chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2018-19-1-15-25cheb-422Research ArticleСтатьиArticleСимметризованные многочлены в задаче оценки меры иррациональности числа ln31Symmetrized polynomials in a problem of estimating of the irrationality measure of number ln3БондареваИ. В.BondarevaI. V.

Бондарева Инна Васильевна — аналитик данных

Bondareva Inna Vasilievna — data analyst

innagorda@ya.ruЛучинМ. ЮLuchinM. Yu.

Лучин Михаил Юрьевич

Luchin Mikhail Yurievich

m.y.luchin@mail.ruСалиховВ. Х.SalikhovV. Kh.

Салихов Владислав Хасанович — профессор кафедры высшей математики

Salikhov Vladislav Khasanovich — Professor of the Department of Higher Mathematics

svdh@rambler.ruБрянский государственный технический университет; ООО "АйТи Про"РоссияBryansk State Technical University; "IT Pro"LLCRussian FederationБрянский государственный технический университетРоссияBryansk State Technical UniversityRussian Federation2018141020181911525Copyright © Бондарева И.В., Лучин М.Ю., Салихов В.Х., 20182018Бондарева И.В., Лучин М.Ю., Салихов В.Х.Bondareva I.V., Luchin M.Y., Salikhov V.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/422

Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из основыных направлений теории диофантовых приближений.

В настоящее время разработан целый ряд методов, позволяющих получать подобные оценки для значений аналитических функций. Наиболее эффективным оказался метод, связанный с построением различных интегральных конструкций; одним из первых подобных построений является классическое интугральное представление гипергеометрической функции Гаусса.

Оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматривались многими зарубежными авторами: А. Бейкер и Д. Вустольц [4], А. Хеймонен, Т. Матала-ахо, К. Ваананен [5], К. Ву [6], Д. Рин и П. Тоффин [7]. В своих работах они применяли различные интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от логарифмов и других чисел, вычисляли асимптотику интегралов и коэффициентов линейных форм с помощью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивали знаменатель коэффициентов линейных форм с использованием различных схем "сокращения простых чисел". Обзор некоторых методов из теории диофантовых приближений логарифмов рациональных чисел того времени был представлен в 2004 году в статье В. В. Зудилина [8].

Затем В

Затем В. Х. Салихов в работе [3], основываясь на тех же асимптотических методах, но использовав новый вид интегральной конструкции, обладающей свойством симметрии, значительно улучшил оценку меры иррациональности числа ln3. Впоследствии В. Х. Салихову, благодаря использованию уже комплексного симметризованного интеграла, удалось улучшить оценку меры иррациональности числа π [15]. В дальнейшем данный метод (применительно к диофантовым приближениям логарифмов рациональных чисел) получил развитие в работах его учеников: Е. С. Золотухиной [10, 11], М. Ю. Лучина [12, 13], Е. Б. Томашевской [14]. Это привело к улучшению оценок мер иррациональности целого ряда чисел:

µ(log(5/3)) ≤ 5

µ(log(5/3)) ≤ 5.512... [14], µ(log(8/5)) < 5.9897 [12], µ(log(7/5)) ≤ 4.865... [14], µ(log(9/7)) ≤ 3.6455... [10], µ(log(7/4)) < 8.1004 [13].

С помощью интегральной конструкции, основанной на симметризованных многочленах, получена новая оценка меры иррациональности числа ln3. Предыдущий результат принадлежал К. Ву и Л. Вангу и был установлен в 2014 г.

Улучшение оценки связано с добавлением к симметризованным многочленам, использованным в интегральной конструкции К. Ву и Л. Ванга, специального квадратного симметризованного многочлена.

An estimate of the irrationality measure of various transcendental numbers is one of the directions in the theory of Diophantine approximations foundations. Nowadays there is a range of methods which make possible to obtain similar estimates for the values of analytic functions. The most effective method is the adding of various integral constructions; one of the first early constructions is the classical intuitive representation of the Gauss hypergeometric function.

Lower estimates of the irrationality measure of rational numbers logarithms were considered by many foreign authors: А. Baker and G. Wüstholz [4], А. Heimonen, Т. Matala-aho, К. Vaänanen [5], Q. Wu [6], G. Rhin and P. Toffin [7]. In their works they used various integral constructions, giving small linear forms from logarithms and other numbers, calculated asymptotic of integrals and coefficients of the linear forms using the saddle point method, Laplace theorem, evaluated the denominator coefficients of the linear forms using various schemes "reduction of prime numbers". Review of some methods from the theory of diophantine approximation of rational numbers logarithms at that time was introduced in 2004 by V. Zudilin [8].

Then V

Then V. Kh. Salikhov in [3] considerably improved estimate of the irrationality measure of ln3, based on the same asymptotic methods, but used a new type of integral construction, which has property of summetry. Subsequently, V. Kh. Salikhov due to usage of already complex symmetrized integral improved estimate of the irrationality measures of π [15]. In the future, this method (as applied to diophantine approximation of logarithms of rational numbers) was developed by his pupils: E. S. Zolotuhina [10, 11], M. Yu. Luchin [12, 13], Е. B. Tomashevskaya [14]. It led to improvement of the irrationality measure estimates for the following numbers:

µ(log(5/3)) ≤ 5

µ(log(5/3)) ≤ 5.512... [14], µ(log(8/5)) < 5.9897 [12], µ(log(7/5)) ≤ 4.865... [14], µ(log(9/7)) ≤6 3.6455... [10], µ(log(7/4)) < 8.1004 [13].

