Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики
Dobrovolsky Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science
В работе продолжены исследования нового класса рядов Дирихле — дзета-функций моноидов натуральных чисел. Изучаются обратные ряды Дирихле для дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы и для дзетафункций множеств простых элементов моноидов с однозначным разложением на простые элементы.
Для любого β > 1 построены примеры рядов Дирихле, у которых абсцисса абсолютной сходимости σ = . И для любого натурального β > 1 построены примеры пары дзетафункций ζ(B|α) и ζ(AB,β|α) с равенством σAB,β = σB/ β.
Определено понятие сходимости последовательности множеств натуральных чисел. Доказано, что соответствующая последовательность дзета-функций этих множеств натуральных чисел будет равномерно сходиться в подходящей правой полуплоскости к дзетафункции предельного множества.
Рассматриваются различные примеры моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов. Получены ряд свойств дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.
Найден явный вид обратного ряда к дзета-функции множества простых чисел, дополненного единицей. Найден явный вид отношения дзета-функции Римана к дзета-функции множества простых чисел, дополненного единицей.
Рассмотрены вложенные последовательности моноидов, порожденные простыми числами. Для дзета-функций этих моноидов сформулирован принцип вложенности, который позволяет переносить результаты о коэффициентах одних дзета-функций на коэффициенты других дзета-функций.
В работе удалось впервые описать общий вид всех моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
The paper continues research on a new class of Dirichlet series — zeta functions of monoids of natural numbers. The inverse Dirichlet series for zeta functions of monoids of natural numbers with unique factorization into prime elements and for zeta-functions of sets of prime elements of monoids with unique factorization into prime elements are studied.
For any β > 1 examples of Dirichlet series with an abscissa of absolute convergence σ = are constructed. For any natural β > 1 examples of a pair of zeta functions ζ(B|α) and ζ(AB,β|α) with the equality σAB,β = σB/ β are constructed.
Various examples of monoids and corresponding zeta functions of monoids are considered. A number of properties of the zeta functions of monoids of natural numbers with unique factorization into prime factors are obtained. An explicit form of the inverse series to the zeta-function of the set of primes supplemented by one is found.
An explicit form of the ratio of the Riemann zeta-function to the zeta-function of the set of primes supplemented by one is found.
Nested sequences of monoids generated by primes are considered. For the zeta-functions of these monoids the nesting principle is formulated, which allows to transfer the results about the coefficients of one zeta-functions to the coefficients of other zeta-functions.
In this paper the general form of all monoids of natural numbers with unique factorization into prime factors was described for the first time.
In conclusion, topical problems for zeta-functions of monoids of natural numbers that require further study are considered.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.