Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики
Dobrovolsky Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science
Добровольский Михаил Николаевич — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Dobrovolsky Mikhail Nikolaevich — candidate of candidate of physical and mathematical sciences, senior researcher
Добровольский Николай Михайлович — профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии
Dobrovolsky Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department of algebra, mathematical analysis and geometry
Балаба Ирина Николаевна — доцент, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии
Balaba Irina Nikolaevna — doctor of physical and mathematical sciences, assistant professor, professor of the department of algebra, mathematical analysis and geometry
Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики
Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor, dean of the faculty of mathematics, physics and computer science
В работе продолжено изучение нового класса рядов Дирихле — дзета-функции моноидов натуральных чисел. Прежде всего детально изучена дзета-функция ????(M(g)|a) геометрической прогресс М(q) с первым членом равным 1 и произвольным натуральным знаменателем q > 1, которая является простейшем моноидом натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы моноида. Для мероморфной функции ????(M(g)|a) = qa/qα -1, имеющей множество полюсов
S(M(q)) ={2πikl/lnq│k ∈Z}
получены представления:
ζ(M(q)|α) = ∞ ∏︁ n=1(1 + α2 ln2 q 4π2n2 )︂−1 = 1 2 + 1 αlnq + ∞ ∑︁ n=1 2αlnq α2 ln2 q + 4n2π2 = = q α 2 αlnq 4π2 Γ(︂αilnq 2π )︂Γ(︂−αilnq 2π )︂.
Для дзета-функции ζ(M(p~)|α) моноида M(p~) с конечным числом простых чиселp~ = (p1,...,pn) получено разложение в бесконечное произведение
ζ(M(p~)|α) =P(p~)α 2 αnQ(p~)n ∏︁ ν=1∞ ∏︁ m=1(︂1 + α2 ln2 pν 4π2m2 )︂−1 ,
где P(p~) = p1 ...pn, Q(p~) = lnp1 ...lnpn, и найдено функциональное уравнение ζ(M(p~)|−α) = (−1)n ζ(M(p~)|α) P(p~)α .
Для моноида натуральных чисел M*(p~) = N · M−1(p~) с однозначным разложением на простые множители, состоящим из натуральных чисел n взаимно простых с P(p~) = p1 ...pn, и для эйлерово произведение P(M*(p~)|α), состоящего из сомножителей по всем простым числам отличным от p1,...,pn, найдено функциональное уравнение ζ(M*(p~)|α) = M(p~,α)ζ(M*(p~)|1−α), где M(p~,α) = M(α)· M1(p~,α) M1(p~,1−α) , M1(p~,α) = n ∏︁ ν=1(︂1− 1 pα ν)︂.
Доказано, что для любого бесконечного множества простых P1 не существует аналитической функции равной lim n→∞ ζ(M(p~n)|α) на всей комплексной плоскости.
Сформулирована гипотеза о заградительном ряде для любого экспоненциального множества PE простых чисел.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
The work continues the study of a new class of Dirichlet series — Zeta function of monoids of natural numbers. First of all, we study in detail the Zeta function ζ(M(q)|α) of geometric progress M(q) with the first term equal to 1 and an arbitrary natural denominator q > 1, which is the simplest monoid of natural numbers with a unique decomposition into simple elements of the monoid. For a meromorphic function ζ(M(q)|α) = qα /qα−1 with many poles S(M(q)) ={︂2πik lnq⃒ ⃒ ⃒ ⃒k ∈Z}︂
representations are received:
ζ(M(q)|α) =qα 2 αlnq∞ ∏︁ n=1(︂1 + α2 ln2 q 4π2n2 )︂−1 = 1 2+1 αlnq
+∞ ∑︁ n=12αlnq α2 ln2 q + 4n2π2==qα 2 αlnq 4π2
Γ(︂αilnq 2π )︂Γ(︂−αilnq 2π )︂.
For the Zeta function ζ(M(p~)|α) of the monoid M(p~) with a finite number of primesp~ = (p1,...,pn) the decomposition into an infinite product is obtained
ζ(M(p~)|α) =P(p~)α 2 αnQ(p~)n ∏︁ ν=1∞ ∏︁ m=1(︂1 + α2 ln2 pν 4π2m2 )︂−1 ,
where P(p~) = p1 ...pn, Q(p~) = lnp1 ...lnpn, and a functional equation is found ζ(M(p~)|−α) = (−1)n ζ(M(p~)|α) P(p~)α .
For the monoid of positive integers M*(p~) = N·M−1(p~) with a unique Prime factorization consisting of positive integers n mutually Prime with P(p~) = p1 ...pn, and for the Euler product P(M*(p~)/ alpha), consisting of factors for all primes other than p1,...,pn, a functional equation is found
ζ(M*(p~)|α) = M(p~,α)ζ(M*(p~)|1−α),
where
M(p~,α) = M(α)· M1(p~,α) M1(p~,1−α) , M1(p~,α) = n ∏︁ ν=1(︂1− 1 pα ν)︂.
It is proved that for any infinite set of Prime P1 there is no analytic function equal to
lim /n→∞ζ(M(p~n)|α)
on the whole complex plane.
The protective series conjecture is formulated for any exponential set of PE primes.
In conclusion, topical problems with zeta-functions of monoids of natural numbers that require further investigation are considered.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.