chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2018-19-1-138-151cheb-430Research ArticleСтатьиArticleСовместная дискретная универсальность дзета-функций ЛерхаJoint discrete universality for Lerch zeta-functionsЛауринчикасА.LaurinčikasA.

Антанас Лауринчикас — доктор физико-математических наук, профессор, Действительный член АН Литвы, заведующий кафедрой теории вероятностей и теории чисел

Antanas Laurinčikas — doctor of physics-mathematical sciences, professor, Member of the Academy of Sciences of Lithuania, Head of the chair of probability theory and number theory

antanas.laurincikas@mif.vu.ltМинцевичА.MincevičA.

Аста Минцевич — докторант кафедры теории вероятностей и теории чисел

Asta Mincevič — doctoral student in the department of probability theory and number theory

Вильнюсского университетаЛитваVilnius universityLithuaniaВильнюсский университетЛитваVilnius universityLithuania201814102018191138151Copyright © Лауринчикас А., Минцевич А., 20182018Лауринчикас А., Минцевич А.Laurinčikas A., Mincevič A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/430

После 1975 г. работы Воронина известно, что некоторые дзета и L-функции универсальны в том смысле, что их сдвигами приближается широкий класс аналитических функций. Рассматриваются два типа сдвигов: непрерывный и дискретный.

В работе изучается универсальность дзета-функций Лерха L(λ,α,s), s = σ + it, которые в полуплоскости σ > 1 определяются рядами Дирихле с членами e2πiλm(m + α)−s с фиксированными параметрами λ ∈ R и α, 0 < α ≤ 1, и мероморфно продолжаются на всю комплексную плоскость. Получены совместные дискретные теоремы универсальности для дзета-функций Лерха. Именно, набор аналитических функций f1(s),...,fr(s) одновременно приближаются сдвигами L(λ1,α1,s + ikh),...,L(λr,αr,s + ikh), k = 0,1,2,..., где h > 0 - фиксированное число. При этом требуется линейная независимость над полем рациональных чисел множества{(log(m + αj) : m ∈N0, j = 1,...,r), }. Доказательство теорем универсальности использует вероятностные предельные теоремы о слабой сходимости вероятностных мер в пространстве аналитических функций.

After Voronin’s work of 1975, it is known that some of zeta and L-functions are universal in the sense that their shifts approximate a wide class of analytic functions. Two cases of shifts, continuous and discrete, are considered.

The present paper is devoted to the universality of Lerch zeta-functions L(λ,α,s), s = σ+it, which are defined, for σ > 1, by the Dirichlet series with terms e2πiλm(m+α)−s with parameters λ ∈ R and α, 0 < α ≤ 1, and by analytic continuation elsewhere. We obtain joint discrete universality theorems for Lerch zeta-functions. More precisely, a collection of analytic functions f1(s),...,fr(s) simultaneously is approximated by shifts L(λ1,α1,s+ikh),...,L(λr,αr,s+ikh), k = 0,1,2,..., where h > 0 is a fixed number. For this, the linear independence over the field of rational numbers for the set {(log(m + αj) : m ∈N0, j = 1,...,r), [if gte msEquation 12]><m:oMath><i style='mso-bidi-font-style:normal'><span lang=EN-US style='font-family:"Cambria Math","serif"; mso-ansi-language:EN-US'><m:r><span style='mso-spacerun:yes'> </span></m:r></span></i><m:f><m:fPr><span style='font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math"; mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-ansi-language:EN-US'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:fPr><m:num><span lang=EN-US style='font-family:"Cambria Math","serif";mso-ansi-language:EN-US'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>2</m:r></span><span style='font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:Calibri'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>π</m:r></span></m:num><m:den><span lang=EN-US style='font-family:"Cambria Math","serif";mso-ansi-language:EN-US'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>h</m:r></span></m:den></m:f></m:oMath><![endif][if !msEquation][endif]}is required. For the proof, probabilistic limit theorems on the weak convergence of probability measures in the space of analytic function are applied.

