Кузнецов Валентин Николаевич — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и системного анализа
Kuznetsov Valentin Nikolaevich — doctor of technical sciences, professor, professor of the department of applied mathematics and systems analysis
Матвеева Ольга Андреевна — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры алгебры и теории чисел
Matveeva Olga Andreevna — candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of computer algebra and number theory
Рассматривается класс рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами, определяющих функции, регулярные в правой полуплоскости комплексной плоскости и допускающие аппроксимацию полиномами Дирихле в критической полосе. Показано, что условие регулярности на мнимой оси позволяет аналитически продолжить такие ряды как целые функции на комплексную плоскость.
В основе доказательсва этого факта лежат свойства аппроцксимационных полиномов Дирихле и идеи Римана-Шварца, заложенные в принципе симметрии аналитического продолжения функций комплексного переменного. Указан класс рядов Дирихле, для которых выполняется условие аналитичности на мнимой оси.
Нужно отметить, что полученный в работе результат имеет непосредственное отношение к решению известной проблемы обобщенных характеров, поставленной Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым в 1950м году.
Указанный в работе подход в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле с числовыми характерами допускает обобщение на ряды Дирихле с характерами числовых полей. Это позвволяет получить аналитическое продолжение не используя функциональное уравнение L-функций Дирихле числовых полей на комплексную плоскость.
Отметим также, что изучаемому в работе классу рядов Дирихле принадлежат и ряды Дирихле, коэффициенты которых определяются неглавными обобщенными характерами. Можно показать, что для этих рядов выполняется условие аналитического продолжения. Еще в 1984 году В. Н. Кузнецов показал, что в случае аналитического продолжения таких рядов целым образом на комплексную плоскость с определенным порядком роста модуля, то будет иметь место гипотеза Н. Г. Чудакова о том, что обобщенный характер является характером Дирихле. Но окончательное решение проблемы обобщенных характеров, поставленной в 1950м году Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым, будет приведено в следующих работах авторов.
The paper considers the class of Dirichlet series with multiplicative coefficients defining Functions regular in the right half-plane of the complex plane and admitting Approximation by Dirichlet polynomials in the critical strip. It is shown that the regularity condition on the imaginary axis allows one to analytically continue such series as entire functions on the complex plane.
The proof of this fact is based on the properties of approximation Dirichlet polynomials and the Riemann-Schwartz ideas, embedded in the symmetry principle of analytic continuation functions of a complex variable. The class of Dirichlet series for which Analyticity analysis on the imaginary axis.
It should be noted that the result obtained in the work has a direct relation to the solution of the well-known problem of generalized characters posed by Y. V. Linnik and N. G. Chudakov in the 1950s.
The approach indicated in the paper in the problem of analytic continuation of Dirichlet series with numerical properties admits a generalization to Dirichlet series with characters of numeric fields. This encourages credit continuation without using the functional equation of the Dirichlet L-functions of numeric fields on the complex plane.
We also note that the class of Dirichlet series studied in this paper belongs to the Dirichlet series whose coefficients are determined by non-principal generalized characters. It can be shown that for these series the condition of analytic continuation. As far back as 1984, V. N. Kuznetsov showed that in the case of an analytic continuation of such series in an integral way onto the complex plane determined by the order of growth of the module, then Chudakov’s hypothesis that the generalized character is a Dirichlet character will take place. But the final solution of the problem of generalized characters, put in 1950 by Y. V. Linnik and N. G. Chudakov, will be given in the following papers of the authors.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.