chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2018-19-1-57-78cheb-426Research ArticleСтатьиArticleВторая экстремальная задача Логана для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–ЛиувилляThe second Logan extremal problem for the fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm–Liouville operatorГорбачёвД. В.GorbachevD. V.

Горбачёв Дмитрий Викторович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики

Gorbachev Dmitry Viktorovich — Professor of the department of applied mathematics and computer science, Doctor of physical and mathematical sciences

dvgmail@mail.ruИвановВ. И.IvanovV. I.

Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики института прикладной математики. и компьютерных наук

Ivanov Valerii Ivanovich — Head of the department of applied mathematics and computer science, doctor of physical and mathematical sciences

ivaleryi@mail.ruОфицеровЕ. П.OfitserovE. P.

Ofitserov Evgenii Petrovich — graduate student of the department of applied mathematics and computer science

eofitserov@gmail.comСмирновО. И.SmirnovO. I.

Смирнов Олег Игоревич — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и информатики

Smirnov Oleg Igorevich — Assistant professor of the department of applied mathematics and computer science, candidate of physical and mathematical sciences

so.2@mail.ruТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation2018141020181915778Copyright © Горбачёв Д.В., Иванов В.И., Офицеров Е.П., Смирнов О.И., 20182018Горбачёв Д.В., Иванов В.И., Офицеров Е.П., Смирнов О.И.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Ofitserov E.P., Smirnov O.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/426

Для косинус-преобразования Фурье на полупрямой Б. Логаном в 1983 году были поставлены и решены две экстремальные задачи. В первой задаче необходимо было найти минимальную окрестность нуля, вне которой нетривиальная интегрируемая четная целая функция экспоненциального типа не выше τ, имеющая неотрицательное преобразование Фурье, неположительна. Во второй задаче необходимо было найти минимальную окрестность нуля, вне которой нетривиальная интегрируемая четная целая функция экспоненциального типа не выше τ, имеющая неотрицательное преобразование Фурье и нулевое среднее значение, неотрицательна. Наибольшее развитие получила первая задача Логана, потому что она оказалась связанной с задачей об оптимальном аргументе в модуле непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве L2 между величиной наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального типа и модулем непрерывности. Она была решена для преобразования Фурье на евклидовом пространстве и его обобщения преобразования Данкля, для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой и преобразования Фурье на гиперболоиде.

For the cosine Fourier transform on the half-line two extremal problems were posed and solved by B. Logan in 1983. In the first problem it was necessary to find a minimal neighborhood of zero outside of which a nontrivial integrable even entire function of exponential type at most τ, having a nonnegative Fourier transform, is nonpositive. In the second problem it was necessary to find a minimal neighborhood of zero outside of which a nontrivial integrable even entire function of exponential type at most τ, having a nonnegative Fourier transform and a zero mean value, is nonnegative. The first Logan problem got the greatest development, because it turned out to be connected with the problem of the optimal argument in the modulus of continuity in the sharp Jackson inequality in the space L2 between the value of the best approximation of function by entire functions of exponential type and its modulus of continuity. It was solved for the Fourier transform on Euclidean space and for the Dunkl transform as its generalization, for the Fourier transform over eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on the half-line, and the Fourier transform on the hyperboloid.

The second Logan problem was solved only for the Fourier transform on Euclidean space. In the present paper, it is solved for the Fourier transform over eigenfunctions of the SturmLiouville problem on the half-line, in particular, for the Hankel and Jacobi transforms. As a consequence of these results, using the averaging method of functions over the Euclidean sphere, we obtain a solution of the second Logan problem for the Dunkl transform and the Fourier transform on the hyperboloid. General estimates are obtained using the Gauss quadrature formula over the zeros of the eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on the half-line, which was recently proved by the authors of the paper. In all cases, extremal functions are constructed. Their uniqueness is proved.