дзета-функция Лерхапространство аналитических функцийслабая сходимостьтеорема МергелянауниверсальностьLerch zeta-functionMergelyan theoremspace of analytic functionsuniversalityweak convergenceReferencesBillingsley P. Convergence of Probability Measures. N. Y.: Wiley, 1968. 262 p.Billingsley, P. 1968, Convergence of Probability Measures, Wiley, New York.Conway J.B. Functions of one complex variable. Berlin: Heidelberg; N. Y.: Springer, 1978. 167 p.Conway, J.B. 1978, Functions of one complex variable., Springer, Berlin, Heidelberg, New York.Ignatavičiūte˙ J. Discrete universality of the Lerch zeta-function // Abstracts 8th Vilnius Conference on Prob. Theory. Vilnius, Lithuania, 2002. P. 116–117.Ignatavičiūte˙, J. 2002, “Discrete universality of the Lerch zeta-function”, Abstracts 8th Vilnius Conference on Prob. Theory, pp. 116–117.Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994. 376 с.Karatsuba, A. A., Voronin, S. M. 1992, The Riemann zeta-function, Walter de Gruyter, Berlin.Laurinčikas A. The universality of the Lerch zeta-function // Liet. Matem. Rink. 1997. Vol. 37. P. 275—280, 367–375Laurinčikas, A. 1997, “The universality of the Lerch zeta-function”, Liet. Matem. Rink., vol. 37, pp. 367–375 (in Russian) ≡ Lith. Math. J., vol. 37, pp. 275–280.Laurinčikas A. On the joint universality of Hurwitz zeta-functions // Šiauliai Math. Semin. 2008. Vol. 3(11). P. 169–187.Laurinčikas, A. 2008, “On the joint universality of Hurwitz zeta-functions”, Šiauliai Math. Semin., vol. 3(11), pp. 169–187.Laurinčikas A., Garunkštis R. The Lerch Zeta-Function. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2002. 189 p.Laurinčikas, A., Garunkštis, R. 2002, The Lerch Zeta-Function, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London.Laurinčikas A., Macaitiene˙ R. The discrete universality of the periodic Hurwitz zeta-function // Integral Transforms. Spec. Funct. 2009. Vol. 20. P. 673–686.Laurinčikas, A., Macaitiene˙, R. 2009, “The discrete universality of the periodic Hurwitz zetafunction”, Integral Transforms. Spec. Funct., vol. 20, pp. 673–686.Laurinčikas A., Macaitiene˙ R., Mochov D., šiaučiūnas D. Universality of the periodic Hurwitz zeta-function with rational parameter. 2017 (submitted).Laurinčikas, A., Macaitiene˙, R., Mochov, D., Šiaučiūnas, D. 2017, “Universality of the periodic Hurwitz zeta-function with rational parameter”, (submitted).Laurinčikas A., Matsumoto K. The joint universality and functional independence for Lerch zeta-functions // Nagoya Math. Journal. 2000. Vol. 157. P. 211–227.Laurinčikas, A., Matsumoto, K. 2000, “The joint universality and functional independence for Lerch zeta-functions”, Nagoya Math. J., vol. 157. pp. 211–227.Laurinčikas A., Matsumoto K. Joint value-distribution theorems on Lerch zeta-functions. II // Lith. Math. Journal. 2006. Vol. 46. P.332–350.Laurinčikas, A., Matsumoto, K. 2006, “Joint value-distribution theorems on Lerch zetafunctions. II”, Lith. Math. J., vol 46, pp. 332–350.Laurinčikas A., Mincevič A. Discrete universality theorems for the Lerch zeta-function // Anal. Probab. Methods Number Theory. A. Dubickas et al. (Eds). P. 87–95.Laurinčikas, A., Mincevič, A. 2017, “Discrete universality theorems for the Lerch zeta-function”, Anal. Probab. Methods Number Theory, A. Dubickas et al. (Eds). pp. 87–95.Lerch M. Note sur la fonction K(w,x,s) =∑n≥0 exp{2πinx}(n + w)−s // Acta Math. 1887. Vol. 11. P. 19–24.Lerch, M. 1887, “Note sur la fonction K(w,x,s) =∑n≥0 exp{2πinx}(n + w)−s”, Acta Math., vol. 11, pp. 19–24.Lipschitz R. Untersuchung einer aus vier Elementen gebildeten Reihe // J. Reine Angew. Math. 1889. Vol. 105. P. 127–156.Lipschitz, R. 1889, “Untersuchung einer aus vier Elementen gebildeten Reihe”, J. Reine Angew. Math., vol. 105, pp. 127–156.Мергелян С.Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного // Успехи мат. наук. 1952. Т. 7, № 2. С. 31—122.Mergelyan, S.N. 1952, “Uniform approximations to functions of a complex variable”, Usp. Matem. Nauk, vol.7 no 2, pp. 31–122(in Russian)≡ Amer. Math. Trans., 1954, vol. 101.Mincevič A., Šiaučiūnas D. Joint universality theorems for Lerch zeta-functions // Šiauliai Math. Semin. 2017. Vol. 12(20). P. 31–47.Mincevič, A., Šiaučiūnas, D. 2017, “Joint universality theorems for Lerch zeta-functions”, Šiauliai Math. Semin., vol. 12(20), pp. 31–47.Mincevič A., Vaiginyte˙ A. Remarks on the Lerch zeta-function // Šiauliai Math. Semin. 2016. Vol. 11(19). P. 65–73.Mincevič, A., Vaiginyte˙, A. 2016, “Remarks on the Lerch zeta-function”, Šiauliai Math. Semin., vol. 11(19), pp. 65–73.Воронин С.М. Теорема об “универсальности” дзета-функции Римана // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1975. Т. 39. С. 475–486 ≡ Math. USSR Izv. 1975. Vol. 9. P. 443–453.Voronin, S.M. 1975, “Theorem on the “universality” of the Riemann zeta-function”, Izv. Akad. Nauk SSSR., vol. 39. pp. 475–486 (in Russian) ≡ Math. USSR Izv., vol. 9, pp.443–453.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.