In this paper due to usage the symmetrized real integral we obtain a new estimate of the irrationality measure of ln3. The previous irrationality measure estimate of ln3 was received in 2014 by Q. Wu and L. Wang [1].

The estimate improvement had resulted from the addition of a special square symmetrized polynomial to the symmetrized polynomials used in the integral construction of K. Wu and L. Wang.

диофантовы приближениямера иррациональностисимметризованные многочленыdiophantine approximationsirrationality measuresymmetrized polynomialsРоссийский научный фонд, гранд (проект 18-01-00296-а)ReferencesWu Q., Wang L. On the irrationality measure of log3 // Journal of Number Theory. 2014. Vol. 142. P. 264-273.Wu, Q. & Wang, L. 2014, “On the irrationality measure of log3“, Journal of Number Theory., vol. 142, pp. 264-273.Rhin G. Approximants de Pade et mesures effectives d’ irrationalite // Seminaire de Theorie des Nombres, Paris 1985-1986. Boston: Birkhauser, 1987. P. 155-164. (Progress i Mathematics. Vol. 71.)Rhin, G. 1987, “Approximants de Pade et mesures effectives d’ irrationalite, Seminaire de Theorie des Nombres, Paris 1985-1986“, Progress i Math., Boston: Birkhauser., no. 71, pp. 155164.Салихов В.Х. О мере иррациональности ln3 // Доклады АН РФ. 2007. Т. 417, № 6. С. 753755.Salikhov, V. H. 2007, “On the measure of irrationality ln3“, Doklady Mathematics, vol. 47, no. 6, pp. 753-755.Baker A., Wüstolz G. Logarithmic forms and group varieties // J. Reine Angew. Math. 1993. Vol. 442. P. 19-62.Baker, A. Wüstolz G. 1993, “Logarithmic forms and group varieties“, J. Reine Angew. Math., vol. 442, pp. 19-62.Heimonen A., Matala-aho T., Väänänen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. № 1. P. 183-202.Heimonen, A. & Matala-aho, T. Väänänen K. 1993, “On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function“, Manuscripta Math., vol. 81, no. 1, pp. 183-202.Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72, № 242. P. 901-911.Wu, Q. 2002, “On the linear independence measure of logarithms of rational numbers“ ,Math. Comput., vol. 72, no. 242, pp. 901-911.Rhin G., Toffin P. Approximants de Padé simultanés de logaritmes // J. Number Theory. 1986. Vol. 24. P. 284-297.Rhin, G. & Toffin, P. 1986, “Approximants de Padé simultanés de logaritmes“, J. Number Theory., vol. 24, pp. 284-297.Зудилин В. В. Эссе о мерах иррациональности π и других логарифмов // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, № 2. С. 49-65.Zudilin, V. V. 2004, “An essay on irrationality measures of π and other logarithms“, CHebyshevskij sbornik, vol. 5, no. 2, pp. 49-65.Салихов В. Х. О мере иррациональности числа π // Математические заметки. 2010. Т. 88, № 4. С. 583-593.Salikhov, V. H. 2010, “On the measure of irrationality of a number π“, Mathematical Notes, vol. 88, no. 4, pp. 583-593.Золотухина Е.C. Диофантовы приближения некоторых логарифмов : дис. ... канд. физ.мат. наук. Брянск, 2009. 100 с.Zolotukhina, Е. S. 2009, “Diophantine approximations of some logarithms: dis. kand. fiz.-mat. nauk“, Bryansk, 100 p.Сальникова Е. С. Приближения некоторых логарифмов числами из полей Q и Q(√d) // Фундамент. и приклад. математика. 2010. Т. 16, № 6. С. 139-155.Sal’nikova, Е. S. 2010, “Approximations of some logarithms by numbers from fields Q и Q(√d)“, Fundam. i prikl. matematika, vol. 16, no. 6, pp. 139-155.Лучин М. Ю. О диофантовых приближениях некоторых логарифмов // Вестник Брян. гос. ун-та. 2012. № 4 (2). С. 22-28.Luchin, M. Y. 2012, “On Diophantine approximations of some logarithms “ Vestnik Bryanskogo gosudarstvennogo universiteta , no. 4 (2), pp. 22-28.Лучин М. Ю. Оценка меры иррациональности числа ln 7/4 // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, № 2. С. 123-131. то же [Электронный ресурс]. URL: http://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/82Luchin, M. Y. 2013, “Measure of irrationality of a number 7/4 “ CHebyshevskij sbornik , vol. 14, no. 2, pp. 123-1Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений функции logx // Фундамент. и приклад. математика. 2010. Т. 16, № 6. С. 157-166.Tomashevskaya, Е. B. 2010, “On Diophantine approximations of function values logx“ Fundam. i prikl. matematika , vol. 16, no. 6, pp. 157-166.Hata M. Rational approximations to π and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. LXIII, № 4. P. 335-349.Hata, M. 1993, “Rational approximations to π and some other numbers“, Acta Arith., vol. LXIII, no. 4, pp. 335-349.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.