Задача Штурма–Лиувилля на полупрямойпреобразование Фурье на полупрямойпреобразование Данкляпреобразование Фурье на гиперболоидеэкстремальные задачи Логанаквадратурная формула ГауссаThe Sturm-Liouville problem on semidirectFourier transform on semidirectDunkl transformationFourier transform on a hyperboloidextremal Logan’s problemsGaussian quadrature formulaРФФИ, грант № 16-01-00308ReferencesLogan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 249–252.Logan, B. F. 1983, “Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral”, SIAM J. Math. Anal., vol. 14, no. 2, pp. 249–252.Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 253–257.Logan, B. F. 1983, “Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions”, SIAM J. Math. Anal., vol. 14, no. 2, pp. 253–257.Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Математические заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 179–187.Gorbachev, D. V. 2000, “Extremum problems for entire functions of exponential spherical type”, Math. Notes, vol. 68, no. 2, pp. 159–166.Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН. 1967. Т. 88. С. 71–74.Chernykh, N. I. 1967, “On Jackson’s inequality in L2”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 88, pp. 75– 78.Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Математические заметки. 1981. T. 29, № 2. С. 158–162.Yudin, V. A. 1976 “The multidimensional Jackson theorem”, Math. Notes, vol. 20, no. 3, pp. 801– 804.Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Математические заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 336–350.Berdysheva, E. E. 1999, “Two related extremal problems for entire functions of several variables”, Math. Notes, vol. 66, no. 3, pp. 271–282.Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тул. гос. ун-та. Сер.: Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26–44.Ivanov, A. V. 2010, “Some extremal problem for entire functions in weighted spaces”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 1, pp. 26–44. [in Russian]Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Some extremal problems for Fourier transform on hyperboloid // Math. Notes. 2017. Vol. 102, № 4. P. 480–491.Gorbachev, D. V., Ivanov, V. I. 2017, “Some extremal problems for Fourier transform on hyperboloid”, Math. Notes, vol. 102, no. 4, pp. 480–491.Некоторые экстремальные задачи гармонического анализа и теории приближений / Д.В. Горбачев [и др.]. // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 4. С. 139–166.Gorbachev, D. V., Ivanov, V. I., Ofitserov E.¶., Smirnov O. I. 2017, “Some extremal problems of harmonic analysis and approximation theory”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 18, no. 4, pp. 139– 166. [in Russian]Frappier C., Olivier P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. Comp. 1993. Vol. 60. P. 303–316.Frappier, C., Olivier, P. 1993, “A quadrature formula involving zeros of Bessel functions”, Math. Comp., vol. 60, pp. 303–316.Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. Vol. 64. P. 715–725.Grozev, G. R., Rahman, Q. I. 1995, “A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes”, Math. Comp., vol. 64, pp. 715–725.Горбачев Д.В., Иванов В.И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального типа // Математический сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 63–98.Gorbachev, D. V., Ivanov, V. I. 2015, “Gauss and Markov quadrature formulae with nodes at zeros of eigenfunctions of a Sturm–Liouville problem, which are exact for entire functions of exponential type”, Sbornik: Math., vol. 206, no. 8, pp. 1087–1122.Горбачев Д.В., Иванов В.И. Некоторые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 2. С. 34–53.Gorbachev, D. V., Ivanov, V. I. 2017, “Some extremal problems for the Fourier transform over eigenfunctions of the Sturm–Liouville operator”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 18, no. 4, pp. 139– 166. [in Russian]Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: Proc. intern. conf. (Gdansk, 1979). Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25—43.Arestov, V. V., Chernykh, N. I. 1981, “On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials”, Approximation and functions spaces: Proc. intern. conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, pp. 25—43.Иванов А. В., Иванов В. И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Математические заметки. 2013. Т. 94, № 3. С. 338—348.Ivanov, A. V., Ivanov, V. I. 2013, “Optimal arguments in Jackson’s inequality in the powerweighted space L2(Rd)”, Math. Notes, vol. 94, no. 3, pp. 320–329.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Veprintsev R.A. Optimal Argument in Sharp Jackson’s inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight // Math. Notes. 2014. Vol. 96, № 6. P. 338–348.Gorbachev, D. V., Ivanov, V. I., Veprintsev R. A. 2014, “Optimal Argument in Sharp Jackson’s inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight”, Math. Notes, vol. 96, no. 6, pp. 338–348.Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Якоби // Математические заметки. 2015. Т. 97, № 6. С. 815—831.Veprintsev, R. A. 2015, “Approximation in L2 by partial integrals of the multidimensional Jacobi transform”, Math. Notes, vol. 97, no. 6, pp. 815–831.Горбачев Д.В., Иванов В.