физико-математических наук

Mescherina Elena Vladimirovna — senior lecturer, candidate of physical and mathematical sciences

elena_lipilina@mail.ru

Оренбургский государственный университетРоссияOrenburg State UniversityRussian Federation

2018

14102018

191167175

2018

Мещерина Е.В.

Mescherina E.V.

Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/432

В статье рассматривается развитие понятия "артиновость"для алгебр Ли. Понятие артиновости было введено для ассоциативных колец с условием минимальности. Одновременно с этим оно распространилось на модули и подалгебры. Чуть позже стали рассматривать артиновы йордановы алгебры. Для таких алгебр роль одностороннего идеала играет квадратичный идеал или, как назвал его Н.Джекобсон, вутренний идеал. Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахтурин, С.А. Пихтильков и В.М. Поляков. Они рассматривали специальные артиновы алгебры Ли. С.А. Пихтильков применял артиновы алгебры Ли для построения структурной теории специальных алгебр Ли. Джорджия Бенкарт определила артиновость для алгебр Ли через внутренние идеалы. Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиновости с помощью йордановых пар. Определение артиновости для алгебр Ли в данной статье представлено в трёх смыслах: через подалгебры, идеалы и внутренние идеалы. Представлена установленная авторами ранее связь между данными определениями. Рассмотрены примеры артиновых алгебр Ли. Описано применение артиновых алгебр Ли к решению проблемы Михалева: первичный радикал артиновой алгебры Ли является разрешимым.

In paper is considered the development of the concept of "artinian"for Lie algebras. The concept of artinian was introduced for associative rings with the minimality condition. At the same time, it extended to modules and subalgebras. A little later they began to consider Artinian Jordan algebras. For such algebras the role of a one-sided ideal is played by a quadratic ideal or, as N. Djecobson called it, the inner ideal. Artinian for Lie algebras through ideals determined Yu.A. Bakhturin, S.A. Pikhtilkov and V.М. Polyakov. They considered special Artinian Lie algebras. S.A. Pikhtilkov applied Artinian Lie algebras to construct the structural theory of special Lie algebras. Georgia Benkart defined the artinian for Lie algebras through inner ideals. F. Lopez, E. Garcia, G. Lozano explored the concept of the inner ideal applied to artinian with the help of Jordan pairs. The definition of artinian for Lie algebras in this paper is presented in three senses: via subalgebras, ideals, and inner ideals. The relationship established between these definitions is established by the authors earlier. Examples of Artinian Lie algebras are considered. The application of Artinian Lie algebras to the solution of the Mikhalev problem is described: the primary radical of the Artinian Lie algebra is solvable.

алгебры Липодалгебраартиновы алгебры Ливнутренний идеал алгебры Липервичный радикалконечномерные алгебры Либесконечномерные алгебры Лиассоциативое кольцоидеал кольцаусловие минимальности

Lie algebrasa subalgebraArtinian Lie algebrasan inner ideal of a Lie algebraa prime radicalfinite-dimensional Lie algebrasinfinite-dimensional Lie algebrasan associative ringan ideal of a ringand a minimality condition

References1

Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971. 279 с.

Lambek, I., 1971, Kol’ca i moduli [Rings and modules], Mir, Moscow. 279p.

Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972. 191 с.

Herstein, I., 1972, Nekommutativnye kol’ca [Noncommutative rings], Mir, Moscow. 191p.

Мещерина Е. В. История развития понятия "Внутренний идеал"// История науки и техники. 2015. № 9. С. 3-7.

Mescherina, E.V., 2015, “History of the development of the concept of "inner ideal".”, History of Science and Engineering, Moscow, no. 9, pp. 3-7.

McCrimmon K. Inner ideals in quadratic Jordan algebras // Trans. Amer. Math.Soc. 1971. Vol. 159. P. 445-468.

McCrimmon, K., 1971, “Inner ideals in quadratic Jordan algebras”, Trans. Amer. Math.Soc, USA, vol. 159, pp. 445-468.

Katz J. Isomorphisms of the lattice of inner ideals of certain quadratic Jordan algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 185. P. 309-329.

Katz, J., 1973, “Isomorphisms of the lattice of inner ideals of certain quadratic Jordan algebras”, Trans. Amer. Math.Soc, USA, vol. 185, pp. 309-329.

Бахтурин Ю. А. Артиновы специальные алгебры Ли // Алгебра. М.: Изд-во МГУ, 1982. С. 24-26.

Bakhturin, Yu.A., 1982, “Artinian special Lie algebras”, Algebra, Izd-vo MGU, Moscow, pp. 2426.

Пихтильков С. А. Артиновые специальные алгебры Ли // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сборник. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2001. С. 189-194.

Pikhtilkov, S.A., 2001, “Artinian special Lie algebra”, Algorithmic problems of the theory of groups and semigroups, Izd-vo Tul. gos. ped. univ. im. L.N.Tolstogo, Tula, pp. 189-194.

Пихтильков С. А., Поляков В. М. О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6, № 1. С. 163-169.

Pikhtilkov, S.A., Polyakov, V.M., 2005, “About locally nilpotent Artinian Lie algebras”, Chebyshevskii sbornik, vol. 6, issue 1, pp. 163-169.

