chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2018-19-1-44-56cheb-425Research ArticleСтатьиArticleДвойственность в абелевых многообразиях и формальных группах над локальными полямиDuality in abelian varieties and formal groups over local fieldsГлазуновН. М.GlazunovN. M.

Глазунов Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор

glanm@yahoo.comНациональный Авиационный УниверситетРоссияNational aviation universityRussian Federation2018141020181914456Copyright © Глазунов Н.М., 20182018Глазунов Н.М.Glazunov N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/425

Статья посвящена памяти Олега Николаевича Введенского (1937 – 1981 гг.). О. Н. Введенский был учеником академика И. Р. Шафаревича. Исследования О. Н. и полученные им результаты связаны с двойственностью в эллиптических кривых и с соответствующими когомологиями Галуа над локальными полями, со спариванием Шафаревича-Тэйта и с другими спариваниями, с локальной и квази-локальной теорией полей классов эллиптических кривых, с теорией абелевых многообразий размерности больше 1, с теорией коммутативных формальных групп над локальными полями. Представлены как результаты, полученные О. Н. Введенским, так и новые избранные результаты, развивающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Первая часть статьи, представлення здесь, является введением как в результаты, полученные О. Н. Введенским в направлении двойственности абелевых многообразий и формальных групп, так и в новые избранные результаты, развивающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Во Введении приведены предварительные сведения и представлено содержание статьи. В первом разделе дан краткий обзор избранных результатов по теории алгебраических, квазиалгебраические и проалгебраические группы и групповых схем. Далее, в разделе 2 преставлены избранные результаты по фундаментальным группам алгебраических многообразий, по фундаментальным группам схем, а в разделе 3 - избранные результаты о главных однородных пространствах (торсерах), развивающие исследования О. Н. и других авторов. Термин торсер мы используем как перевод на русский язык в редакции И.Р. Шафаревича английского термина torsor. В разделе 4 даны сведения о двойственности, а в разделе 5 представлены результаты О. Н. по арифметической теории формальных групп и их развитие. Результаты, этого раздела, представленные над локальными и квази-локальными полями K, над их кольцами целых, и над их полями вычетов k, связанны (1) с формальной структурой абелевых многообразий, (2) с коммутативными формальными группами, (3) с соответствующими гомоморфизмами и изогениями. В статье алгебраические многообразия, абелевы схемы и коммутативные формальные групповые схемы определены, как правило, над локальными и квази-локальными полями, над их кольцами целых, и над их полями вычетов. Но кратко рассматриваются эти объектыи и над глобальными полями, так как О. Н. интересовала тематика алгебраических многообразий над глобальными полями и он проводил соответствующие исследования. Предполагается, что характеристика полей вычетов больше 3, если не оговаривается иное.

Я признателен В

Я признателен В.Н. Чубарикову за предложение опубликовать статью в сборнике.

Особая признательность Н

Особая признательность Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

The article is dedicated to the memory of Oleg Nikolaevich Vvedenskii (1937-1981). O.N. Vvedenskii was a student of the academician I.R. Shafarevich. O.N. Vvedenskii’s research and the results obtained are related to duality in elliptic curves and with the corresponding Galois cohomology over local fields, with Shafarevich-Tate pairing and with other pairings, with local and quasi-local of class fields theory of elliptic curves, with the theory of Abelian varieties of dimension greater than 1, with the theory of commutative formal groups over local fields. The paper presents both the results obtained by O.N. Vvedenskii, and new selected results, developing research in the directions of the fundamental groups of schemes, the principal homogeneous spaces (torsors), and duality. The first part of the article presented here is an introduction both to the results obtained by O.N. Vvedenskii in the direction of duality of Abelian varieties and formal groups, and in new selected results, developing research in the directions of the fundamental groups of schemes, the principal homogeneous spaces (torsors), and duality. The Introduction gives preliminary information and presents the content of the article. In the first section we give a brief survey of selected results on the theory of algebraic, quasialgebraic and proalgebraic groups and group schemes. Further, in Section 2 we present selected results on fundamental groups of algebraic varieties, on fundamental groups of schemes, and in Section 3 - selected results on principal homogeneous spaces (torsors), developing research by O.N. Vvedenskii and other authors. In Section 4 we give information on duality, and in Section 5 the paper presents the results by O.N. Vvedenskii on the arithmetic theory of formal groups and their development. The results of this section, represented over local and quasi-local fields K, over their rings of integers, and over their residue fields k, are connected (1) with the formal structure of Abelian varieties, (2) with commutative formal groups, (3) with corresponding homomorphisms. In the article, algebraic varieties, Abelian schemes, and commutative formal group schemes are defined, as a rule, over local and quasi-local fields, over their rings of integers, and over their residue fields. But these objects are also briey considered over global fields, since O.N. was interested in the subject of algebraic varieties over global fields and he carried out corresponding studies. It is assumed that the characteristic of the residue fields is more than 3, unless otherwise specified.