И. Приближение в L2 частичными интегралами преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Математические заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 519–530.Gorbachev, D. V., Ivanov, V. I. 2016, “Approximation in L2 by partial integrals of the Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm–Liouville operator”, Math. Notes, vol. 100, no. 4, pp. 540–549.Горбачев Д.В., Иванов В.И., Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма— Лиувилля // Труды ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 136–152.Gorbachev, D. V., Ivanov, V. I., Veprintsev, R. A. 2016, “Approximation in L2 by partial integrals of the multidimensional Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm–Liouville operator”, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 22, no. 4, pp. 136–152. [in Russian]Горбачев Д.В., Странковский С.А. Одна экстремальная задача для четных положительно определенных целых функций экспоненциального типа // Математические заметки. 2006. Т. 80, № 5. С. 712–717.Gorbachev, D. V., Strankovskii, S. A. 2006, “An extremal problem for even positive definite entire functions of exponential type”, Math. Notes, vol. 80, no. 5, pp. 673–678.Иванов В.И., Иванов А.В. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона–Стечкина в L2(Rd) с весом Данкля // Математические заметки. 2014. Т. 96, № 5. С. 674–686.Ivanov, V. I., Ivanov, A. V. 2014, “Optimal arguments in the Jackson-Stechkin inequality in L2(Rd) with Dunkl weight”, Math. Notes, vol. 96, no. 5, pp. 666–677.Ivanov V., Ivanov A. Generalized Logan’s Problem for Entire Functions of Exponential Type and Optimal Argument in Jackson’s Inequality in L2(R3) // Acta. Math. Sin., English Ser. First Online: 28 April 2018.Ivanov, V., Ivanov, A. 2018, “Generalized Logan’s Problem for Entire Functions of Exponential Type and Optimal Argument in Jackson’s Inequality in L2(R3)”, Acta. Math. Sin.-English Ser., First Online: 28 April 2018.Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.Gorbachev, D. V. 2005, “Selected Problems in the Theory of Functions and Approximation Theory: Their Applications”, Tula: Grif and K, 192 p. [in Russian]Юдин В.А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов // Труды МИАН. 1997. T. 219. С. 453–463.Yudin, V. A. 1997 “Disposition of Points on a Torus and Extremal Properties of Polynomials ”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 219, pp. 447–457.Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 671 с.Levitan, B. M., Sargsyan, I. S. 1970, “Introduction to spectral theory”, Moscow, Nauka, 671 p. [in Russian]Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма–Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988. 432 с.Levitan, B. M., Sargsyan, I. S. 1988, “Sturm–Liouville and Dirac Operators”, Moscow, Nauka, 432 p. [in Russian]Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. The convolution structure for Jacobi function expansions // Ark. Mat. 1973. Vol. 11. P. 245–262.Flensted-Jensen, M., Koornwinder, T. H. 1973, “The convolution structure for Jacobi function expansions”, Ark. Mat., vol. 11, pp. 245–262.Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual convolution structure // Ark. Mat. 1979. Vol. 17. P. 139–151.Flensted-Jensen, M., Koornwinder, T. H. 1979, “Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual convolution structure”, Ark. Mat., vol. 17, pp. 139–151.Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. 312 с.Levitan, B. M. 1973, “Theory of generalized translation operators”, Moscow, Nauka, 312 p. [in Russian]Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.Levin, B. Ya. 1956, “Distribution of Roots of Entire Functions”, Moscow, Gostekhizdat, 632 p. [in Russian]R¨osler M. A positive radial product formula for the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355, № 6. P. 2413–2438.R¨osler, M. 2003, “A positive radial product formula for the Dunkl kernel”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 355, no. 6, pp. 2413–2438.R¨osler M. Dunkl Operators: Theory and Applications // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2003. Vol. 1817. P. 93–135.R¨osler, M., 2003, “Dunkl Operators: Theory and Applications”, Lecture Notes in Math., Berlin: Springer, vol. 1817, pp. 93–135.de Jeu M. Paley–Wiener theorems for the Dunkl transform // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. Vol. 358, № 10. P. 4225–4250.de Jeu, M. 2006, “Paley–Wiener theorems for the Dunkl transform”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 358, no. 10. pp. 4225–4250.Xu Y. Dunkl operators: Funk-Hecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls // Bull. London Math. Soc. 2000. Vol. 32. P. 447–457.Xu, Y. 2000, “Dunkl operators: Funk-Hecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls”, Bull. London Math. Soc., vol. 32, pp. 447–457.Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991. 576 с.Vilenkin, N. J. 1968, “Special Functions and the Theory of Group Representations”, Providence, RI: Amer. Math. Soc., Translations of mathematical monographs, vol. 22, 613 p.Koornwinder T.H. A new proof of a Paley–Wiener type theorem for the Jacobi transform // Ark. Mat. 1979. Vol. 13. P. 145–159.Koornwinder, T.˝. 1979, “A new proof of a Paley–Wiener type theorem for the Jacobi transform”, Ark. Mat., vol. 13, pp. 145–159.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.