Пихтильков С. А. Структурная теория специальных алгебр Ли : монография. Тула: Издво ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2005. 130 с.

Pikhtilkov, S.A., 2005, “Strukturnaya teoriya special’nyh algebr Li [The structural theory of special Lie algebras]”, Izd-vo TGPU im. L.N. Tolstogo, Tula, pp. 45-48.

Pikhtilkov S. A., Polyakov V. M. Artinal special Lie superalgebras // Bull. Academie de stinte a republicii Moldova. Matematica. 2004. Vol. 44, № 1. P. 116-119.

Pikhtilkov, S.A, Polyakov, V.M., 2004, “Artinian special Lie superalgebras”, Bull. Academie de stinte a republicii Moldova. Matematica, vol. 44, no. 1, pp. 116-119.

Benkart G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras // Transaction of the American Mathematical Society. 1977. Vol. 232. P. 61-81.

Benkart, G., 1977, “On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras”, Transaction of the American Mathematical Society, USA, vol. 232, pp. 61-81.

Benkart G. The Lie inner ideal structure of associative rings // J. of Algebra. 1976. Vol. 43. P. 561-584.

Benkart, G., 1976, “The Lie inner ideal structure of associative rings”, J. Algebra, USA, vol. 43, pp. 561-584.

Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. Inner ideals of finitary simple Lie algebras // J. Lie Theory. 2006. Vol. 16. P. 97-114.

Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M., 2006, “Inner ideals of the finitary simple Lie algebras”, J. Lie Theory, USA, vol. 16, pp. 97-114.

Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. Inner ideal structure of nearly artinian Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 2009. Vol. 137. P. 1-9.

Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M., 2009, “Inner ideal structure of almost artinian Lie algebras, Proc. Amer. Math. Soc, USA, vol. 137, pp. 1-9.

Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. An artinian theory for Lie algebras // J. of Algebra. 2008. Vol. 319, № 3. P. 938-951.

Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M., 2008, “An artinian theory for Lie algebras, Journal of Algebra, USA, vol. 319, no. 3, pp. 938-951.

Benkart G., Fernandez Lopez A. The inner ideal structure of associative rings revisited // Communications in Algebra. 2009. Vol. 37. P. 3833–3850.

Benkart, G., Fernandez Lopez A., 2009, “The inner ideal structure of associative rings revisited”, Communications in Algebra, USA, vol. 37, pp. 3833-3850.

Мещерина Е. В., Пихтильков С. А. О некоторых свойствах внутренних идеалов алгебры Ли // Вестник Оренбург. гос. ун-та. 2013. № 9 (158). С. 110-114.

Meshcherina, E.V., Pichtilkov, S.A., 2013,“On some properties of inner ideals of a Lie algebra”, Vestnik OGU, no. 9 (158), pp. 110-114.

Ольшанский А. Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1980. Т. 44, № 2. С. 309-321.

Olshansky, A.Yu., 1980, “Infinite group with subgroups of prime orders”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., part 44, no. 2, pp. 309-321.

Бейдар К. И., Зайцев М. В., Пихтильков С. А. Алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры // Вестник МГУ. Сер. 1.: Математика. Механика. 2002. № 5. С. 27-32.

Beidar, K.I., Zaytsev, M.V., Pikhtilkov, S.A., 2002, “Lie algebras with the maximality condition on abelian subalgebras”, Vestnik MGU, Ser. 1. Mat., Mekh., no. 5, pp. 27-32.

Мещерина Е. В. О различных определениях артиновости для алгебр Ли // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14. № 3 (47). С. 86-91; то же [Электронный ресурс] . URL: http://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/107/103

Meshcherina, E.V., 2013, “On the different definitions of Artinian for Lie Algebras”, Chebyshevskii sbornik, vol. 14, issue 3 (47), pp. 86-91. Available at: http://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/107/103

Балаба И. Н., Михалев А. В., Пихтильков С. А. Первичный радикал градуированных Ω-групп // Фундамент. и приклад. математика. 2006. Т. 12, № 2. С. 159-174.

Balaba, I.N., Mikhalev, A.V., Pikhtilkov, S.A., 2006, “The primary radical of graded Ω -groups”, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 12, no. 2, pp. 159-174.

Мещерина Е. В., Пихтильков С. А., Пихтилькова О. А. О проблеме А.В. Михалева для алгебр Лиebreak // Изв. Саратов. ун-та. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 4, ч. 2. С. 84-89.

Meshcherina, E.V., Pikhtilkov, S.A., Pikhtilkova, O.A., 2013, “On the problem of A.V. Mikhalev for Liealgebras”, Izvestiya Saratovskogo Universiteta. Novaya seriya. Seriya Mathematika. Mechanika. Informatika, vol. 4, part 2, pp. 84-89.

Благовисная А. Н., Пихтильков С. А., Пихтилькова О. А. О свойствах первичного радикала слабоартиновой алгебры Ли //Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 1. С. 134-142. ; то же [Электронный ресурс] . URL: http://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/309/282

Blagovisnaya, A.N., Pikhtilkov, S.A., Pikhtilkova, O.A., 2017, “On the properties of the primary radical of the weakly-Artinian Lie algebra”, Chebyshevskii sbornik, vol. 18, issue 1, pp. 134-142. Available at: http://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/309/282

The authors declare that there are no conflicts of interest present.