I am grateful to V

I am grateful to V.N. Chubarikov for offering to publish the article in Chebyshevskii Sbornik.

Special thanks to N

Special thanks to N.M. Dobrovolsky for help and support in the process of preparing the article for publication.

двойственностьабелево многообразиелокальное полегруппа Пикараформальная группагрупповая схемафундаментальная группаторсерглобальное полепроалгебраическая группагруппа универсальных нормdualityAbelian varietylocal fieldPicard groupformal groupgroup schemefundamental grouptorsorglobal fieldproalgebraic groupgroup of universal normsReferencesШафаревич И. Р. Сочинения. Т. 3, ч. 2. М.: Физматлит, 1996. 637 с.Шафаревич И. Р. 1996, Sochineniya, T. 3, ch. 2. M.: Fizmatlit, 637 p.Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. В 2 т. М.: Наука, 1988.SHafarevich I. R. 1988, Osnovy algebraicheskoj geometrii. V 2 t. M.: Nauka.Введенский О. Н. Двойственность в эллиптических кривых над локальным полем. II // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1966. Т. 30, № 4. С. 891—922.Vvedenskij O. N. 1966, “Dvojstvennost’ v ehllipticheskih krivyh nad lokal’nym polem. II“ Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 30, № 4. pp. 891—922.Введенский О. Н. О локальных “полях классов” эллиптических кривых // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1973. Т. 37, № 1. С. 20—88.Vvedenskij O. N. 1973, “O lokal’nyh “polyah klassov” ehllipticheskih krivyh“ Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 37, № 1. pp. 20—88.Введенский О. Н. О “универсальных нормах” формальных групп, определенных над кольцом локального поля // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1973. Т. 37, № 4. С. 737—751.Vvedenskij O. N. 1973, “O “universal’nyh normah” formal’nyh grupp, opredelennyh nad kol’com lokal’nogo polya“ Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 37, № 4. pp. 737—751.Введенский О. Н. О квази-локальных “полях классов” эллиптических кривых. I // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1976. Т. 40, № 5. С. 969—992.Vvedenskij O. N. 1976, “O kvazi-lokal’nyh “polyah klassov” ehllipticheskih krivyh. I“ Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 40, № 5. pp. 969—992.Введенский О. Н. О спариваниях в эллиптических кривых над глобальными полями // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1978. Т. 42, № 2. С. 237—260.Vvedenskij O. N. 1978, “O sparivaniyah v ehllipticheskih krivyh nad global’nymi polyami“ Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 42, № 2. pp. 237—260.Введенский О. Н. Эффект Артина в абелевых многообразиях. II // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1981. Т. 45, № 1. С. 23—46.Vvedenskij O. N. 1981, “EHffekt Artina v abelevyh mnogoobraziyah. II“ Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 45, № 1. pp. 23—46.Милн Дж. Этальные когомологии. М.: Мир, 1983. 393 с.Miln Dzh. 1983, EHtal’nye kogomologii. M.: Mir, 393 P.Serre J.-P. Groupes proalgebriques // Publications mathematiques IHES. № 7. 1960. 65 p.Serre J.-P. 1960, “Groupes proalgebriques“ Publications mathematiques IHES. № 7. 65 p.Tate J. Duality theorems in Galois cohomology over number fields // Proceedings of Int. Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962). Djursholm : Inst. Mittag-Leffler, 1962. P. 288— 295.Tate J. 1962, “Duality theorems in Galois cohomology over number fields“ Proceedings of Int. Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962). Djursholm : Inst. Mittag-Leffler, pp. 288—295.Shatz S.S. Cohomology of artinian group schemes over local fields // Ann. of Math. 1964. Vol. 79, № 2. P. 411—449.Shatz S.S. 1964, “Cohomology of artinian group schemes over local fields“ Ann. of Math. Vol. 79, № 2. P. 411—449.Grothendieck A., Artin M., J.L. Verdier Théorie des Topos et cohomologie étale des schémas (SGA4) // Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: Springer-Verlag, 1972. Vol. 269, 270, 305.Grothendieck A., Artin M., J.L. Verdier 1972, “Théorie des Topos et cohomologie étale des schémas (SGA4)“ Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: Springer-Verlag, Vol. 269, 270, 305.Lichtenbaum S. The Weil-etale topology for number rings //Ann. of Math. 2009. Vol. 170, № 2, P. 657—683.Lichtenbaum S. 2009, “The Weil-etale topology for number rings“ Ann. of Math. Vol. 170, № 2, pp. 657—683.Bosch S., Liu Q. Rational points of the group of components of a Néron model // Manuscripta math. 1999. Vol. 98. P. 275—293.Bosch S., Liu Q. 1999, “Rational points of the group of components of a Néron model“ Manuscripta math. Vol. 98. pp. 275—293.Morin B. The Weil-étale fundamental group of a number field . II // Sel. Math., New Ser. 2011. 17, № 1. P. 67—137.Morin B. 2011, “The Weil-étale fundamental group of a number field . II“ Sel. Math., New Ser. 17, № 1. pp. 67—137.Saavedra R. Catégories Tannakiennes // Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: Springer-Verlag, 1972. Vol. 265. 418 p.Saavedra R. 1972, “Catégories Tannakiennes“ Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: SpringerVerlag, Vol. 265. 418 p.Nori M. On the representations of the fundamental group // Compos. Math. 1976. Vol. 33, № 1. P. 29—41.Nori M. 1976, “On the representations of the fundamental group“ Compos. Math. Vol. 33, № 1. pp. 29—41.Broshi M. G-torsors over a Dedekind scheme // J. Pure Appl. Algebra. 2013. Vol. 217, № 1. P. 11—19.Broshi M. 2013, “G-torsors over a Dedekind scheme“ J. Pure Appl. Algebra. Vol. 217, № 1. pp. 11—19.Conrad B. Reductive group schemes // Autour des schémas en groupes. école d’été “Schémas en groupes". Paris: Société Mathématique de France (SMF), 2014. Vol. I. P. 42—43, 93—444.Conrad B. 2014, “Reductive group schemes“ Autour des schémas en groupes. école d’été “Schémas en groupes". Paris: Société Mathématique de France (SMF), Vol. I. pp. 42—43, 93— 444.Biswas I., Dos Santos Jo˜ao Pedro P. Abelianization of the F-divided fundamental group scheme // Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci. 2017. Vol. 127, № 2. P. 281—287.Biswas I., Dos Santos Jo˜ao Pedro P. 2017, “Abelianization of the F-divided fundamental group scheme“ Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci. Vol. 127, № 2. pp. 281—287.Tziolas N. Quotients of schemes by αp or µp actions in characteristic p > 0 // Manuscr. Math. 2017. Vol. 152, № 1–2. P. 247—279.Tziolas N. 2017, “Quotients of schemes by αp or µp actions in characteristic p > 0“ Manuscr. Math. Vol. 152, № 1–2. pp. 247—279.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.